BCE Maths approfondies HEC/ESSEC ECG 2026Sujet, corrigé et rapport du jury

Conception : ESSEC BS - HEC Paris
MATHÉMATIQUES APPROFONDIES
FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE
VOIE GÉNÉRALE

Notations

• -Pour tout n ∈ ℕ^∗, on note I_n la matrice identité de M_n(ℝ).
• -Pour tout (n, m) ∈ ℕ^∗ × ℕ^∗ et tout (i, j) ∈ [ [1; n] ] × [ [1; m] ] le coefficient sur la i-ème ligne et la j-ème colonne d'une matrice A ∈ M_(n, m)(ℝ) est noté A_(i, j).
• -La transposée d'une matrice A est notée ^t A. Lorsque A = [a] ∈ M_1(ℝ), où a ∈ ℝ, on identifie A au réel a.
• -Pour tous i ∈ ℕ et k ∈ ℕ, δ_(i, k) désigne le symbole de Kronecker défini par :
  δ_(i, k) = {1, si i = k,; 0, si i ≠ k.
• -Pour tout n ∈ ℕ^∗, on note 𝒪_n = {M ∈ M_n(ℝ)|M^t M = I_n} l'ensemble des matrices orthogonales de M_n(ℝ).
• -Soit n ∈ ℕ^∗. Une permutation de [ [1; n] ] est une bijection de [ [1; n] ] dans [ [1; n] ]. On note 𝒫_n l'ensemble de toutes les permutations de [ [1; n] ].
  Si σ est une permutation de [ [1; n] ], on représente σ par le n-uplet (σ(1), ⋯, σ(n)). Par exemple, dans le cas n = 3, (2, 3, 1) représente la permutation σ de {1, 2, 3} définie par : σ(1) = 2, σ(2) = 3 et σ(3) = 1.
• -Pour tout σ ∈ 𝒫_n et pour tout x = (x_1, ⋯, x_n) ∈ ℝ^n, on note x_σ = (x_(σ(1)), ⋯, x_(σ(n))).
• -Pour tout σ ∈ 𝒫_n, on appelle matrice de permutation associée à σ et on note P_σ ∈ M_n(ℝ), la matrice définie par :
  ∀(i, j) ∈ {1, ⋯, n}^2, (P_σ)_(i, j) = δ_(i, σ(j)).
• -On note (e_1, …, e_n) la base canonique de ℝ^n.
• -On dit que P ∈ M_n(ℝ) est une matrice de permutation s'il existe σ ∈ 𝒫_n telle que P = P_σ. L'ensemble des matrices de permutations de M_n(ℝ) est noté ℙ_n.
• -Pour tous U ∈ M_(n, 1)(ℝ) et V ∈ M_(n, 1)(ℝ), on note ⟨U, V⟩ le produit scalaire canonique de U et V défini par
  ⟨U, V⟩ = ^t UV = ^t VU.
  On note ‖. ‖lanormeeuclidienneassociéeàceproduitscalairedéfiniepar :
  ‖U‖ = √(⟨U, U⟩) pour tout U ∈ M_(n, 1)(ℝ).
• -Pour toute matrice carrée A ∈ M_n(ℝ), on note
  • - diag(A) = (A_(1, 1); ⋮; A_(n, n)) le vecteur colonne défini à partir de la diagonale de la matrice A.
  • - DG(A) = (A_(1, 1), 0, ⋯, ⋯, 0; 0, A_(2, 2), ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, ⋯, ⋯, 0, A_(n, n)) la matrice diagonale de même diagonale que
  • A.

• Pour tout X = (x_1; ⋮; x_n) ∈ M_(n, 1)(ℝ), on note D(X) = (x_1, 0, ⋯, ⋯, 0; 0, x_2, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, ⋯, ⋯, 0, x_n) la matrice diagonale de diagonale X.

• -Soit E un espace vectoriel et g une application de E dans ℝ. On dira que g est convexe si
  ∀x ∈ E, ∀y ∈ E, ∀t ∈ [0, 1], g(tx + (1 − t)y) ⩽ tg(x) + (1 − t)g(y).
• -Dans tout le problème si f : ℝ^n → ℝ, et X = (x_1; ⋮; x_n) ∈ M_(n, 1)(ℝ), on donnera un sens à f(X) en posant f(X) = f(x_1, …, x_n).
• -
  Pour les programmes Python, on dispose d'un petit formulaire à la fin du sujet. On importe aussi les bibliothèques suivantes :

  import numpy as np
  import numpy.random as rd
  

  Toute fonction Python écrite en réponse à une question de l'énoncé peut être utilisée dans les programmes ou fonctions Python demandés par la suite.

Partie I : préliminaires

• 1.Soient σ ∈ 𝒫_n et φ_σ l'endomorphisme de ℝ^n canoniquement associé à P_σ. Montrer que ∀j ∈ [ [1; n] ]φ_σ(e_j) = e_(σ(j)).
• 2.Soient σ ∈ 𝒫_n et τ ∈ 𝒫_n. Montrer que P_σ P_τ = P_(σ ∘ τ) et en déduire que l'inverse d'une matrice de permutation est aussi une matrice de permutation.
• 3.Montrer que toute matrice de permutation P ∈ ℙ_n est orthogonale.
• 4.Montrer par récurrence sur n ∈ ℕ^∗ que pour tout (x_1, ⋯, x_n) ∈ ℝ^n il existe α ∈ 𝒫_n tel que
  x_(α(1)) ⩾ ⋯ ⩾ x_(α(n))
• 5.Soient (x_1, ⋯, x_n) ∈ ℝ^n et α, β ∈ 𝒫_n tels que x_(α(1)) ⩾ ⋯ ⩾ x_(α(n)) et x_(β(1)) ⩾ ⋯ ⩾ x_(β(n)). Montrer que
  ∀i ∈ [ [1; n] ], x_(α(i)) = x_(β(i)).
  Dans toute la suite, pour tout x = (x_1, ⋯, x_n) ∈ ℝ^n, on note x^ = (x^_1, ⋯, x^_n) l'élément de ℝ^n défini par
  ∀i ∈ [ [1; n] ], x^_i = x_(α(i)),
  où α ∈ 𝒫_n est choisi tel que x_(α(1)) ⩾ ⋯ ⩾ x_(α(n)) (autrement dit, x^_1 ⩾ ⋯ ⩾ x^_n sont les composantes x_1, ⋯, x_n réordonnées dans l'ordre décroissant).

6. On écrit une fonction Python ayant comme entrée un tableau monodimensionnel de réels X (représentant un vecteur) et qui renvoie un tableau Y contenant les mêmes valeurs que X ordonnées dans l'ordre décroissant et une permutation α correspondant à la question 4.

def permutevecteur(X):
    n=len(X)
    alpha=np.arange(0,n,1)
    Y=X.copy() # Y est un nouveau tableau initialisé avec les valeurs de X
    for i in range(n):
        imax=...
        for k in range(i,n):
            if Y[k] >...:
                imax=...
        if imax>i :
            ... , ... = ... , ...
            alpha[i],alpha[imax]=alpha[imax],alpha[i]
    return Y,alpha

Partie II : matrices bistochastiques
Théorème de Birkhoff-Von Neumann en basses dimensions

• -On dit qu'une matrice S ∈ M_n(ℝ) est bistochastique si elle vérifie les trois propriétés suivantes :
  • (a) ∀(i, j) ∈ [ [1; n] ]^2, S_(i, j) ⩾ 0,
  • (b) ∀i ∈ [ [1; n] ], ∑_(j = 1)^n S_(i, j) = 1,
  • (c) ∀j ∈ [ [1; n] ], ∑_(i = 1)^n S_(i, j) = 1.
• -On dit qu'une matrice S ∈ M_n(ℝ) est orthostochastique s'il existe une matrice orthogonale Q ∈ 𝒪_n telle que
  ∀(i, j) ∈ [ [1; n] ]^2, S_(i, j) = (Q_(i, j))^2.

• 7.(a) Montrer que toute matrice orthostochastique et toute matrice de permutation dans M_n(ℝ) sont bistochastiques.

• • (b)Montrer qu'une matrice bistochastique n'est pas toujours orthostochastique en donnant un exemple pour n = 3.
• 8.On se place dans le cas particulier n = 2.
  • (a)Trouver toutes les matrices de permutation appartenant à M_2(ℝ).
  • (b)En déduire qu'une matrice S ∈ M_2(ℝ) est bistochastique si et seulement s'il existe α ∈ [0, 1] et P ∈ M_2(ℝ) une matrice de permutation tels que
    S = αI_2 + (1 − α)P.
• 9.On se place dans le cas particulier n = 3. Soit S ∈ M_3(ℝ) une matrice bistochastique.
  • (a)Quel est le nombre de permutations de {1, 2, 3} ?
  • (b)Montrer que les matrices suivantes sont des matrices de permutation et indiquer les bijections σ associées :
    P_1 = [1, 0, 0; 0, 0, 1; 0, 1, 0], P_2 = [0, 0, 1; 0, 1, 0; 1, 0, 0], P_3 = [0, 1, 0; 1, 0, 0; 0, 0, 1],; P_4 = [0, 1, 0; 0, 0, 1; 1, 0, 0], P_5 = [0, 0, 1; 1, 0, 0; 0, 1, 0].
  • (c)Montrer que S est de la forme
    S = [S_(1, 1), S_(1, 2), 1 − S_(1, 1) − S_(1, 2); S_(2, 1), S_(2, 2), 1 − S_(2, 1) − S_(2, 2); 1 − S_(1, 1) − S_(2, 1), 1 − S_(1, 2) − S_(2, 2), S_(3, 3)].
    Exprimer S_(3, 3) en fonction des coefficients S_(i, j), 1 ⩽ i, j ⩽ 2 et donner des conditions nécessaires sur ces coefficients S_(i, j), 1 ⩽ i, j ⩽ 2.
  • (d)Ces conditions étant satisfaites, on pose β_0 = min_(1 ⩽ i ⩽ 3)S_(i, i).
    Montrer qu'il existe des réels positifs β_i, 1 ⩽ i ⩽ 5, tels que :
    S = β_0 I_3 + ∑_(i = 1)^5 β_i P_i.
  • (e)Conclure.
• 10.Ecrire une fonction Python bistochastique(n,iter) ayant deux paramètres d'entrée n et iter, représentant des entiers naturels non nuls, et qui renvoie une matrice bistochastique construite de la manière suivante :
  • -on construit au départ une matrice A^((0)) de taille n × n dont chaque coefficient a_(i, j)^((0)) est obtenu en simulant une réalisation de la loi uniforme sur ]0, 1[,
  • -pour 0 ⩽ k < iter :
    • -on calcule la matrice A^((2k + 1)) obtenue à partir de la matrice A^((2k)) en divisant chaque ligne de A^((2k)) par la somme de ses coefficients :
      A_(i, j)^((2k + 1)) = (A_(i, j)^((2k)))/(∑_(ℓ = 1)^n A_(i, ℓ)^((2k))), pour 1 ⩽ i, j ⩽ n.

• • -on calcule ensuite la matrice A^((2k + 2)) obtenue à partir de la matrice A^((2k + 1)) en divisant chaque colonne par la somme de ses coefficients :
    A_(i, j)^((2k + 2)) = (A_(i, j)^((2k + 1)))/(∑_(ℓ = 1)^n A_(ℓ, j)^((2k + 1))), pour 1 ⩽ i, j ⩽ n.
  • -La fonction renvoie la dernière matrice A^((2k + 2)) obtenue quand k = iter -1 . On admet que si iter est assez grand, on peut considérer que cette matrice est bisto-chastique.

Partie III : fonctions symétriques et fonctions S-convexes

• -On pose H_n = {y = (y_1, ⋯, y_n) ∈ ℝ^n|y_1 ⩾ y_2 ⩾ … ⩾ y_n}.
• -On dit qu'une fonction f : ℝ^n → ℝ est symétrique si pour tout x ∈ ℝ^n et toute permutation σ ∈ 𝒫_n on a f(x) = f(x_σ).
• -On dit qu'une fonction f : ℝ^n → ℝ est S-convexe si pour tout X ∈ M_(n, 1)(ℝ) et toute matrice bistochastique B ∈ M_n(ℝ) on a f(BX) ⩽ f(X).
• 11.Soient σ ∈ 𝒫_n et X = (x_1; ⋮; x_n) ∈ M_(n, 1)(ℝ). Déterminer P_σ X.
• 12.Soit une fonction f : ℝ^n → ℝ.
  Montrer que f est symétrique si et seulement si ∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ), ∀P ∈ ℙ_n, f(PX) = f(X)
• 13.Soit f une fonction de ℝ^n dans ℝ. Montrer que f est symétrique si et seulement s'il existe une fonction f^ de H_n dans ℝ telle que
  ∀x ∈ ℝ^n, f(x) = f^(x^).
• 14.Pour chacune des fonctions suivantes, indiquer si elle est symétrique ou non en le prouvant si la réponse est oui, ou en donnant un contre-exemple si la réponse est non :
  f_1, : (x_1, ⋯, x_n) ∈ ℝ^n ↦ ∑_(k = 1)^n x_k,; f_2, : (x_1, ⋯, x_n) ∈ ℝ^n ↦ x_1^2 + x_2 + ⋯ + x_n,; f_3, : (x_1, ⋯, x_n) ∈ ℝ^n ↦ max_(1 ⩽ i, j ⩽ n)|x_i − x_j|.
• 15.Soient f : ℝ^n → ℝ symétrique de classe C^1 sur ℝ^n, σ ∈ 𝒫_n et x ∈ ℝ^n. On définit
  ∀i ∈ [ [1; n] ], g_(i, x) : ℝ, →, ℝ; t, ↦, f(x + te_i).
  Soit i ∈ [ [1; n] ].
  • (a)Montrer que g_i est de classe C^1 sur ℝ et donner sa dérivée en fonction des dérivées partielles de f.

• • (b)Montrer que g_(i, x_σ) = g_(σ(i), x).
  • (c)En déduire que tout x ∈ ℝ^n on a :
    ∂_i f(x_σ) = ∂_(σ(i))f(x).
• 16.Montrer que toute fonction S-convexe de ℝ^n dans ℝ est symétrique.
• 17.Soient E un espace vectoriel et g une application de E dans ℝ convexe. Montrer que pour tous z_1, ⋯, z_m ∈ E, m ∈ ℕ^∗, et tous réels positifs α_1, ⋯, α_m tels que α_1 + ⋯ + α_m = 1 on a l'inégalité
  g(∑_(k = 1)^m α_k z_k) ⩽ ∑_(k = 1)^m α_k g(z_k).
• 18.En déduire que toute fonction f : ℝ^n → ℝ symétrique et convexe est S-convexe .
• 19.On se place dans le cas particulier n = 2. Soit f une fonction S-convexe de ℝ^2 dans ℝ de classe C^1. Soit x = (x_1, x_2) ∈ ℝ^2. On pose
  g(t) = f((1 − t)x_1 + tx_2, (1 − t)x_2 + tx_1) pour tout t ∈ ℝ.
  • (a)Montrer que g est de classe C^1 sur ℝ et exprimer, pour tout t ∈ ℝ, g^′(t) en fonction des dérivées partielles de f, de t, x_1 et x_2.
  • (b)Montrer que g(t) ⩽ g(0) pour tout t ∈ [0, 1]. En déduire que g^′(0) ⩽ 0.
  • (c)En déduire que
    ∀x = (x_1, x_2) ∈ ℝ^2, (x_1 − x_2)(∂_1 f(x) − ∂_2 f(x)) ⩾ 0.
• 20.On revient au cas général où n ⩾ 2 est quelconque mais fixé. Soit f une fonction S-convexe de ℝ^n dans ℝ de classe C^1. Montrer que pour tous i, j ∈ {1, ⋯, n} on a
  ∀x = (x_1, ⋯, x_n) ∈ ℝ^n, (x_i − x_j)(∂_i f(x) − ∂_j f(x)) ⩾ 0.
• 21.Soit h : ℝ → ℝ de classe C^1 sur ℝ. On pose
  ℝ^n, → ℝ; f :, (x_1, …, x_n) ↦ ∑_(k = 1)^n h(x_k).
  Montrer que f est S-convexe si et seulement si h est convexe.

Partie IV : fonctions spectrales. Théorèmes de Davis et de Fan.