08/06/2007
Examen National du baccalauréat
(session normale : juin 2007)
Durée : 4h
Coefficient: 10
Exercise 1 :
Grand 1 :
1- Soit E=\mathbb{R} - ({ \frac{1}{ \sqrt{2}})
\forall(a,b) \in E^{2} a \perp b=a+b-ab\sqrt{2}
1-1 s’assurer que \forall(a,b) \in E^{2} a \perp b={ \frac{1}{ \sqrt{2}}-{ \frac{1}{ \sqrt{2}}(a\sqrt{2}-1)(b\sqrt{2}-1)
1-2 En Déduire que \perp est une loi de composition interne Dans E.
2- Montrer que (E,\perp) est un groupe commutative.
Grand 2 :
M_{2}(\mathbb{R}) est l’ensemble des Matrices carrés de 2éme dégrés , on précise que (M_{2}(\mathbb{R}),+,x) est un Anneau Unitaire tel que I son unité I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} et que (M_{2}(\mathbb{R}),+,.) est un éspace vectoriel.
Soit $F={$$M_{a} \in M_{2}(\mathbb{R})/M_{a}=\begin{pmatrix}\sqrt{2}-a&a\a&\sqrt{2}-a\end{pmatrix}$$}$
a \in E et A=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}
1-
1-1 s’assurer que A^{2}=-2A et que M_{a}=I+{ \frac{a}{ \sqrt{2}}A
1-2 Montrer que F est une Partie Stable de (M_{2}(\mathbb{R}),x)
2-
Soit \phi l’application définie :
\phi : (E,\perp)\rightarrow(F,x)
a\rightarrow\phi(a) = M_{a}
2-1 Montrer que \phi est un momorphisme bijective
2-2 En déduire la structure de $(F,$x).
Exercise 2 :
Soit a un nombre Complexe différent de i et -i
Grand 1 :
1-
1-1 s’assurer que u=a+i est une solution de l’équation
(E): z^{2}-(1+a)(1+i)z+(1+a^{2})i=0.
1-2 Trouve l’autre Solution v de l’équation (E).
2- on suppose dans cette question que \left|a|=1
2-1 Montrer que \frac{u}{v} \in \mathbb{R}
2-2 s’assurer que u^{2}=a[(a-\bar{a})+2i]
2-3 En Déduire que arg(u)=\frac{1}{2}arg(a)+\frac{\pi}{4}[\pi]
3- Montrer que \left|u|+\left|v|\geq2
Grand 2 :
Le plan Complexe est rapporté à un repére orthonormé Direct (O,\vec{e_{1}},\vec{e_{2}})
Soit m \in \mathbb{R} tel que m est strictement plus grand que 2 et (E_{m}) l’ensemble des points M(a) du plan complexe tel que : \left|u|+\left|v|=m.
1- Montrer que E_{m} est une Ellipse de centre O
2- on suppose que a=x+iy tel que (x,y) \in \mathbb{R^{2}}
2-1 Montrer que x^{2}+(1-\frac{4}{m^{2}})y^{2}=\frac{m^{2}}{4}-1 est une équation cartésienne de l’Ellipse (E_{m})
2-2 Tracez (E_{4})
3- on considére les deux points A(\sqrt{3}) et B(2i) les têtes de l’Ellipse (E_{4})
Montrer que la Droite (AB) est une tangente de l’ellipse (E_{\frac{8}{\sqrt{7}}})
Exercise 3:
1-on considére dans \mathbb{Z^{2}} l’équation suivante:
(E): 195x-232y=1
1-1 Trouvez le PGCD(232,195)
1-2 Montrez que l’ensemble des solutions de (E) est S={(163+232k;137+195k)/k \in \mathbb{Z}}
1-3 Trouvez le seul nombre d \in \mathbb{N} tel que :
195d\equiv1[232] et 0 \leq d \leq 232
2- Montrez que 233 est un nombre premier
3- Soit A={n \in \mathbb{N}/0 \leq n \leq 232}
on considére l’application f définie de A à A tel que :
\forall a \in A f(a) est le reste de la division euclidienne du nombre a^{195} sur 233.
On admet que (\forall a \in A-{0}) a^{232}\equiv[233]
3-1 Montrez que \forall (a,b) \in A^{2} f(a)=f(b) \Rightarrow a=b
3-2 Soit a et b deux élément de A tel que f(a)=b
Trouvez a en fonction de b
3-3 En déduire que f est une bijection et Trouvez f^{-1}
***Exercise 4 : ***
Grand 1 :
1- On considére la fonction g Définie en \mathbb{R} par : g(x)=1+(x-1)e^{x}
1-1 Montrez que : \forall x \in \mathbb{R} g(x) \geq 0
1-2 Montrez que x=0 est la seul solution de l’équation g(x)=0
Grand 2 :
Soit f la fonction définie en \mathbb{R} par :
{f(x)=\frac{x}{e^{x}-1} x\neq0
f(0)=1
et Soit (C_{f}) la courbe de f représenté dans le repére orthonormé (O,\vec{i},\vec{j})
1- calculez les 2 limites suivantes :
\lim_{x \rightarrow +\infty}{f(x)} et \lim_{x \rightarrow -\infty}{f(x)+x}.
2- Montrez que f est continue en 0.
3-1 calculez f'(x) pour Tout x appartenant à \mathbb{R^{*}}
3-2 En déduire le tableau de variation de f
4- On considére l’intégrale J(x)=\int_{0}^{x}{te^{-t}dt}
4-1 En utilisant l’intégration par partie Montrer que J(x)=e^{-x}(e^{x}-1-x)
4-2 Montrez que : \forall x \in \mathbb{R}
\frac{x^{2}}{2}e^{-\frac{x+\left|x|}{2}} \leq J(x) \leq \frac{x^{2}}{2}e^{-\frac{x-\left|x|}{2}}.
4-3 Montrez que : \forall x \in \mathbb{R^{*}}
\frac{1}{2}e^{\frac{x-\left|x|}{2}} \leq \frac{e^{x}-1-x}{x^{2}} \leq \frac{1}{2}e^{\frac{x+\left|x|}{2}}.
4-4 En déduire que f est Dérivble en 0 et que f'(0)=\frac{-1}{2}
5-1 Montrez que : \forall x \in \mathbb{R^{*}}
f''(x)=\frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^{3}}(e^{x}(x-2)+2+x)
5-2 Déterminer le signe de e^{x}(x-2)+2+x pour tous x appartenant à \mathbb{R}.
5-3 En déduire que \forall x \in \mathbb{R^{*}} f"(x) est strictement positive.
5-4 Tracez La courbe (C_{f})
Grand 3 :
On considére la suite numérique (U_{n})_{n \in \mathbb{N} Définie par :
U_{0}=1
U_{n}=f(U_{n+1})
1- Montrez que x=ln2 est la seulle solution de l’équation f(x)=x
2-1 Montrez que \left|f'(x)| \leq \frac{1}{2}
2-2 Montrez que \forall n \in \mathbb{N} \left|U_{n+1}-ln2| \leq \frac{1}{2} \left|U_{n}-ln2|
2-3 Montrez que (U_{n})_{n \in \mathbb{N} est convergeante et Trouvez sa limite .
Grand 4 :
On considére la fonction F Définie en \mathbb{N} par:
F(x)=\int_{x}^{2x}{\frac{t}{e^{t}-1}dt} x\neq0
F(0)=0
1-1 Montrez que : \forall x \in \mathbb{R^{*}}
\frac{2x^{2}}{e^{2x}-1} \leq F(x) \leq \frac{x^{2}}{e^{x}-1}
1-2 Montrez que F est Continue en 0
1-3 Montrez que F est Dérivable en 0 et que F'(0)=1
2-1 Montrez que F est Dérivable sur \mathbb{R^{*}} et que :
\forall x \in \mathbb{R^{*}} F'(x)=(\frac{3-e^{x}}{e^{x}+1})f(x)
2-2 En Déduire les variations de F
Moi j’ai trouvé qu’il est assez long et un peu difficile qu’en dites vous ? 
.
)
Meme les trucs les plus évidents ne sont plus évident il faut les redémontrer. et ça fait la base des maths 
