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Polytechnique Mathématiques PC 2007

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GéométrieAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)
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X-ENS
Année
2007
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2007PC MathsMaths 2007
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2007
filière PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Étude de quelques courbes planes

Première partie

On note l'espace vectoriel des fonctions continues de dans , périodiques de période , et le sous-espace vectoriel de constitué des fonctions de dans , périodiques de période et de classe . Pour et dans on définit le produit scalaire
Si est un sous-espace vectoriel de , on note
  1. Exprimer, pour , la série de Fourier de en fonction de celle de . En quel sens la série de Fourier de converge-t-elle?
Soit l'application linéaire définie par
  1. Déterminer le noyau de , que l'on note .
    3.a) Déterminer .
    3.b) Pour et dans , montrer l'égalité
3.c) En déduire que , où désigne l'image de .
4. On considère le sous-espace vectoriel de ,
Montrer que appartient à si et seulement si les coefficients de Fourier de satisfont certaines conditions que l'on explicitera.

Deuxième partie

Dans cette partie, on étudie certaines courbes du plan euclidien . On note l'origine et ( ) la base canonique. Soit . On note
Soit vérifiant les deux conditions suivantes :
i) ,
ii) .
Pour toute fonction de satisfaisant i) et ii) et pour tout , on pose
et l'on considère la courbe décrite par le point ,
5.a) Quelle est la courbe si est la fonction constante égale à 1 ?
5.b) Montrer que la courbe admet en tout point une tangente dont on déterminera l'équation cartésienne.
5.c) Quelle est la distance de cette tangente à l'origine?
6. Soient et des nombres réels non nuls. On pose . On admettra que satisfait i) et ii). Montrer que la courbe est une ellipse centrée à l'origine.
On revient au cas général.
7.a) Montrer que
7.b) En déduire que toute demi-droite d'origine contient un point et un seul de la courbe .
8. Exprimer la longueur de la courbe en fonction de la valeur moyenne de sur .
On note la réunion des segments .
9.a) Montrer que l'aire du domaine est égale à .
9.b) Exprimer cette aire en fonction des coefficients de Fourier de .
10. Pour , on note le sous-ensemble de constitué des fonctions qui satisfont
Montrer que la fonction de dans admet un unique maximum que l'on déterminera.
Pour quelles fonctions de ce maximum est-il atteint?
11. En déduire, pour satisfaisant les conditions i) et ii), l'inégalité
Quelles sont les fonctions qui réalisent l'égalité et les courbes correspondantes?
12. Soient et . On suppose que les fonctions et vérifient les conditions i) et ii).
12.a) Comparer et , puis et .
12.b) Comparer les courbes et .
13. Soit un réel positif.
13.a) Comparer et .
13.b) Montrer la formule
  1. Soient et la droite engendrée par le vecteur .
    14.a) Montrer que la projection orthogonale de sur est un intervalle dont on déterminera la longueur . C'est le diamètre apparent de la courbe dans la direction normale à .
    14.b) Caractériser les fonctions pour lesquelles le diamètre apparent de la courbe est indépendant de .
    14.c) Exprimer alors en fonction de . Donner un exemple qui ne soit pas un cercle.
  2. On revient au cas général. Soient et deux points de la courbe . Montrer que le segment est inclus dans .
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