J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

CCINP Mathématiques 1 MPI 2024

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresProbabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctions
Logo ccinp
🔗 Explorer
Banque
CCINP
Année
2024
Filière
MPI
Matière
Maths
CCINP MPICCINP 2024MPI MathsMaths 2024
2025_08_29_c30cc0b6980b3eff5258g

CONCOURS COMMUN CINP 2024
CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 1 - FILIÉRE MP

EXERCICE I

est une variable aléatoire á valeurs dans d'espérance finie
Q1. Soit .
  • On a et , donc
par suite
  • Soit on a
dans la première somme on change en et dans la deuxième on rajoute le terme , on obtient
  • Montrons que .
On a donc
admet une espérance donc la série converge par suite le reste tend vers 0 en .
Par comparaison on a .
Ainsi la série converge et par passage à la limite on a
Q2. Soit et .
  • Posons pour la variable aléatoire qui donne le résultat du eme tirage .
On a alors pour tout
le tirage est avec remise donc les sont mutuellement indépendantes, ce qui donne
les suivent la loi uniforme donc , d'où
  • Pour tout on a donc
Q3.
  • Remarquons que est la somme de Riemann d'ordre de la fonction sur l'intervalle [ 0,1 ] donc
  • La question Q1 donne et on a , donc
de la relation (1) on a , d'où .

EXERCICE II

On considère, sur , les équations différentielles:
Q4. Sur l'équation s'écrit : , c'est une équation homogène linéaire d'ordre 2 à coefficients définis et continus sur , donc est espace vectoriel de dimension 2 .
Q5. Soit une solution de développable en série entière, écrivons de rayon de convergence , donc on a pour
par suite
et
dans la deuxième somme on change en , ce qui donne
ainsi
une solution de , donc
par suite
ce qui donne
  • Si alors , comme alors pour tout .
  • Si alors pour tout , ce qui donne
Ainsi . Ce qui donne par suite est solution de sue .
Pour tout on a , or ch donc .
Q6. On note pour et . On admet que et . Une solution de est la somme d'une solution particulière de et d'une solution de . Une autre solution de est donnée par , donc .
Le Wronskien de la famille est donné par
pour tout ce qui assure que ( ) est un système fondamental de solutions de ( ) donc .
Ainsi .
Q7. Soit .
  • La restriction , de sur , est une solution de sur , donc il existe tel que , ainsi pour tout
est dans donc elle est de classe sur en particulier en 0 , au voisinage de 0 on a
qui n'admet de limite en 0 que si d'où .
  • La restriction , de sur [ donne une solution de par , pour tout . Donc admet une expression de la forme , par le même raisonnementon trouve . Donc sur par suite .
    La dimension de est zéro et pas 2 car on ne peut pas écrire l'équation ( ) sous la forme avec et des fonctions définies et continues sur .

PROBLEME

Q8. On écrit
donc
ainsi .

Partie I

Q9. On a , par une intégration par parties on trouve
On a donc .
Par suite ce qui donne
donc
Q10.
  • Soit , on a donc
avec
ainsi on a .
  • Par intégration entre 0 et on obtient
Q11. Soit , on a la question précédente donne
Q12. Utilisons le théorème d'intégration des séries de fonctions sur un intervalle quelconque qui permet l'interversions des symboles et .
Posons pour tout .
  • Pour tout est continue intégrable et positive sur .
  • Le série converge simplement sur vers une fonction continue.
  • , or donc par suite la série converge .
    Ainsi par le théorème d'intégration des séries de fonctions on a
d'où l'on a .
Q13. Les questions Q11.et Q12.donnent
donc et d'après Q8. on a .

Partie II

Q14.
  • Pour tout on a .
  • Soit pour tout .
La relation précédente donne pour tout . Posons .
  • Pour tout est continue et positive sur . On a , par la règle de Riemann est intégrable sur et sur .
  • Soit , on a
par suite
Donc la série converge .
Le théorème d'intégration des séries de fonctions sur un intervalle quelconque donne
doù .
Q15. On pose pour .
Soit pour .
  • Pour tout on a , la fonction est intégrable sur donc la fonction est intégrable sur pour tout .
    Donc est bien définie sur .
  • On a est continue sur et pout tout , avec intégrable sur . Donc est continue sur .
    Q16. On a est de classe et .
    Soit .Si alors , qui est intégrable sur .
    Ce qui prouve que est de classe sur et .
    Q17. On vérifie facilement que . De la question précédente on a pour tout
Les deux fonctions sous le signe intégral ne sont pas intégrables sur , prenons un alors
ce qui donne par passage à la limite
On en déduit que pour tout .
Q18.
  • On a
  • La fonction est de classe et pour tout donc , la continuité en 1 donne .
  • La question Q14. donne , d'après la question Q14. on a .
CCINP Mathématiques 1 MPI 2024 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa