Bonjour,
J’ai un petit problème avec les bases.
Voici d’abord mon énoncé (les « z » sont en réalité des « alpha » et les « [..] » sont des indices):
Soient n un entier naturel, a « strictement inférieur à » b deux réels et z[1],z[2],…,z[n],z[n+1] n+1 réels deux à deux distincts de l’intervalle [a,b]. On rappelle que En est l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n et on considère les polynômes
Q0=1 , Q1=(x-z[1]) , Q{2](x)=(x-z[1])(x-z[2]) , … , Qn=(x-z[1])(x-z[2])…(x-z[n]).
Ma question est: Montrer que (Q[0],…,Q[n]) est une base.
Je doit donc montrer que (Q[0],…,Q[n]) est une famille libre et génératrice.
Famille libre => La seule combinaison linéaire nulle est celle où tous les coefficients sont nuls.
Famille génératrice => ssi Vect(Q[0],…,Q[n]) = En
Je ne voit pas comment à partir de ça je peux montrer que c’est une base. Pourriez-vous m’aider SVP ?
Merci. 
Le fait que la famille soit une famille de polynômes échelonnés en degré t’assure que c’est une famille libre. (Si tu n’as pas encore vu ce théorème, tu peux le démontrer par récurrence.) Ensuite, tu peux raisonner sur la dimension de l’espace vectoriel engendré par ces polynômes (qui sont tous dans l’espace dont tu dois prouver que c’est une base.)
Eti-N a écrit:
Le fait que la famille soit une famille de polynômes échelonnés en degré t’assure que c’est une famille libre. (Si tu n’as pas encore vu ce théorème, tu peux le démontrer par récurrence.)
Merci. Je ne l’ai pas encore vu mais je vais essayer de le résoudre par récurrence. 
Eti-N a écrit:
Ensuite, tu peux raisonner sur la dimension de l’espace vectoriel engendré par ces polynômes (qui sont tous dans l’espace dont tu dois prouver que c’est une base.)
C’est à dire ? Je ne comprend pas bien, pourriez-vous précisez SVP ?
Merci. 
Supman88 a écrit:
C’est à dire ? Je ne comprend pas bien, pourriez-vous précisez SVP ?
Est-ce que tu sais ce que c’est que la dimension d’un espace vectoriel ? Si ce n’est pas le cas, ça risque d’être fastidieux de démontrer que (Q[0],...,Q[n]) est une famille génératrice de E_n. Tu pourrais raisonner par analyse-synthèse en cherchant à écrire tout polynôme P de E_n comme combinaison linéaire des Q[i] (utilise les valeurs P(z[i])). De cette manière, tu peux directement montrer que (Q[0],...,Q[n]) est une base de E_n.
PS : Tu peux me tutoyer.
Voici les défintions de mon cours:
**EV (espace vectoriel) de dimension finie:**Il admet une famille génératrice de cardinal finie.
→ Propriété: Tout EV de dimension finie non réduit à 0 admet des bases.
Dimension d’un EV E de dimension finie:
Toutes les bases d’un EV de dimension finie (non réduit à 0) ont le même nombre d’éléments. Ce nombre commun s’appelle la dimension de E.
Je suis désolé mais je ne vois pas comment démontrer que c’est une famille génératrice: d’après ces définitions je pense qu’il faudrait que je démontre que (Q[0],…,Q[n]) est un EV de dimension finie, si je comprend bien, mais je ne vois pas comment faire.
Pourrez-tu m’éclairer STP ?
Merci.
Supman88 a écrit:
Je suis désolé mais je ne vois pas comment démontrer que c’est une famille génératrice: d’après ces définitions je pense qu’il faudrait que je démontre que (Q[0],…,Q[n]) est un EV de dimension finie, si je comprend bien, mais je ne vois pas comment faire.
(Q[0],…,Q[n]) est une famille de vecteurs, ce n’est pas un espace vectoriel ! En revanche, Vect(Q[0],…,Q[n]) est un espace vectoriel, dont (Q[0],…,Q[n]) est une base.
Tu dois sûrement connaitre ce théorème qui te suffit pour conclure, et qui découle de ce que tu as écrit : Si A et B sont deux ev de dimension finie tels que A \sub B et dim A = dim B, alors A=B.
Pourriez-vous me dire si c’est juste si je met simplement ça pour montrer que (Q[0],…,Q[n]) est une génératrice SVP:
Vect(Q[0],…,Q[n]) est un espace vectoriel.
Or Vect(Q[0],…,Q[n]) « inclu dans » En
et dim(Q[0],…,Q[n]) = dim(En) => (je en vois pas comment on le sait)
Donc (Q[0],…,Q[n])=En
Désolé si je suis à côté de la plaque et si je suis un peu long à la détente, la fatigue je suppose…
Je pense que c’est faux mais là je nage complètement ! Pardonne-moi d’user de ta générosité, mais pourrait-tu m’aider STP ? 
Merci.
Regarde le Card(En) il y en a …
Et compte le nombre d’éléments de ta famille, il y en a …
Or …=… d’ou l’autre inclusion puis l’égalité, ainsi tu en déduis que En=Vect( ta famille )
Donc la famille est libre et génératrice, donc une base!
Voila 
Au fait, pourquoi utiliser une récurrence pour montrer qu’une famille de polynômes échelonnés en degrés est une base de K_n ?
JeanN a écrit:
Au fait, pourquoi utiliser une récurrence pour montrer qu’une famille de polynômes échelonnés en degrés est une base de K_n ?
Euh, parce que je sais le faire par récurrence. 
C’est juste que ça ne me parait pas la démonstration la plus naturelle…
Mais bon, si c’est correctement rédigé…
JeanN a écrit:
C’est juste que ça ne me parait pas la démonstration la plus naturelle…
Mais bon, si c’est correctement rédigé…
Question bête : quelle est la méthode naturelle ?
Considérer une combinaison linéaire nulle et montrer par l’absurde qu’elle est triviale à l’aide du degré (considérer par exemple le plus grand entier tel que a_p est non nul).
JeanN a écrit:
C’est juste que ça ne me parait pas la démonstration la plus naturelle…
Ne me casse pas la baraque, c’est comme ça que je l’ai faite à mes élèves la semaine dernière!
Bien rédigé, si ça peut te rassurer.
Et si l’on est un peu plus avancé dans le cours et qu’on dispose des matrices et des déterminants, comment envisageriez-vous dans une copie (de concours…) une rédaction laconique du genre :
la matrice dans la base canonique est triangulaire supérieure avec des éléments diagonaux non nuls, donc la famille est une base… ?
Au passage d’ailleurs : la proposition « famille échelonnée donc base » est-il un résultat au programme utilisable tel quel dans une copie (concours) ?
Je pense que ça vaut l’entièreté des points, mais certainement que cette question sera notée sur un nombre minimal de points…
Sinon, ce n’est pas un résultat au programme…
JeanN a écrit:
Sinon, ce n’est pas un résultat au programme…
Ca l’est pour les polynômes mais ça l’est pas pour le reste ?
RP1700 a écrit:
Ca l’est pour les polynômes mais ça l’est pas pour le reste ?
De quel « reste » parles-tu ?
Ma question ne concerne que les polynômes et la propriété : « Toute famille échelonnée de n+1 polynômes dont le degré est compris entre 0 et n est une base de Rn ».
Je demandais si ce résultat était utilisable tel quel dans une copie de concours, et la réponse donnée par JeanN est négative (hors ENS peut-être )…
Personnellement, si il me reste 3 questions pour 15 minutes dans une épreuve (même hors ENS) je me generais pas.