BCE Maths approfondies HEC/ESSEC ECG 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

Conception : ESSEC BS - HEC PARIS

MATHÉMATIQUES APPROFONDIES FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE VOIE GÉNÉRALE

Notations

• -Pour tout n ∈ ℕ^∗, on note I_n la matrice identité de ℳ_n(ℝ).
• -Pour tout (n, p) ∈ ℕ^∗ × ℕ^∗ et toute matrice A ∈ ℳ_(n, p)(ℝ) on note ker(A) et Im(A) les ensembles :
  ker(A), = {X ∈ ℳ_(p, 1)(ℝ)|AX = 0},; Im(A), = {AX|X ∈ ℳ_(p, 1)(ℝ)}.
• -Lorsque A = [a] ∈ ℳ_1(ℝ), où a ∈ ℝ, on identifie A au réel a.
• -Pour tout (i, j) ∈ [ [1, n] ] × [ [1, p] ] le coefficient sur la i-ème ligne et la j-ème colonne de A est noté A_(i, j).
• -Si X ∈ ℳ_(p, 1)(ℝ) est un vecteur colonne et i ∈ [ [1, p] ], on note x_i (lettre minuscule) sa i-ème composante.
• -Pour n ∈ ℕ^∗, on note ⟨.,. ⟩leproduitscalairecanoniquedeℳ_(n, 1)(ℝ) défini par
  ∀X ∈ ℳ_(n, 1)(ℝ), ∀Y ∈ ℳ_(n, 1)(ℝ), ⟨X, Y⟩ = ^t XY = ∑_(i = 1)^n x_i y_i.
  Pour tout X ∈ ℳ_(n, 1)(ℝ), n ∈ ℕ^∗, on note ‖X‖ la norme euclidienne de X définie par
  ‖X‖ = √(⟨X, X⟩) = √(^t XX)

• -Soit (Ω, A, ℙ) un espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires de cet énoncé sont définies sur cet espace.
• -Si Z est une variable aléatoire réelle, on note 𝔼(Z) son espérance et 𝕍(Z) sa variance, si elles existent.
• -Pour tout k ∈ ℕ^∗, les éléments de ℝ^k seront considérés comme des vecteurs colonnes. Autrement dit, et sauf indication du contraire, on confondra ℝ^k et ℳ_(k, 1)(ℝ).

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy.random as rd
import numpy.linalg as al

Partie I : autour de l'adjoint

• 1.Soit ℓ une application linéaire de E dans ℝ. Montrer qu'il existe un et un seul vecteur a_0 ∈ E tel que
  ∀x ∈ E, ℓ(x) = ⟨a_0, x⟩_E.

• 2.En déduire que, pour tout y ∈ F, il existe un seul z_y ∈ E tel que
  ∀x ∈ E, ⟨u(x), y⟩_F = ⟨z_y, x⟩_E.
• 3.Montrer que l'application u^∗ : {F, →, E; y, ↦, z_y est linéaire.
  L'application u^∗ s'appelle l'application adjointe de u. On a ainsi l'identité
  ∀x ∈ E, ∀y ∈ F, ⟨u(x), y⟩_F = ⟨x, u^∗(y)⟩_E.
• 4.Montrer que
  Mat_(𝒪_E, ℬ_F)(u^∗) = ^t A,
  et en déduire que
  rg(u^∗) = rg(u) et (u^∗)^∗ = u.
• 5.Montrer que
  Im(u^∗) = ker(u)^⊥.
• 6.Montrer que
  ker(u^∗ ∘ u) = ker(u)
  et en déduire que
  Im(u^∗ ∘ u) = Im(u^∗).
• 7.Soit l'application w : Im(u^∗) → Im(u^∗) définie par
  ∀x ∈ Im(u^∗), w(x) = u^∗ ∘ u(x).
  Montrer que w est un isomorphisme et donner une interprétation en terme d'équation matricielle de ce résultat.
• 8.Soit π le projecteur orthogonal de F sur Im(u) et Q sa matrice dans la base ℬ_F.
  • (a)Montrer que
    ^t AQ = ^t A.
  • (b)Montrer que Tr(Q) = rg(u).
• 9.Montrer que M est inversible si et seulement si A est de rang égal à p.
• 10.On suppose que le rang de A est égal à p.
  • (a)Montrer que
    Q = A(M)^(− 1t)A.
  • (b)Ecrire une fonction Python Calcule_Q(A) qui prend en entrée la matrice A de type array de taille n × p, qui teste si A est de rang p et qui renvoie la matrice Q de la question précédente dans ce cas et un message d'erreur sinon.
• 11.Montrer que pour tout X ∈ ℳ_(p, 1)(ℝ),
  ^t XMX ⩾ 0.

Partie II : minimisation d'une fonction quadratique

• 12.Montrer que pour tout X ∈ ℳ_(p, 1)(ℝ) et tout H ∈ ℳ_(p, 1)(ℝ) on a
  J_0(X + H) − J_0(X) = ⟨D(X), H⟩ + 1/2tHMH.

• 13.Montrer que J_0 possède un minimum global en un point X ∈ ℳ_(p, 1)(ℝ) si et seulement si D(X) = 0.
  On notera dans la suite 𝕊_0 l'ensemble :
  𝕊_0 = {X ∈ ℳ_(p, 1)(ℝ)|D(X) = 0}.
• 14.Montrer qu'il existe X_0 ∈ ker(A)^⊥ tel que
  𝕊_0 ∩ ker(A)^⊥ = {X_0}.
• 15.Soit X ∈ 𝕊_0.
  • (a)Justifier l'identité
    AX = QY.
  • (b)Montrer que X − X_0 ∈ ker(A) et en déduire que si X ≠ X_0 alors
    ‖X‖ > ‖X_0‖.
  • (c)On suppose que le rang de A est égal à p. Montrer que, 𝕊_0 = {X} avec
    X = M^(− 1t)AY
• 16.Dans cette question, on suppose à nouveau que le rang de A est égal à p et que Y s'écrit sous la forme
  Y = AU_0 + Z,
  où
  • - U_0 est un vecteur constant fixé,
  • - Z = ^t(z_1, ⋯, z_n) où z_1, ⋯, z_n sont des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivant une loi normale de paramètres (0, σ^2) :
    z_i↪𝒩(0, σ^2).
    On définit X par la formule (4) (c'est-à-dire X = M^(− 1t)AY ). Ainsi les composantes y_1, ⋯, y_n de Y et les composantes x_1, ⋯, x_p de X sont toutes des variables aléatoires.
    On considère aussi la variable aléatoire :
    T = ‖A(X − U_0)‖^2.
  • (a)Montrer que T = ‖QZ‖^2 = ^t ZQZ
  • (b)Proposer une fonction Python simuleT(A,sigma) qui prend en argument A de type array et sigma de type flottant simulant la variable aléatoire T.
  • (c)Proposer une fonction Python esperance(A,sigma) qui prend en argument A de type array et sigma de type flottant et qui renvoie une valeur approchée de l'espérance de T.
  • (d)
    • -Nous avons testé notre algorithme pour σ = 1 et trois matrices A_1, A_2 et A_3 où
      A_1 = (1, 0; 2, 1; 3, 2) A_2 = (1, 0, 0; 2, 1, 0; 3, 2, 1; 4, 3, 2)A_3 = (1, 0, 0, 0, 0; 2, 1, 0, 0, 0; 3, 2, 1, 0, 0; 4, 3, 2, 1, 0; 5, 4, 3, 2, 1; 6, 5, 4, 3, 2).
      Les resultats obtenus sont 1, 99 3, 01 4, 97.

• On effectue maintenant le programme suivant

sig=np.arange(1,7)
rep=np.zeros(6)
for k in range(6) :
    rep[k]=esperanceT(A1,sig[k])
plt.plot(sig, rep, "*k")
plt.grid()
plt.show()

On obtient ce graphique

• (e)Exprimer 𝔼(z_1^2), 𝔼(z_1^3) et 𝔼(z_1^4) en fonction de σ.
• (f)Montrer que T = T_1 + 2T_2 où T_1 = ∑_(i = 1)^n Q_(i, i)z_i^2 et T_2 = ∑_(i = 1)^n∑_(j = i + 1)^n Q_(i, j)z_i z_j.
  En déduire 𝔼(T) et vérifier vos conjectures.
• (g)Montrer que 𝔼(T_1 T_2) = 0.
• (h)Notons q = ∑_(k = 1)^n Q_(k, k)^2.
  Montrer que 𝔼(T_1^2) = σ^4(2q + p^2) et 𝔼(T_2^2) = (σ^4)/2(p − q).
• (i)En déduire que 𝕍(T) = 2pσ^4 et Montrer pour tout α > 0 on a
  ℙ(T > (1 + α)pσ^2) ⩽ 2/(pα^2).

Partie III : minimisation d'une fonction non différentiable

• 17.Soient u et v deux vecteurs de ℝ^n tels que u ≠ 0. Montrer que
  lim_(t → 0)(‖u + tv‖ − ‖u‖)/t = (⟨u, v⟩)/(‖u‖).
• 18.Soit X_0 ∈ ℳ_(p, 1)(ℝ) réalisant le minimum global de J. Montrer que si BX_0 ≠ 0 alors nécessairement
  − D(X_0) = ^t B(BX_0)/(‖BX_0‖),
  et en déduire que − D(X_0) ∈ 𝒩(X_0).
• 19.Soit X_0 ∈ ℳ_(p, 1)(ℝ) réalisant le minimum global de J et vérifiant BX_0 = 0.
  • (a)Montrer que
    ∀H ∈ ℳ_(n, 1)(ℝ), ⟨D(X_0), H⟩ ⩽ ‖BH‖.
  • (b)En déduire que
    D(X_0) ∈ ker(B)^⊥.
  • (c)En déduire qu'il existe un vecteur W ∈ ℳ_(m, 1)(ℝ) tel que D(X_0) = ^t BW.
  • (d)En déduire qu'il existe un vecteur V ∈ ℳ_(p, 1)(ℝ) tel que D(X_0) = ^t BBV.
  • (e)Montrer que ‖BV‖ ⩽ 1 et en déduire que − D(X_0) ∈ 𝒩(X_0).
• 20.Soient u et v deux vecteurs de ℝ^n avec u ≠ 0.
  • (a)Montrer que
    ‖u + v‖^2 − (‖u‖ + (⟨u, v⟩)/(‖u‖))^2 = (‖u‖^2‖v‖^2 − ⟨u, v⟩^2)/(‖u‖^2).
  • (b)En déduire que
    ‖u + v‖ − ‖u‖ ⩾ (⟨u, v⟩)/(‖u‖)
• 21.Soient maintenant X_0, X ∈ ℳ_(p, 1)(ℝ) et W ∈ 𝒩(X_0).
  • (a)Montrer que
    ‖BX‖ − ‖BX_0‖ ⩾ ⟨W, X − X_0⟩.
  • (b)En déduire que
    J(X) − J(X_0) ⩾ ⟨D(X_0) + W, X − X_0⟩.
• 22.En déduire que X_0 ∈ ℳ_(p, 1)(ℝ) réalise un minimum global de J si et seulement si
  − D(X_0) ∈ 𝒩(X_0).
• 23.On se place dans toute la suite dans le cas où n = p = m, A = I_n et B la matrice diagonale définie par :
  B_(i, i) = {α_i, si 1 ⩽ i ⩽ k; 0, si k + 1 ⩽ i ⩽ n
  où k est un entier naturel vérifiant 1 ⩽ k < n et α_1, ⋯, α_k sont des nombres réels tous non nuls. On pose
  ρ(Y) = ∑_(i = 1)^k(y_i^2)/(α_i^2).
  On définit la fonction F de [0, + ∞[ dans ℝ par
  ∀λ ∈ [0, + ∞[, F(λ) = − 1 + ∑_(i = 1)^k(α_i^2 y_i^2)/((λ + α_i^2)^2).
  • (a)Montrer que
    ∀λ ∈ ]0, + ∞[, F(λ) ⩽ − 1 + 1/(4λ)∑_(i = 1)^k y_i^2.

• (b)On suppose dans cette question uniquement que ρ(Y) > 1. Montrer qu'il existe un et un seul λ_0 ∈ ]0, + ∞[ tel que F(λ_0) = 0 et justifier l'inégalité
  λ_0 ⩽ 1/4∑_(i = 1)^k y_i^2
• (c)On pose
  β = {0, si ρ(Y) ⩽ 1,; λ_0, si ρ(Y) > 1.
  et
  X_0 = Y − BV
  où V ∈ ℳ_(n, 1)(ℝ) est défini par
  v_i = {(α_i y_i)/(β + α_i^2), si 1 ⩽ i ⩽ k,; 0, si k + 1 ⩽ i ⩽ n.
  Montrer que X_0 réalise un minimum global de J.
• (d)Python. On représente les données du problème :
  • -un tableau monodimensionnel de type array alpha contenant les valeurs α_1, ⋯, α_k,
  • -un tableau monodimensionnel de type array Y contenant le vecteur Y,
  • -un paramètre lda de type flottant représentant un réel λ supposé positif,
  • -un paramètre epsilon de type flottant représentant un réel ε > 0.
  • i.Ecrire une fonction FoncSom(alpha, Y, lda) qui prend comme arguments alpha, Y contenant le vecteur Y, lda et qui renvoie la valeur F(λ).
  • ii.Ecrire une fonction CalcBeta(alpha, Y,epsilon) qui prend comme arguments alpha, Y contenant le vecteur Y, epsilon et qui renvoie une valeur approchée β_a du réel β à ε prés, trouvée par une méthode de dichotomie dans l'intervalle [0, 1/4∑_(i = 1)^k y_i^2] quand ρ(Y) > 1.
  • iii.Ecrire une fonction CalcSolution(alpha, Y, epsilon) qui prend les mêmes arguments que la fonction CalcBeta et qui renvoie un tableau monodimensionnel contenant la solution X_0 ci-dessus.

I. Mathématiques générales

II. Algèbre linéaire

import numpy.linalg as al

III. Simulations probabilistes

import numpy.random as rd

rd.exponential (a, [q,r])
rd.exponential (a, n)

rd.normal(m,d,[q,r])
rd. normal (m, d, n)

rd.gamma(m,a,[q,r])
rd.gamma(m,a,n)

IV. Graphiques

import matplotlib.pyplot as plt