Feuille d'entraînement : Lentilles, miroirs et formation des images

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q38

   Les conditions optiques permettant d'obtenir un stigmatisme approché (ainsi qu'un aplanétisme approché) sont les conditions de Gauss. Elles sont au nombre de deux :

   1. Rayons proches de l'axe optique : les rayons lumineux traversent le système optique au voisinage immédiat de l'axe optique (distance à l'axe très faible devant les rayons de courbure des dioptres).
   2. Rayons peu inclinés par rapport à l'axe optique : les angles que font les rayons avec l'axe optique (et avec les normales aux dioptres) sont petits devant 1\text{ rad}, ce qui permet d'utiliser les approximations au premier ordre : \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta.

   Ces rayons sont qualifiés de rayons paraxiaux. En pratique, ces conditions sont réalisées en diaphragmant l'instrument d'optique et en restreignant le champ d'observation.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q50

   Un doublet afocal transforme un faisceau de rayons parallèles (objet à l'infini) en un faisceau de rayons parallèles (image à l'infini). Pour cela, le foyer principal image de la première lentille coïncide avec le foyer principal objet de la seconde :

   F'_1 \equiv F_2

   Positions des éléments sur l'axe optique orienté dans le sens de propagation de la lumière :

   • Pour la lentille divergente L_1 de centre O_1 :

     \overline{O_1 F'_1} = f'_1 = -20\text{ mm} \quad (\text{foyer image situé en amont de } L_1)

   • Pour la lentille convergente L_2 de centre O_2 :

     \overline{F_2 O_2} = f'_2 = 100\text{ mm} \quad (\text{foyer objet situé en amont de } L_2)

   • La distance entre les deux lentilles est donc :

     e = \overline{O_1 O_2} = \overline{O_1 F'_1} + \overline{F_2 O_2} = f'_1 + f'_2 = -20\text{ mm} + 100\text{ mm} = 80\text{ mm}

   Marche des rayons lumineux :

   • Les rayons incidents parallèles à l'axe optique rencontrent la lentille divergente L_1 et émergent en divergeant, les prolongements virtuels de ces rayons passant par le foyer image F'_1.
   • Comme F'_1 \equiv F_2, ces rayons semblent provenir du foyer objet F_2 de la lentille convergente L_2. Ils émergent donc de L_2 parallèles entre eux et parallèles à l'axe optique.
   • Le faisceau obtenu est cylindrique et élargi.

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3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q39

   Le train joue le rôle d'un objet réel situé à la distance D = 3\text{ m} en amont de la lentille. En orientant l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite sur les figures 14 et 15), la position algébrique de l'objet est :

   \overline{OA} = -D

   Pour que l'image formée sur le capteur soit nette, le capteur doit être situé dans le plan de l'image A', soit :

   \overline{OA'} = d > 0

   La formule de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique s'écrit :

   \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} \iff \frac{1}{d} + \frac{1}{D} = \frac{1}{f'}

   On en déduit l'expression littérale de la distance d :

   \begin{aligned} \frac{1}{d} &= \frac{1}{f'} - \frac{1}{D} = \frac{D - f'}{D\,f'} \\ d &= \frac{D\,f'}{D - f'} \end{aligned}

   Application numérique avec D = 3\text{ m} = 300\text{ cm} et f' = 5{,}00\text{ cm} = 0{,}0500\text{ m} :

   d = \frac{3{,}00 \times 0{,}0500}{3{,}00 - 0{,}0500} = \frac{0{,}150}{2{,}95} \approx 0{,}05085\text{ m} \approx 5{,}085\text{ cm}

   En arrondissant à deux chiffres significatifs :

   \boxed{d = 5{,}1\text{ cm} = 5{,}1 \times 10^{-2}\text{ m}}

   Résultat

   $$d=5,1\text{ cm}=5,1\times 10^{-2}\text{ m}$$

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4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q40

   La surface totale du capteur photographique rectangulaire vaut :

   S = L \times \ell

   Le capteur est composé de N = 24\text{ Mpixels} = 24 \times 10^6\text{ pixels} carrés de côté a disposés en matrice. En négligeant l'espace inter-pixels (facteur de remplissage proche de 1), la surface totale s'écrit :

   S = N \, a^2

   On en déduit l'expression littérale du côté d'un pixel :

   a = \sqrt{\frac{L\,\ell}{N}}

   Avec les valeurs numériques fournies :

   • L = 36\text{ mm} = 36 \times 10^{-3}\text{ m} ;
   • \ell = 24\text{ mm} = 24 \times 10^{-3}\text{ m} ;
   • N = 24 \times 10^6.

   Le calcul donne :

   \begin{aligned} a &= \sqrt{\frac{36 \times 10^{-3} \times 24 \times 10^{-3}}{24 \times 10^6}} \\ &= \sqrt{36 \times 10^{-12}} = 6{,}0 \times 10^{-6}\text{ m} \end{aligned}

   \boxed{a = 6{,}0\ \mu\mathrm{m}}

   Résultat

   $$a=6,0\mu \mathrm{m}$$

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5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q49

   1. Définition du stigmatisme :

   • Un système optique est dit rigoureusement stigmatique pour un couple de points (A, A') si tout rayon lumineux issu du point objet A (réel ou virtuel) émerge du système en passant par le point image unique A' (ou en semblant provenir de A').
   • Le stigmatisme est approché lorsque l'ensemble des rayons issus d'un point objet A ne convergent pas exactement en un point géométrique unique, mais traversent une zone de dimension suffisamment restreinte (tache image) pour pouvoir être assimilée à un point par le récepteur (œil, détecteur).

   2. Conditions de l'approximation de Gauss :

   L'approximation de Gauss correspond à l'étude des rayons dits paraxiaux, qui satisfont aux deux conditions suivantes :

   • les rayons sont peu inclinés par rapport à l'axe optique (angles d'incidence faibles : \theta \ll 1\text{ rad}, justifiant les approximations \sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta) ;
   • les rayons sont proches de l'axe optique (faible ouverture du système, faisceau intercepté au voisinage du sommet ou du centre optique).

   Dans ces conditions, le stigmatisme et l'aplanétisme approchés sont généralement vérifiés pour les systèmes centrés.

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6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q51

   Considérons un rayon incident parallèle à l'axe optique, délimitant le bord du faisceau incident de diamètre D_1, à la distance de l'axe optique :

   r_1 = \frac{D_1}{2}

   Ce rayon traverse la lentille divergente L_1 en I_1 et émerge selon une droite dont le prolongement vers l'amont passe par le foyer image F'_1.

   Le doublet étant afocal, ce point coïncide avec le foyer objet de la seconde lentille (F'_1 \equiv F_2). Le rayon incident sur L_2 semble donc provenir de son foyer objet F_2 : il émerge de L_2 parallèlement à l'axe optique, à une distance radiale :

   r_2 = \frac{D_2}{2}

   Les points F'_1 \equiv F_2, I_1 (sur L_1) et I_2 (sur L_2) étant alignés, le théorème de Thalès dans les triangles semblables de sommet commun F'_1 donne :

   \frac{r_2}{r_1} = \frac{D_2}{D_1} = \frac{| \overline{F'_1 O_2} |}{| \overline{F'_1 O_1} |} = \frac{|\overline{F_2 O_2}|}{|\overline{F'_1 O_1}|} = \frac{f'_2}{|f'_1|}

   On en déduit l'expression du diamètre du faisceau émergent :

   D_2 = \frac{f'_2}{|f'_1|}\, D_1

   Application numérique avec f'_2 = 100\text{ mm}, |f'_1| = 20\text{ mm} et D_1 = 3{,}0\text{ mm} :

   \begin{aligned} D_2 &= \frac{100}{20} \times 3{,}0\text{ mm} = 5 \times 3{,}0\text{ mm} = 15\text{ mm} \end{aligned}

   \boxed{D_2 = 15\text{ mm} = 1{,}5\text{ cm}}

   Résultat

   $$D_2=15\text{ mm}=1,5\text{ cm}$$

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7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q41

   Pendant la durée d'exposition t_{\exp}, le train se déplace à vitesse v selon une direction orthogonale à l'axe optique. La distance parcourue par le sujet est :

   \Delta x = v \, t_{\exp}

   D'après la relation de grandissement transversal, l'image de ce point se déplace sur le capteur d'une distance :

   \Delta x' = |\gamma| \, \Delta x = |\gamma| \, v \, t_{\exp}

   avec, d'après les questions Q39 et l'expression du grandissement :

   |\gamma| = \frac{d}{D} = \frac{f'}{D - f'}

   Si ce déplacement sur le capteur excède la taille a d'un pixel, le flux lumineux issu d'un point du sujet balaie plusieurs pixels successifs au cours de la pose : l'information spatiale est étalée, ce qui produit un flou de mouvement (ou flou de bougé).

   Pour obtenir un cliché net, il faut que le déplacement de l'image n'excède pas la taille d'un pixel :

   \Delta x' \le a \iff |\gamma| \, v \, t_{\exp} \le a

   On en déduit l'expression de la durée maximale d'exposition :

   \boxed{t_{\exp,\max} = \frac{a}{|\gamma| \, v} = \frac{a \, D}{d \, v} = \frac{a(D - f')}{f' v}}

   Application numérique : Avec a = 6{,}0 \times 10^{-6}\text{ m}, D = 3\text{ m}, d \approx 5{,}08 \times 10^{-2}\text{ m} (soit |\gamma| = \frac{d}{D} \approx 1{,}69 \times 10^{-2}) et v = 15\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

   t_{\exp,\max} = \frac{6{,}0 \times 10^{-6}}{1{,}695 \times 10^{-2} \times 15} \approx 2{,}4 \times 10^{-5}\text{ s} \approx 24\ \mu\text{s}

   \boxed{t_{\exp,\max} \approx 2{,}4 \times 10^{-5}\text{ s} \quad \left(\text{soit de l'ordre de }\frac{1}{40\,000}\text{ s}\right)}

   Résultat

   $$t_{\exp ,\max }=\frac{a}{|\gamma |v}=\frac{aD}{dv}=\frac{a(D-f^{\prime })}{f^{\prime }v}$$

   $$t_{\exp ,\max }\approx 2,4\times 10^{-5}\text{ s}\left(\text{soit de l’ordre de }\frac{1}{40000}\text{ s}\right)$$

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