Feuille d'entraînement : Spectroscopies IR et RMN

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique B PT 2023, Q27

   L'absorption de la lumière par une espèce chimique en solution diluée est régie par la loi de Beer-Lambert :

   \boxed{A = \varepsilon(\lambda) \cdot \ell \cdot c}

   où :

   • A est l'absorbance de la solution à la longueur d'onde de travail \lambda = 808\text{ nm} (grandeur sans dimension) ;
   • \varepsilon(\lambda) est le coefficient d'absorption molaire du complexe de cuivre(II) à cette longueur d'onde (en \text{L}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{cm}^{-1}) ;
   • \ell est l'épaisseur de solution traversée (trajet optique de la cuve, ici \ell = 1\text{ cm}) ;
   • c est la concentration molaire des ions cuivre en solution (en \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}).

   À longueur d'onde \lambda et épaisseur de cuve \ell fixées, et dans le domaine de validité de la loi (solutions suffisamment diluées, c \le 0{,}1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, lumière monochromatique, et absence d'autres espèces absorbantes à cette longueur d'onde), l'absorbance A est strictement proportionnelle à la concentration c.

   La fonction théorique A = f(c) est donc une droite linéaire passant par l'origine :

   A = k \cdot c \quad \text{avec} \quad k = \varepsilon(\lambda) \cdot \ell

   Le tracé expérimental obtenu sur la figure 5 confirme parfaitement ce modèle : les points sont alignés sur une droite d'équation y = 12{,}033\,x + 0{,}007 avec un coefficient de corrélation R^2 = 0{,}9998 \approx 1, l'ordonnée à l'origine résiduelle (0{,}007) étant imputable aux incertitudes de mesure et à l'ajustement du blanc spectrophotométrique.

   Résultat

   $$A=\epsilon (\lambda )\cdot \ell \cdot c$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique B PT 2026, Q3

   Le domaine visible s'étend conventionnellement de 400\text{ nm} à 750\text{ nm}.

   Sur le spectre d'absorption de la figure 2 :

   • Les deux premiers pics situés à environ 310\text{ nm} et 390\text{ nm} appartiennent au domaine de l'ultraviolet (ou à la limite UV-visible).
   • Dans le domaine visible (400\text{ nm} \leqslant \lambda \leqslant 750\text{ nm}), on observe une bande d'absorption étalée présentant un maximum entre 450\text{ nm} et 550\text{ nm}, situé légèrement avant la graduation 550\text{ nm}.

   Par lecture graphique sur l'axe des abscisses, on détermine à 10\text{ nm} près :

   \boxed{\lambda_{\max,\text{vis}} \approx 530\text{ nm} \quad (\text{ou } 540\text{ nm})}

   Résultat

   $${\lambda }_{\max ,\text{vis}}\approx 530\text{ nm}(\text{ou }540\text{ nm})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique B PT 2026, Q4

   La couleur perçue d'une solution éclairée en lumière blanche résulte de la synthèse soustractive : elle correspond à la couleur complémentaire des radiations absorbées, ou encore à la superposition des radiations transmises (non absorbées).

   D'après le spectre d'absorption (figure 2) :

   • Dans le domaine visible (400\text{ nm} \le \lambda \le 750\text{ nm}), le colorant présente une bande d'absorption notable entre 480\text{ nm} et 620\text{ nm}, centrée autour de \lambda_{\max,\text{vis}} \approx 530\text{ nm}, ce qui correspond au domaine du vert ;
   • En revanche, pour les longueurs d'onde supérieures à 620\text{ nm} (domaine du rouge), l'absorbance est quasiment nulle : ces radiations lumineuses sont intégralement transmises.

   D'après le cercle chromatique, la couleur complémentaire du vert absorbé est le rouge.

   \boxed{{Le colorant absorbe principalement dans le vert et transmet le rouge : il apparaît donc de couleur rouge.}}

   Résultat

   $$Lecolorantabsorbeprincipalementdanslevertettransmetlerouge:ilappara\hat{ı}tdoncdecouleurrouge.$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique B PT 2026, Q5

   D'après la relation fournie par l'énoncé :

   A = k \times c \iff k = \frac{A}{c}

   L'absorbance A étant une grandeur sans dimension et la concentration c étant exprimée en \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}, la constante k s'exprime en :

   [k] = \text{L}\cdot\text{mol}^{-1}

   Sur le spectre d'absorption de la figure 2, pour la longueur d'onde maximale dans le domaine visible \lambda_{\max,\text{vis}} \approx 530\text{ nm}, on lit une absorbance située légèrement au-dessus du milieu de l'intervalle [0 \,;\, 0{,}5] :

   A(\lambda_{\max,\text{vis}}) \approx 0{,}27 \quad (\text{soit entre } 0{,}25 \text{ et } 0{,}30)

   Avec c_1 = 2{,}7 \times 10^{-4}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, l'application numérique conduit à :

   \begin{aligned} k &= \frac{0{,}27}{2{,}7 \times 10^{-4}} = 1{,}0 \times 10^3\text{ L}\cdot\text{mol}^{-1} \end{aligned}

   \boxed{k \approx 1{,}0 \times 10^3\text{ L}\cdot\text{mol}^{-1}}

   Résultat

   $$k\approx 1,0\times 10^3\text{ L}\cdot {\text{mol}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Banque PT Physique B PT 2023, Q26

   D'après le spectre d'absorption des ions cuivre \mathrm{Cu(H_2O)_6^{2+}} fourni sur la figure 4, l'absorbance présente un maximum pour une longueur d'onde :

   \lambda_{\max} \approx 808\text{ nm}

   Travailler à la longueur d'onde du maximum d'absorption se justifie par deux raisons principales :

   1. Maximiser la sensibilité de la mesure : le coefficient d'absorption molaire \varepsilon(\lambda) y est maximal. Pour une cuve et une concentration données, l'absorbance mesurée est donc la plus élevée possible d'après la loi de Beer-Lambert, ce qui minimise l'incertitude relative sur la mesure de concentration.
   2. Minimiser l'erreur liée au spectromètre : au voisinage du pic d'absorption, la courbe présente un extremum local où la dérivée s'annule (\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}\lambda} \approx 0). Une légère imprécision ou dérive de calage en longueur d'onde du monochromateur n'entraîne ainsi qu'une variation négligeable de l'absorbance mesurée.

   Par ailleurs, les ions zinc \mathrm{Zn(H_2O)_6^{2+}} forment un complexe incolore qui n'absorbe pas à cette longueur d'onde, ce qui garantit la sélectivité du dosage spectrophotométrique du cuivre.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Banque PT Physique B PT 2023, Q28

   D'après la loi de Beer-Lambert rappelée à la question Q27, l'absorbance d'une solution d'ion cuivre (complexe \mathrm{Cu(H_2O)_6^{2+}}) à la longueur d'onde \lambda = 808\text{ nm} s'écrit :

   A = \varepsilon(\lambda)\,\ell\,c

   Le tracé de A = f(c) est une droite dont le coefficient directeur s'identifie à :

   p = \varepsilon(\lambda)\,\ell

   La grandeur caractéristique de l'espèce absorbante que l'on peut déterminer est le coefficient d'absorption molaire (ou d'extinction molaire) de l'ion cuivre à cette longueur d'onde, noté \varepsilon ou \varepsilon(808\text{ nm}).

   Sur la figure 5, la régression linéaire donne pour équation :

   y = 12,033\,x + 0,007

   où y = A (sans dimension) et x = c (en \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}). La pente de la droite vaut donc :

   p = 12{,}033\text{ L}\cdot\text{mol}^{-1}

   L'ordonnée à l'origine (0{,}007) étant quasi nulle, la proportionnalité est parfaitement vérifiée (R^2 = 0{,}9998). On en déduit :

   \varepsilon = \frac{p}{\ell}

   Avec \ell = 1\text{ cm} :

   \varepsilon = \frac{12{,}033\text{ L}\cdot\text{mol}^{-1}}{1\text{ cm}} \approx 12\text{ L}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{cm}^{-1}

   Exprimé dans les unités du Système International :

   \varepsilon = 12\times \frac{10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{mol}^{-1}}{10^{-2}\text{ m}} = 1{,}2\text{ m}^2\cdot\text{mol}^{-1}

   \boxed{\varepsilon(808\text{ nm}) = 12\text{ L}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{cm}^{-1} = 1{,}2\text{ m}^2\cdot\text{mol}^{-1}}

   Résultat

   $$\epsilon (808\text{ nm})=12\text{ L}\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{cm}}^{-1}=1,2{\text{ m}}^2\cdot {\text{mol}}^{-1}$$

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7. Exercice 7Banque PT Physique B PT 2023, Q29

   D'après la droite d'étalonnage obtenue sur la figure 5 :

   A = 12{,}033\,c + 0{,}007

   où c est la concentration en ions cuivre(II) en \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.

   Pour une absorbance mesurée A = 0{,}62, on en déduit :

   c = \frac{A - 0{,}007}{12{,}033} = \frac{0{,}62 - 0{,}007}{12{,}033} \approx \frac{0{,}613}{12} \approx 0{,}051\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}

   Ce résultat est confirmé de façon immédiate par le tableau 3, dans lequel une concentration c = 0{,}05\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} correspond précisément à une absorbance expérimentale A = 0{,}616 \approx 0{,}62.

   En respectant la consigne sur les chiffres significatifs (ou en restant au niveau de l'estimation demandée) :

   \boxed{c \approx 5\cdot 10^{-2}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} = 0{,}05\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}}

   Résultat

   $$c\approx 5\cdot 10^{-2}\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}=0,05\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$$

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8. Exercice 8Banque PT Physique B PT 2023, Q30

   La quantité de matière d'ions cuivre \mathrm{Cu^{2+}} présente dans le volume V = 5\text{ mL} = 5\cdot 10^{-3}\text{ L} de solution est :

   n_{\mathrm{Cu}} = c \cdot V

   D'après la question Q29, c \approx 0{,}051\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, d'où :

   n_{\mathrm{Cu}} = 0{,}051 \times 5\cdot 10^{-3} \approx 2{,}55\cdot 10^{-4}\text{ mol}

   La masse de cuivre correspondante dans l'échantillon s'écrit :

   m_{\mathrm{Cu}} = n_{\mathrm{Cu}} \cdot M_{\mathrm{Cu}} = c \cdot V \cdot M_{\mathrm{Cu}}

   m_{\mathrm{Cu}} = 2{,}55\cdot 10^{-4} \times 64 \approx 1{,}63\cdot 10^{-2}\text{ g} = 16{,}3\text{ mg}

   (ou 16\text{ mg} en arrondissant c à 0{,}050\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}).

   L'échantillon de laiton dissous ayant une masse totale m_{\mathrm{tot}} = 24\text{ mg}, le pourcentage massique en cuivre est :

   w_{\mathrm{Cu}} = \frac{m_{\mathrm{Cu}}}{m_{\mathrm{tot}}} = \frac{16{,}3}{24} \approx 68\,\% \quad (\text{ou } \frac{16}{24} \approx 67\,\%)

   Le laiton étant un alliage constitué essentiellement de cuivre et de zinc (m_{\mathrm{tot}} = m_{\mathrm{Cu}} + m_{\mathrm{Zn}}), on en déduit le pourcentage massique en zinc :

   w_{\mathrm{Zn}} = 100\,\% - w_{\mathrm{Cu}} \approx 32\,\% \quad (\text{ou } 33\,\%)

   \boxed{w_{\mathrm{Cu}} \approx 67\,\% \quad \text{et} \quad w_{\mathrm{Zn}} \approx 33\,\%}

   Conclusion : La teneur massique en zinc obtenue (w_{\mathrm{Zn}} \approx 33\,\%) est bien comprise dans la plage annoncée pour les laitons (5\text{ à }45\,\%, ce qui correspond à un laiton de type \alpha+\beta). Le résultat est donc tout à fait cohérent.

   Résultat

   $$w_{\mathrm{Cu}}\approx 67\%\text{et}{w}_{\mathrm{Zn}}\approx 33\%$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question