Feuille d'entraînement : Photons et dualité onde-corpuscule

Corrigés

1. Exercice 1ENAC Physique MPSI 2023, Q33

   D'après l'hypothèse de Louis de Broglie, la longueur d'onde de matière associée à un corpuscule quantique de quantité de mouvement p = m_e v est :

   \lambda_{DB} = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_e v}

   D'après la question 31, la vitesse de l'électron à l'anode est v = \sqrt{\dfrac{2 e V_a}{m_e}}, ce qui donne pour la quantité de mouvement :

   p = m_e \sqrt{\frac{2 e V_a}{m_e}} = \sqrt{2 e m_e V_a}

   On en déduit l'expression littérale de la longueur d'onde de De Broglie :

   \boxed{\lambda_{DB} = \frac{h}{\sqrt{2 e m_e V_a}}}

   La proposition A est donc exacte (la proposition B est fausse car non homogène, il y manque m_e).

   Calculons la valeur numérique de \lambda_{DB} en utilisant le résultat de la question 32 (v \approx 6 \times 10^6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) et les constantes fournies :

   \begin{aligned} p &\approx 9 \times 10^{-31}\text{ kg} \times 6 \times 10^6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} = 5{,}4 \times 10^{-24}\text{ kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1} \\ \lambda_{DB} &\approx \frac{6{,}63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}}{5{,}4 \times 10^{-24}\text{ kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}} \approx 1{,}2 \times 10^{-10}\text{ m} = 120\text{ pm} \approx 100\text{ pm} \end{aligned}

   À l'ordre de grandeur près, on a bien :

   \boxed{\lambda_{DB} \approx 100\text{ pm}}

   La proposition C est donc également exacte (et la proposition D est fausse car 100\text{ nm} = 10^3\text{ pm} est trois ordres de grandeur trop grand).

   Conclusion : les propositions exactes sont A et C.

   Résultat

   $${\lambda }_{DB}=\frac{h}{\sqrt{2e{m}_e{V}_a}}$$

   $${\lambda }_{DB}\approx 100\text{ pm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENAC Physique MPSI 2021, Q31

   La relation de Planck-Einstein associe l'énergie E d'un photon à la fréquence \nu de l'onde électromagnétique associée par :

   E = h\nu

   On en déduit la dimension physique de la constante de Planck :

   [h] = \frac{[E]}{[\nu]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{T}^{-1}} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}

   On peut donc exprimer son unité de deux manières équivalentes :

   • À l'aide de l'unité dérivée de l'énergie, le joule (\mathrm{J}) :

     [h] = [E]\cdot [\mathrm{T}] \implies \mathrm{J\cdot s} \quad \text{(Joule seconde)}

     L'affirmation B est donc exacte.

   • Dans les unités de base du Système International (\mathrm{kg}, \mathrm{m}, \mathrm{s}) :

     [h] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1} \implies \mathrm{kg\cdot m^2\cdot s^{-1}}

     L'affirmation D est donc également exacte.

   \boxed{\text{Réponses B et D}}

   Résultat

   $$\text{Reˊponses B et D}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENAC Physique MPSI 2021, Q32

   D'après l'hypothèse de Louis de Broglie, la longueur d'onde \lambda_{DB} associée à une particule de quantité de mouvement p = m_n v_n (dans le domaine non relativiste, puisque v_n \ll c) s'écrit :

   \lambda_{DB} = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_n v_n}

   Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

   • h \approx 6{,}6 \times 10^{-34}\;\mathrm{J\cdot s} ;
   • m_n \approx 1{,}7 \times 10^{-27}\;\mathrm{kg} ;
   • v_n = 0{,}2\;\mathrm{km\cdot s^{-1}} = 200\;\mathrm{m\cdot s^{-1}}.

   On calcule la quantité de mouvement :

   p = 1{,}7 \times 10^{-27} \times 200 = 3{,}4 \times 10^{-25}\;\mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-1}}

   D'où :

   \lambda_{DB} \approx \frac{6{,}6 \times 10^{-34}}{3{,}4 \times 10^{-25}} \approx 1{,}94 \times 10^{-9}\;\mathrm{m} \approx 2\;\mathrm{nm}

   \boxed{\text{A}}

   Résultat

   $$\text{A}$$

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4. Exercice 4ENAC Physique MPSI 2021, Q36

   Analyse des propositions A et D : En mécanique quantique, la fonction d'onde associée au neutron détermine une densité de probabilité de présence |\psi(y)|^2 sur l'écran. À l'échelle d'une particule individuelle, le point d'impact est régi par le hasard quantique fondamental : il est individuellement impossible à prédire (imprédictible). En revanche, la répétition d'un grand nombre N d'événements indépendants fait émerger la loi de probabilité sous-jacente, reconstruisant point par point la figure de diffraction continue classique :

   • L'affirmation A est donc exacte.
   • L'affirmation D est fausse.

   Analyse de la proposition B : Pour s'assurer qu'un seul neutron est présent à la fois dans le dispositif expérimental, la période de répétition T_r doit être supérieure au temps de transit total d'un neutron entre la source d'émission et l'écran de détection. La distance totale parcourue par le neutron est la somme de la distance source-fente (L_1 = 5\text{ m}) et de la distance fente-écran (d = 5\text{ m}, donnée à la question 33) :

   D = L_1 + d = 5\text{ m} + 5\text{ m} = 10\text{ m}

   Sachant que la vitesse d'un neutron est v_n = 0{,}2\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 200\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, le temps de vol vaut :

   t_{\text{vol}} = \frac{D}{v_n} = \frac{10}{200} = 0{,}05\text{ s} = 50\text{ ms}

   Pour qu'aucun neutron ne puisse interférer ou interagir avec le suivant, il faut bien T_r > t_{\text{vol}} = 50\text{ ms}. L'affirmation B est donc exacte.

   Analyse de la proposition C : L'expérience photon par photon (historiquement initiée par Taylor en 1909) montre que la lumière présente exactement le même comportement : les photons arrivent un à un de manière probabiliste et reconstruisent progressivement la figure de diffraction ondulatoire. L'affirmation C est donc fausse.

   \boxed{\text{Les affirmations A et B sont exactes.}}

   Résultat

   $$\text{Les affirmations A et B sont exactes.}$$

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