Champs dans un conducteur parfait

Questions/Réponses par disciplines Physique
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Bonjour,

Par définition, un conducteur parfait est un conducteur dans lequel il n’y a pas de dissipation et la réponse des charges libres est instantanée.
Dans un conducteur, la loi d’Ohm locale nous dit que :

\vec j = \gamma \vec E.

Dans un conducteur parfait, \gamma = \infty, or \vec j est fini donc \vec E = \vec 0.
C’est de cette manière qu’on prouve que le champ électrique dans un conducteur parfait est nul.

  • Mais dans la démonstration, comment sait-on que \vec j est fini ? Pour un conducteur réel ok, on ne peut pas observer de courants infinis, mais pour un conducteur parfait, qu’est-ce qu’on en sait ?

  • J’ai parfois lu que le champ magnétique est aussi nul dans un conducteur parfait. Là je ne vois pas pourquoi encore. L’équation de Maxwell-Faraday nous permet juste d’affirmer qu’il est permanent puisque le champ électrique est nul, rien de plus.

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Salut,
tes interrogations sont pertinentes et leur réponse repose sur de petites subtilités.
Quand on applique la relation de Maxwell-Faraday au conducteur parfait, on obtient \overrightarrow \nabla \wedge \overrightarrow E = - (\partial \overrightarrow B) / \partial t
Or, on sait aussi que la puissance cédée par le champ aux électrons du conducteur est finie et vaut \overrightarrow j . E^2. Puisque \overrightarrow j = \gamma \overrightarrow E et que \gamma tend vers l’infini et que P est fini, nécessairement E doit être nul .
Par conséquent Maxwell-Faraday devient \partial (\overrightarrow B) / \partial t = 0
Donc le champ magnétique est constant. Or, il est porté par une onde qui impose des variations périodiques du champ. Puisqu’il est constant, il est forcément nul.

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En espérant pas dire trop de bêtises :

  • Une densité de courant infinie, même dans un conducteur parfait, ça ne me semble pas très physique.
    Une infinité d’électrons qui passerait dans le conducteur, j’en doute très très fortement.

  • Ce que tu dis est vrai. On ne peut uniquement dire qu’il est permanent.

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Evidemment un conducteur parfait n’a pas de « réalité physique » puisque , comme son nom l’indique , il répond uniquement à des approximations grossières (néanmoins pertinentes) du modèle de conducteur.
Mais , attention , une densité de courant INFINIE ne signifie pas du tout qu’il y a une INFINITE d’électrons, mais que leur vitesse est infinie (des que l’onde pénètre à la surface du conducteur (et non à l’intérieur), le courant se propage instantanément (aucune résistance du milieu).

Et effectivement Maxwell-Faraday seule implique la constance du champ. Or, D’Alembert + Maxwell-Faraday implique qu’il est nul.

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ca permet d’ailleurs en outre de négliger le rayonnement perdu par effet Joule

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Heu …

Je veux bien qu’avec Maxwell-Faraday, on montre que \overrightarrow{B} ne dépend pas du temps.
Avec d’Alembert, on a juste que \overrightarrow{B} vérifie une équation de Laplace … ce que ne montre pas qu’il est nul !!

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Si, puisque B doit avoir la forme d’une onde .
Or une onde vectorielle à amplitude constante implique qu’elle est égale au vecteur nul.

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puisque B doit avoir la forme d’une onde .
Absolument pas: un champ magnétique statique n’a pas la « forme d’une onde »; les arguments précédents n’interdisent pas la pénétration de la composante normale dans le milieu dans ce cas.
une densité de courant INFINIE ne signifie pas du tout qu’il y a une INFINITE d’électrons,
Pourquoi? Une densité infinie signifie a priori que: l’un des deux (densité ou vitesse) est infini est l’autre non nul. Dans tous les cas, c’est inacceptable physiquement: aucune particule ne peut avoir une vitesse supérieure à c et une densité infinie d’électrons est rejetée par le principe de Pauli (mais peut-être y’a-t-il une raison plus élémentaire).

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D’accord avec benjaminix, dans les conducteurs parfaits on sait juste qu’il peut y avoir des champ B permanents, par contre c’est dans les supra-conducteur qu’il n’y a aucun champ B possible. (je crois)

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mandragore a écrit:

puisque B doit avoir la forme d’une onde .
Absolument pas: un champ magnétique statique n’a pas la « forme d’une onde »; les arguments précédents n’interdisent pas la pénétration de la composante normale dans le milieu.
Bien évidemment. Mais je parlais des ondes.
mandragore a écrit:
Pourquoi? Une densité infinie signifie a priori que: l’un des deux (densité ou vitesse) est infini est l’autre non nul. Dans tous les cas, c’est inacceptable physiquement: aucune particule ne peut avoir une vitesse supérieure à c et une densité infinie d’électrons est rejetée par le principe de Pauli (mais peut-être y’a-t-il une raison plus élémentaire).
Je suis d’accord, mais dans le modèle CLASSIQUE du conducteur parfait , point besoin de Pauli.
Et non le nombre d’électrons ne peut pas être infini puisqu’il n’est pas considéré comme tel depuis le début dès lors que l’on considère que la distribution surfacique est de densité finie. La seule possibilité est que leur vitesse soit infinie. A ce que je sache, l’équation de d’Alembert (qui interdit le franchissement de la vitesse de la lumière) ne s’applique pas à la surface du conducteur. C’est après tout un bon modèle. Mais je ne vois pas trop l’intérêt de vouloir les infirmer dès lors qu’ils correspondent suffisamment bien au modèle que l’on a choisi (celui de l’électrodynamique classique) .

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Weensie a écrit:

[quote=« mandragore »]

puisque B doit avoir la forme d’une onde .
Absolument pas: un champ magnétique statique n’a pas la « forme d’une onde »; les arguments précédents n’interdisent pas la pénétration de la composante normale dans le milieu.
Bien évidemment. Mais je parlais des ondes.
[/quote]
Non, non, la réponse était incorrecte: B ne DOIT PAS être une onde; il existe des champs B qui ne se propagent pas.
Weensie a écrit:
le nombre d’électrons ne peut pas être infini puisqu’il n’est pas considéré comme tel depuis le début
C’est justement cette hypothèse (de départ) que plx remet en cause: on ne peut pas répondre en disant que les choses sont vraies parce que l’on a supposé au départ qu’elles le sont.

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mandragore a écrit:

Non, non, la réponse était incorrecte: B ne DOIT PAS être une onde; il existe des champs B qui ne se propagent pas.
J’entends bien, et j’ai dit que c’était incorrect. Je pense qu’on peut s’arrêter la.
Weensie a écrit:
le nombre d’électrons ne peut pas être infini puisqu’il n’est pas considéré comme tel depuis le début
C’est justement cette hypothèse (de départ) que plx remet en cause: on ne peut pas répondre en disant que les choses sont vraies parce que l’on a supposé au départ qu’elles le sont.
[/quote]
C’est le principe même de l’axiomatique. Si on remet en causes les bases d’une structure logique (en l’occurrence le modèle), on doit forcément en sortir.
Mais à la définition même d’une distribution on associe celle de densité. Et considérer cette dernière infinie n’aurait pas d’intérêt ni de sens (encore moins que celui qui consiste à associer une vitesse infinie aux électrons) .
Je précise encore une fois qu’on ne doit pas SORTIR du modèle.

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Pour la nullité du champ magnétique je pense que c’est comme vous le dîtes, dans le cas où on considère une OPPM extérieure arrivant sur un conducteur parfait : là effectivement le champ magnétique est variable, donc comme il est permanent, il est nul. Mais dans le cas général d’un champ magnétique extérieure permanent, il peut être non nul.

Mais pour le champ électrique, là je reste encore sceptique. Le problème est le même que la chute d’une masse dans un champ de pesanteur. Si on considère le milieu où a lieu la chute parfait, cela signifie qu’on néglige les frottements donc la chute est libre : la vitesse de la masse tend alors vers l’infini.
Et là on est en train de dire que la vitesse d’un électron ne peut pas tendre vers l’infini à cause de la relativité. Si ce principe de vitesse limite s’applique même dans des univers hypothétique où il n’y a pas de frottement là je suis d’accord. Ah d’ailleurs c’est le cas, non ? Puisque dans le vide il n’y a pas de frottement, et pourtant, la lumière à une vitesse limite.

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Weensie a écrit:

C’est le principe même de l’axiomatique. Si on remet en causes les bases d’une structure logique (en l’occurrence le modèle), on doit forcément en sortir.
Non décidemment! La physique n’est pas un pur édifice mathématique; on fait des hypothèses, c’est vrai, mais il est aussi bon de s’interroger sur leur validité.
Weensie a écrit:
Mais à la définition même d’une distribution on associe celle de densité. Et considérer cette dernière infinie n’aurait pas d’intérêt ni de sens.
Taratata, une distribution ne peut pas être comparée à une simple fonction de F(R,R). Tu le sais certainement. En effet:
n(\textbf{x})=\sum_iq_i\delta(\textbf{x}-\textbf{x}_i)
Se demander si ce machin est fini ou infini (a priori) n’a pas de sens: on peut tout aussi bien écrire une expression analogue pour un gaz parfait; or, justement, dans le modèle du gaz parfait, rien n’interdit a priori à toutes les molécules d’un gaz de se retrouver en un même point. Si! Une chose l’interdit: le bon sens physique justement et on dit que ce résultat est une des limites du modèle du gaz parfait!
la vitesse de la masse tend alors vers l’infini.
Mais ici, le champ électrique ne rentre pas dans le métal donc c’est comme si (pour revenir à ton analogie) g=0; or, initialement, la vitesse globlale des porteurs est nulle donc elle le reste… .
Et là on est en train de dire que la vitesse d’un électron ne peut pas tendre vers l’infini à cause de la relativité. Si ce principe de vitesse limite s’applique même dans des univers hypothétique où il n’y a pas de frottement là je suis d’accord. Ah d’ailleurs c’est le cas, non ? Puisque dans le vide il n’y a pas de frottement, et pourtant, la lumière à une vitesse limite.
Euh,je ne suis pas sûr de bien cerner ta question; mais une particule ne pas aller plus vite que c (pas seulement dans un univers « hypothétique »). Ton paradoxe vient du fait que tu raisonnes avec des équations classiques qui ne sont plus valables quand la vitesse s’approche de c (v ne peut pas devenir infinie).

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plx a écrit:

Pour la nullité du champ magnétique je pense que c’est comme vous le dîtes, dans le cas où on considère une OPPM extérieure arrivant sur un conducteur parfait : là effectivement le champ magnétique est variable, donc comme il est permanent, il est nul. Mais dans le cas général d’un champ magnétique extérieure permanent, il peut être non nul.

Mais pour le champ électrique, là je reste encore sceptique. Le problème est le même que la chute d’une masse dans un champ de pesanteur. Si on considère le milieu où a lieu la chute parfait, cela signifie qu’on néglige les frottements donc la chute est libre : la vitesse de la masse tend alors vers l’infini.
Et là on est en train de dire que la vitesse d’un électron ne peut pas tendre vers l’infini à cause de la relativité. Si ce principe de vitesse limite s’applique même dans des univers hypothétique où il n’y a pas de frottement là je suis d’accord. Ah d’ailleurs c’est le cas, non ? Puisque dans le vide il n’y a pas de frottement, et pourtant, la lumière à une vitesse limite.
Tu sors encore du problème :wink:
La réalité dit que le champ tend vers 0. le modèle admet qu’il est nul.
En ce qui concerne la vitesse limite, ici deux phénomènes en sont à l’origine.

Je comprends pas trop comment tu peux être d’accord, puisque Maxwell-Faraday impliquant la constance du champ magnétique découle de la nullité du champ électrique ? :unamused:

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mandragore a écrit:

Si! Une chose l’interdit: le bon sens physique justement et on dit que ce résultat est une des limites du modèle du gaz parfait!
Nous sommes « parfaitement » d’accord

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  • Mais dans la démonstration, comment sait-on que \vec j est fini ? Pour un conducteur réel ok, on ne peut pas observer de courants infinis, mais pour un conducteur parfait, qu’est-ce qu’on en sait ?
    Dans un rapport de concours (j’ai perdu la référence),on peut lire ce reproche: (il ne faut pas croire que)« la physique est une branche de la logique ».
    A partir du moment où l’on considère un modèle « parfait », on est à peu près sur qu’on aura des « 0*infinfi » dans les coins.
    Et là on est en train de dire que la vitesse d’un électron ne peut pas tendre vers l’infini à cause de la relativité. Si ce principe de vitesse limite s’applique même dans des univers hypothétique où il n’y a pas de frottement là je suis d’accord. Ah d’ailleurs c’est le cas, non ? Puisque dans le vide il n’y a pas de frottement, et pourtant, la lumière à une vitesse limite.
    Houla!! Attends d’avoir lu un cours de relativité avant d’écrire sur le sujet car sinon tu vas nous parler de l’éther sous peu :wink: Parler de « frottements » et de « photons » dans la même phrase c’est…un non sens total.
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fakbill a écrit:

Dans un rapport de concours (j’ai perdu la référence),on peut lire ce reproche: (il ne faut pas croire que)« la physique est une branche de la logique ».
Je n’oserais jamais contredire les éminences fort respectables que sont les membres d’un jury de concours (je ne connais d’ailleurs pas les circonstances exactes dans lesquelles ils ont été amenés à dire cela), néanmoins , la physique demeure une construction logique à partir de modèles prédéfinis selon la commodité et selon l’usage , et sa principale différence avec les mathématiques qu’elle est une science essentiellement paradigmatique, qui impose de violents changements à chaque « saut » de paradigme,tandis que les mathématiques le sont un peu moins car devenues absolument interdépendantes (cependant, l’axiomatique du choix est un pur exemple de paradigme en mathématique(s)).

La physique est évidemment une science logique, par essence, puisque ses raisonnements sont hypothético-déductifs .

Et comme je l’ai dit auparavant, il n’y a aucune pertinence à vouloir modifier les bases d’un modèle au sein même du modèle (il n’y a strictement aucun sens à parler d’effets relativistes quand on traite de mécanique newtonienne, par définition presque…)

Houla!! Attends d’avoir lu un cours de relativité avant d’écrire sur le sujet car sinon tu vas nous parler de l’éther sous peu :wink: Parler de « frottements » et de « photons » dans la même phrase c’est…un non sens total.
Je suis d’accord

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Weensie a écrit:

[quote=« fakbill »]
Dans un rapport de concours (j’ai perdu la référence),on peut lire ce reproche: (il ne faut pas croire que)« la physique est une branche de la logique ».
Je n’oserais jamais contredire les éminences fort respectables que sont les membres d’un jury de concours (je ne connais d’ailleurs pas les circonstances exactes dans lesquelles ils ont été amenés à dire cela), néanmoins , la physique demeure une construction logique à partir de modèles prédéfinis selon la commodité et selon l’usage , et sa principale différence avec les mathématiques qu’elle est une science essentiellement paradigmatique, qui impose de violents changements à chaque « saut » de paradigme,tandis que les mathématiques le sont un peu moins car devenues absolument interdépendantes (cependant, l’axiomatique du choix est un pur exemple de paradigme en mathématique(s)).

La physique est évidemment une science logique, par essence, puisque ses raisonnements sont hypothético-déductifs .
[/quote]
Je ne suis pas sûr que la remarque signifiant que « la physique n’est pas une branche de la logique » signifiait que « la physique n’a pas vocation à être logique ». Il y a à mon avis contresens.

Bien sûr que la physique doit être logique, mais elle doit avoir sa logique, sa rigueur qui n’a pas forcément à être la même que celles utilisées en maths. En effet, comme tout le monde sera d’accord pour le dire, la physique n’est pas que une construction. En ce sens, car je pense que c’est ce que voulait dire le jury, aller au fond de la logique des relations sans revenir un seul instant sur la provenance des lois est un peu une erreur fondamentale de la physique.

Par exemple pour le conducteur parfait (origine de ce post), il faut avant tout savoir ce dont on parle et l’utilité de ce modèle.

La plupart du temps ce modèle est utilisé pour pouvoir dire que l’épaisseur de peau est géométriquement négligeable et que, par conséquent, les courants se répartissent en surface. Sauf que l’expression de l’épaisseur de peau est établie pour un champ variable dans le temps, donc non constant.

En régime statique, aucun conducteur ne peut être considéré comme parfait (sauf les supra, mais là, le comportement est différent et n’est pas étudié en cours) et il peut tout à fait y avoir un champ uniforme à l’intérieur ainsi qu’un courant uniforme. Plus le conducteur sera « parfait », plus il conduira le courant tout simplement. Et après ? Si le courant est trop intense, cela risque de détériorer le matériau. C’est aussi bête que cela.

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Weensie:
Ben oui justement…ce qu’ils voulaient dire (je pense…) c’est que ça n’a aucun sens de se demander si j est fini ou pas dans ce cadre.
Dans tout les modèles, il y a des limites et elles sont de deux types (et je pense que c’est ça que je jury voulait aussi rappeller):

  1. les limites aux niveaux mathématique. Dans certains cas, ça exploxe; ça ne converge; ça n’a plus de sens.
  2. les limites physiques : Une vitesse d’un truc ayant une masse peut tendre vers l’infini dans le cadre d’un modèle donné? Ben souvent on s’en fiche. On s’en fiche soit parce que le modèle dit que ça prend un temps infini pour arriver à cette vitesse infinie (et dans ce cas, ce n’est même pas une limite physique du modèle); soit parce que ce n’est simplement pas ça qu’on regarde. Tant que le modèle permet de calculer ce qu’on veut, il est bon.
    Il arrive qu’un modèle soit parfaitement correct sur le plan des maths mais qu’il donne un résultat qui ne correspond pas à l’expérience. Si c’est le cas, ce n’est pas un modèle physique. Ce sont des maths. C’est parfaitement correct mathématique…et parfaitement incorrect physiquement:
    « la physique n’est pas une branche de la logique ».