Mines Informatique Commune MP PC PSI 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022

ÉPREUVE D'INFORMATIQUE COMMUNE

Durée de l'épreuve : 2 heures

INFORMATIQUE COMMUNE

L'énoncé de cette épreuve comporte 12 pages de texte.

Modélisation numérique d'un matériau magnétique

Partie I : Transition paramagnétique/ferromagnétique sans champ magnétique extérieur

1. Écrire les instructions nécessaires pour importer exclusivement les fonctions exponentielle (exp) et tangente hyperbolique (tanh) du module math, ainsi que les fonctions randrange et random du module random. Ces fonctions seront ainsi utilisables dans tous les programmes que vous écrirez ultérieurement.
2. A partir de l'équation 2 , indiquer une équation f(x, t) = 0, d'inconnue x que l'on doit résoudre et écrire en Python la définition de la fonction f correspondante (paramètres x et t, valeur renvoyée f(x, t) ).
3. Écrire une fonction dicho(f, t, a, b, eps) qui calcule une valeur approchée à eps près du zéro d'une fonction f(m, t) de variable x et de paramètre t fixé sur un intervalle [a, b]. On supposera pour simplifier que la fonction dont on recherche le zéro est continue et s'annule une fois et une seule sur l'intervalle [a, b].
4. Établir l'expression de la complexité temporelle asymptotique de la fonction dicho en fonction de a, b et eps.

Figure 1 - aimantation réduite m en fonction de la température réduite t

Partie II : Recherche dans une base de données de matériaux magnétiques

• La table materiaux contient un champ id_materiau, clé primaire de la table de valeur entière, un champ nom de type chaîne de caractères pour le nom du matériau et un champ t_curie de valeur entière pour la température de Curie du matériau en kelvin.

• La table fournisseurs, contenant un champ id_fournisseur, clé primaire de type entier qui précise le code de chaque fournisseur, et un champ nom_fournisseur de type chaîne de caractères pour le nom du fournisseur.

• La table prix qui contient un champ id_prix, clef primaire de type entier, un champ id_mat dont les valeurs sont incluses dans l'ensemble des valeurs de la clé id_materiau de la table materiaux, un champ id_four dont les valeurs sont incluses dans l'ensemble des valeurs de la clé id_fournisseur de la table fournisseurs, et un champ prix_kg de type flottant qui précise le prix au kg que ce fournisseur propose pour ce matériau, en euros. Un fournisseur qui ne propose pas un matériau donné n'a pas d'entrée correspondante dans cette table.

Partie III : Modèle microscopique d'un matériau magnétique

	h
		↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑
	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑
	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑
	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑
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	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑	↑

Figure 2 - Modèle des spins dans un matériau ferromagnétique

h = 100
n = h**2

Figure 3 - Modèle des spins d'un matériau antiferromagnétique

11. Écrire une fonction initialisation_anti() renvoyant une liste s d'initialisation des domaines contenant h spins en largeur et h en hauteur en alternant les 1 et -1 comme sur la figure 3 .
12. Pour afficher l'état global du matériau, il est nécessaire de convertir la liste s utilisée en un tableau de taille h × h représenté par une liste de listes. Écrire une fonction repliement(s) qui prend en argument la liste de spins s et qui renvoie une liste de h listes de taille h représentant le domaine.
    Attention : dans la suite, l'utilisation de la fonction repliement n'est pas autorisée : on travaille exclusivement sur une liste unidimensionnelle s.

13. Définir une fonction liste_voisins(i) qui renvoie la liste des indices des plus proches voisins du spin s_i d'indice i dans la liste s (dans l'ordre gauche, droite, dessous, dessus). On pourra utilement utiliser les opérations % et // de Python, qui renvoient le reste et le quotient de la division euclidienne.
14. Définir la fonction energie(s) qui calcule l'énergie d'une configuration s donnée (cf. équation 3).
    Pour trouver une configuration stable pour les spins, il faut faire évoluer la liste vers une situation d'équilibre conformément aux principes de la physique statistique. On adopte une méthode probabiliste connue sous le nom de méthode de Monte-Carlo, dont le principe de fonctionnement est le suivant. À chaque étape :

• on choisit un spin au hasard dans l'échantillon,
• on calcule la variation d'énergie ΔE qui résulterait d'un changement d'orientation de ce spin,
• si ΔE ⩽ 0, ce spin change de signe,
• si ΔE > 0, ce spin change de signe avec la probabilité donnée par la loi de Boltzmann :

def calcul_delta_e1(s, i):
    s2 = s[:]
    s2[i] = -s[i]
    delta_e = energie(s2)-energie(s)
    return delta_e
def calcul_delta_e2(s, i):
    delta_e = 0
    for j in liste_voisins(i):
        delta_e = delta_e + 2*s[i]*s[j]
    return delta_e

• initialise une liste des spins (avec la fonction initialisation par exemple),
• la fait évoluer en effectuant n_tests tests de Boltzmann et les inversions éventuelles qui en découlent,
• calcule et renvoie l'aimantation moyenne de la configuration à la température T (définie ici comme la somme des valeurs des spins divisée par le nombre total de spins).

19. Évaluer la complexité asymptotique de la fonction aimantation_moyenne(n_tests, T) en fonction de n, nombre de spins dans le système, et de n_tests.
20. Cette complexité asymptotique serait-elle modifiée si on avait voulu prendre en compte toutes les interactions entre deux spins quelconques dans le système, et plus seulement entre les plus proches voisins? Justifier.

Figure 5 - Évolution du domaine en fonction de la température T

21. Indiquer l'influence de l'augmentation de la température sur le comportement du matériau ferromagnétique.

Partie IV : Exploration des domaines de Weiss

Figure 6 - Représentation des domaines de Weiss

• Pour chaque spin voisin du spin s_i, elle doit vérifier si les spins sont identiques, et s'il n'a pas déjà été affecté à un domaine de Weiss précédemment.
• Dès qu'un tel spin est ajouté, on inscrit son numéro de domaine dans la liste weiss, et on explore récursivement son voisinage.

22. Écrire le code de la fonction récursive explorer_voisinage(s, i, weiss, num) conforme à la description ci-dessus.

• récupérer l'indice d'un spin à explorer dans la pile et le marquer dans la liste weiss,
• regarder dans son voisinage si des spins possèdent la même valeur et n'ont pas encore été affectés à un domaine, puis ajouter leurs indices dans la pile si c'est le cas.

23. Écrire le code de la fonction itérative explorer_voisinage_pile(s, i, weiss, num, pile) conforme à la description ci-dessus.

Figure 7 - Domaines de Weiss après marquage en nuances de gris

Fin de l'épreuve

Annexe : Documentation sommaire

• Module math : les fonctions exp et tanh permettent de calculer l'exponentielle et la tangente hyperbolique d'un entier ou d'un flottant.
• Module random :
• randrange(n) permet de renvoyer un entier aléatoirement choisi parmi 0, 1, 2…, n − 1
• random() permet de renvoyer un flottant aléatoire entre 0 et 1 suivant une densité de probabilité uniforme.
  On admet que ces deux fonctions sont de complexité constante.