E3A Mathématiques 1 PSI 2001

On désigne par le corps des réels et par l'ensemble des entiers naturels. et désignent deux réels tels que . On pose .

On désigne par l'ensemble des fonctions continues définies sur , à valeurs réelles.
On désigne par l'ensemble des fonctions continues définies sur , à valeurs réelles .
On admet que tout élément de est borné sur .
Pour toute fonction , élément de , on note .
Première partie
I-1 Soit on note .
Montrer que l'application de dans qui à associe est une norme.

I-3 Soient et , on pose .
Montrer que et que .

Dans toute la suite du problème on choisit et on suppose que vérifie :

Soit un élément donné de et soit un élément fixé de .

II-1 On pose et par récurrence pour entier naturel strictement positif

Montrer que l'on a : et pour .
II-2 Soit un entier naturel strictement positif, montrer que:

II-3 On pose et par récurrence

On pose: , pour entier naturel
Montrer que .
II-4 Montrer que , pour tout entier naturel strictement positif .
II-5 Montrer que .
II-6 On pose si et par récurrence pour

Montrer que pour tout est une fonction continue sur et que si .
II-7 Montrer que .
II-8 Montrer que .

III-1 Soit un entier naturel strictement positif.
étant fixé dans , on désigne par la fonction définie par
De même, étant fixé dans , on désigne par la fonction définie par .
Montrer que les séries de fonctions de terme général et sont uniformément convergentes sur [ 0,1 ].
III-2 On pose . Montrer que vérifie :

III-3 On pose . Justifier l'existence de .

Montrer que est un élément de .
III-4 Montrer que la suite de fonctions converge vers .
III-5 Soient et deux éléments de , vérifiant

Montrer que cette relation équivaut à .
III-6 Soit qui vérifie pour tout .
Montrer que
Les parties IV et V sont indépendantes.

Dans toute cette partie on pose et
IV-1 Calculer .
IV-2 En déduire .
IV-3 Soit une fonction connue. Trouver qui vérifie :

IV-4 On pose . Calculer .
Cinquième partie Second exemple d'application.
Soit un entier naturel strictement positif, on se donne fonctions et , ainsi que réels .
On cherche à résoudre le problème suivant :
(P) Trouver une fonction vérifiant .

On pose si et .
Calculer . En déduire une méthode de résolution du problème ( P ).