désigne le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé direct est un entier naturel supérieur ou égal à 2. sont éléments 2 à 2 distincts de dont les affixes respectives sont notées .
est l'ensemble des points .
On note l'ensemble des points de n'appartenant pas à et vérifiant la relation :

Soit un point de , n'appartenant pas à , d'affixe . Montrer qu'il appartient à si, et seulement si, .
On considère le polynôme défini par : . On note son polynôme dérivé
a) On pose : . Déterminer la décomposition en éléments simples de dans l'ensemble des fractions rationnelles à coefficients complexes.
b) En déduire que ( ) est l'ensemble des points de dont l'affixe vérifie : .
c) En déduire que, si est le nombre d'éléments de , on a : .
d) Dans le cas particulier où , préciser .

Dans la suite de l'exercice, on suppose .
Soit une rotation du plan . Etablir que : .

On rappelle que est l'ensemble des sommets d'un polygone régulier si, et seulement si, est invariant par une rotation d'angle .
Montrer que, si est l'ensemble des sommets d'un polygone régulier, alors est réduit à un seul point que l'on précisera ( on pourra faire un raisonnement par l'absurde). Réciproquement, montrer que si est réduit à un seul point dont l'affixe est notée , alors est l'ensemble des sommets d'un polygone régulier ( on pourra commencer par déterminer ).
Dans cette question, on suppose où et sont des réels strictement positifs.
a) Déterminer les affixes des éléments de .Vérifier les résultats établis aux questions et .
b) On note ( ) le couple des coordonnées d'un point de .

On suppose que : . Soit ( )l'ellipse de d'équation : .
i) Indiquer les coordonnées des foyers de ( ).
ii) Soit un point de ( ). Déterminer l'équation de la tangente en à l'ellipse ( ).
iii) Démontrer que l'ellipse ( ) est tangente aux trois côtés du triangle en des points qui sont les milieux de ces côtés.

Soit un entier naturel, . On note l'ensemble des nombres complexes et E le -espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients complexes.
O est la matrice nulle de E . Pour élément de E , on désigne par , la trace de .
Pour ( ) élément de , on note la matrice de E dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé dans la -ème ligne et la -ème colonne qui vaut 1 .
On rappelle que :

Montrer qu'il n'existe pas de norme définie sur E vérifiant :

Soient des éléments quelconques de .
On considère les matrices et suivantes :

Calculer et .
Une application de E vers vérifiant :

est appelée semi-norme sur E .
Soit une semi-norme sur E .
a) Montrer que et que pour tout de .
b) Etablir que pour et quelconques dans E on a :

On dit qu'une semi-norme définie sur E vérifie la propriété ( P ) si :

On considère l'application de E vers définie par : .
Montrer que est une semi-norme sur E vérifiant ( P ).
Soit une semi-norme sur E vérifiant ( P ).
a) Soit deux entiers naturels distincts et compris entre 1 et .

Prouver que : .
b) Pour un élément quelconque de E , on note le coefficient de situé dans la -ème ligne et la -ème colonne. Montrer que :
c) Démontrer qu'il existe réel positif tel que : .

désigne un entier naturel non nul.
Soit une suite décroissante de réels positifs qui converge vers 0 , et soit une suite de réels. Pour , on pose : . On suppose que la suite est bornée et on note un majorant de la suite . Pour , on pose : .
a) Montrer que pour et pour entier naturel, , on a :

b) Etablir que pour et pour entier naturel on a : .
c) En déduire que la suite converge.
Soit une suite décroissante de réels positifs qui converge vers 0.

Pour réel et , on pose : et
a) Soit un élément de et .
i) Etablir que pour tout
ii) Déduire de que la suite de fonctions converge simplement sur et qu'elle converge uniformément sur .
b) On suppose, dans cette question, que la suite de fonctions converge uniformément sur .
i) Montrer que : .
ii) En déduire : . Montrer alors que : .
Pour réel et , on pose : .
a) Etablir pour tout réel, l'inégalité et pour tout de , l'inégalité .
b) Soit un élément de [fixé et l'entier naturel vérifiant :

Montrer que : .
Utiliser le résultat démontré en b) pour justifier que, si , on a :

c) Etablir que pour tout de et pour .
d) On suppose de plus dans cette question que la suite est décroissante et qu'elle converge vers 0 . Prouver que la suite de fonctions converge uniformément sur .
On note ln la fonction logarithme népérien.
On considère le cas particulier où et pour .
a) Prouver que la suite de fonctions converge simplement sur . On note sa limite.
b) Déterminer les coefficients de Fourier de .