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CCINP Mathématiques 1 TSI 2000

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Algèbre linéaireRéductionSéries et familles sommablesTopologie/EVN
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CCINP
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2000
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TSI
Matière
Maths
CCINP TSICCINP 2000TSI MathsMaths 2000
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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE TSI

MATHÉMATIQUES 1

Durée : 4 heures
L'usage des calculatrices programmables et alphanumériques est autorisé sous réserve des dispositions définies dans la circulaire 99-018 du 01.02.99.
Il est rappelé aux candidats qu'il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction des copies.
On pourra admettre un résultat pour traiter les questions suivantes.
Dans tout ce devoir les matrices seront des matrices carrées , ou des matrices colonnes , à coefficients dans .
On pourra identifier matrice carrée avec application linéaire dans une base canonique, et matrice colonne avec vecteur.
Rappels et Définitions
  • , avec complexe et entier naturel, admet une limite lorsque tend vers l'infini si et seulement si ou .
  • On note le spectre de , c'est-à-dire l'ensemble des valeurs propres de .
  • On dit que la matrice carrée de terme général est triangulaire supérieure si et seulement si : .
  • On dit que la matrice carrée est nilpotente si et seulement si tel que ( 0 est la matrice nulle et est le produit de par elle-même fois, par convention et la matrice unité).
  • Soit une matrice de dimension quelconque, de terme général . On pose .
On admet que l'application est une norme sur l'espace des matrices ayant même dimension que .
  • On appelle suite de matrices complexes une application de dans ; l'image de est notée ou , l'élément général de est noté .
    On dit que la suite converge vers (ou admet pour limite) si et seulement si , et on note ou .
  • À toute suite de matrices, on associe la suite dite «des sommes partielles» . Si cette nouvelle suite converge, on note que l'on appelle somme de la série de terme général .
  • On note, si cette limite existe, .
Le but de ce problème est, pour quelques matrices , de calculer, lorsque c'est possible, .

PARTIE I

Dans cette partie vous démontrerez des propriétés générales sur des limites, des suites et des séries de matrices. Les matrices sont, sauf indication du contraire, dans .
  1. Le terme général de est et celui de est .
    a. Montrer que converge vers si et seulement si . A-t-on le même type de propriété pour les matrices colonnes?
    b. Montrer que converge vers si et seulement si pour toute matrice colonne notée , converge vers .
    c. Montrer que converge vers si et seulement si pour toute matrice notée inversible, converge vers .
    d. Montrer que si et , alors .
  2. a. Montrer que . En déduire que pour .
    b. Montrer que, si est inversible, on a pour tout .
En déduire que si alors n'est pas inversible.
3. a. Simplifier l'expression où désigne la matrice unité de .
b. Montrer que si , alors pour toute matrice colonne notée , on a . En déduire que est inversible et exprimer son inverse comme somme d'une série.
En déduire l'existence de .
4. Montrer que si et seulement si avec une matrice inversible.
En déduire que si et seulement si , avec une matrice inversible.
5. Soit telle que .
a. Si est inversible, montrer que est égale à .
b. Montrer que les valeurs propres de valent 1 ou ont un module strictement inférieur à 1 .
c. On suppose que est diagonalisable et que .
Montrer que si alors est nulle, et que si alors est diagonalisable avec .
6. Soit quelconque.
Montrer que si et si existe, alors existe et .

PARTIE II

Dans cette partie nous nous intéressons plus particulièrement aux matrices triangulaires supérieures ou diagonales.
On pose et avec et complexes.
Remarque : et ne sont pas forcément différents.
  1. a. Calculez et .
    b. Déterminer la forme générale de et avec .
  2. a. Déterminer les , les et les pour que et convergent.
Calculer dans ce cas et .
b. Si on suppose que , calculer .
c. Si on suppose que , calculer .
d. Si on suppose que , calculer .
3. Montrer que et existent et déterminer leur valeur.

PARTIE III

Dans cette partie nous nous intéressons plus particulièrement aux matrices nilpotentes. Dans toute cette partie, sauf indication du contraire, on considère une matrice carrée nilpotente non nulle à coefficients dans .
  1. a. Montrer que les quatre affirmations suivantes sont équivalentes :
    (i) est nilpotente
    (ii)
    (iii) est semblable à une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle
    (iiii) .
    Application : En déduire que l'équation , d'inconnue une matrice carrée n'admet pas de solution.
    b. Montrer que .
En déduire que est inversible. Que vaut l'inverse de ?
Quelles sont les valeurs propres de ? En déduire que n'est pas diagonalisable.
c. Montrer que si et nilpotente alors il existe telle que ( ) est une base de .
En déduire que :
commute avec combinaison linéaire de , et .
En déduire que si commute avec alors .
A-t-on encore si ne commute pas avec
2. Soient et deux matrices nilpotentes telles que .
a. Montrer que et que sont nilpotentes.
b. En développant et , montrer que et que .
c. Montrer que .
d. En déduire que si est nilpotente alors est inversible ; vous donnerez l'inverse de .
3. Application : Dans cette question (et dans cette question seulement) on considère
a. Montrer que est nilpotente.
b. Calculer . En déduire l'inverse de .
c. Calculer et .

PARTIE IV

Dans cette partie nous calculerons l'exponentielle d'une matrice dans deux cas particuliers.
  1. On considère et .
    a. Déterminer les valeurs propres de .
    b. Déterminer les espaces propres de est-elle diagonalisable ?
En déduire que existe. Calculer .
2. On considère et .
a. Déterminer les valeurs propres de .
b. Déterminer les espaces propres de est-elle diagonalisable ?
Déterminer et , deux matrices colonnes propres de , avec associée à la valeur propre 1 et associée à la valeur propre -1 .
c. Déterminer matrice colonne telle que .
En déduire que et sont deux matrices semblables.
Déterminer une matrice notée inversible telle que .
Montrer que existe. Calculer .

Fin de l'énoncé

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