Ce sujet comporte 6 pages. Si le candidat détecte ce qu'il pense être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre

Dans tout le problème, sauf indication contraire, désigne un espace de Banach réel (i.e. un espace vectoriel réel normé complet) de dimension infinie. On notera l'ensemble des formes linéaires continues sur muni de la norme

Pour simplifier les notations, toutes les normes utilisées sur les différents espaces vectoriels seront notées de la même manière . .

Soit une suite (infinie) de vecteurs non nuls de . On note le sous-espace vectoriel de engendré par les vecteurs et son adhérence dans . L'espace sera appelé "le sous-espace vectoriel fermé engendré par les vecteurs ". On dira que la suite est basique si pour tout vecteur , il existe une suite unique de réels telle que la série converge dans et soit de somme .
On dira que la suite vérifie la condition (*) si

Les cinq parties sont, dans une large mesure, indépendantes. La partie IV) utilise le résultat final de la partie III) et la partie V) utilise les résultats des parties II) et IV).

On se propose de montrer ici que contient une suite infinie de vecteurs non nuls vérifiant (*).

Soient vecteurs de vérifiant

Soit fixé. On notera le sous-espace de engendré par la sphère unité de et .

On admettra que pour tout tel que , il existe tel que et . Ainsi,

3-a) Soient tels que . Montrer, en choisissant et en estimant , que

3-b) Montrer que

Question préliminaire: Soient et deux espaces de Banach, un sousespace vectoriel dense dans et une application linéaire continue. Montrer qu'il existe une et une seule application linéaire continue prolongeant (i.e. telle que pour tout . Vérifier que .

Soit une suite de vecteurs non nuls de vérifiant (avec une constante ). On note

et on munit de la norme induite par .

Dans toute la suite de cette partie, et désignent respectivement le sous-espace vectoriel et le sous-espace vectoriel fermé de engendrés par la suite ( ).
3) En remarquant que et en utilisant la question préliminaire, montrer que se prolonge de manière unique en une application linéaire continue de dans l'image de . Montrer que

En déduire que et conclure.

Dans cette partie, désigne un espace vectoriel normé. Deux joueurs, Pierre et Paul jouent au jeu suivant: Pierre choisit un ouvert non vide de , puis Paul choisit un ouvert non vide inclus dans , puis Pierre choisit un ouvert non vide inclus dans et ainsi de suite. A la fin de la partie, les deux joueurs ont ainsi défini deux suites décroissantes d'ouverts non vides ( ) et ( ) telles que

1-a) Montrer que .
Notons cet ensemble. Pierre a gagné la partie si est vide et Paul si n'est pas vide. On dit que l'un des joueurs a une stratégie gagnante s'il a une méthode lui permettant de gagner quelle que soit la façon de jouer de son adversaire. Remarquons qu'il n'est pas certain a priori que l'un des deux joueurs en ait une.
1-b) On suppose que l'espace est une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide. Montrer que Pierre a une stratégie gagnante. Indication: Pierre commence à jouer et à chaque choix de Paul, Pierre répond .
1-c) Montrer que si est complet, alors Paul a une stratégie gagnante. Indication: on rappelle le résultat suivant: si est une suite décroissante de fermés non vides de dont le diamètre tend vers 0 , alors l'intersection des est non vide.
1-d) En déduire qu'un espace de Banach ne peut pas être égal à une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide.

Dans toute la suite de cette partie, et désignent deux espaces de Banach et une application linéaire continue et bijective. On convient de noter, dans un espace vectoriel normé la boule ouverte de centre et de rayon et pour une partie de son adhérence dans .
2-a) On pose . Montrer que .
2-b) En déduire qu'il existe et tels que .
2-c) Montrer que .
2-d) Soit vérifiant . Construire une suite vérifiant

2-e) Montrer que la suite ( ) définie par converge dans vers .
2-f) Montrer que est continue.

Dans cette partie, est un espace de Banach de dimension infinie et est une suite basique d'éléments de . On note l'ensemble des suites de réels telles que la série converge dans . On munit l'espace vectoriel de la norme

On note le sous-espace vectoriel fermé de engendré par les vecteurs et on définit l'application linéaire par

2-a) Montrer que est continue et bijective.
2-b) En déduire que la suite vérifie la condition (*).

Dans cette partie, on considère un espace de Banach de dimension infinie et une suite basique ( ) d'éléments de de norme 1 . La suite ( ) vérifie donc la condition (*) avec une constante . On note le sous-espace fermé de engendré par les vecteurs . On considère enfin une suite ( ) d'éléments de telle que:

1-a) Montrer que pour tous .
1-b) Montrer que pour toute suite réelle ( ), la série converge dans si et seulement si la série converge dans .
1-c) Montrer qu'il existe une constante telle que:

On note le sous-espace vectoriel fermé de engendré par les vecteurs .
1-d) Montrer que l'application définie par est un isomorphisme linéaire continu ainsi que son inverse.
On suppose maintenant que et on note id l'application identité de . Pour tout , on pose et . On note et pour tout -fois .
2-a) Montrer que .
2-b) Montrer que pour tout , la série converge dans et que sa somme définit une application linéaire continue telle que .
2-c) Déterminer l'espace .