Je remercie tout d’abord KDY pour son invitation. Il est rare que de vrais débats soient organisés sur ce forum, c’est pourquoi je lui suis d’autant plus reconnaissant.
• Il me semble loisible, à mon sens, de distinguer deux choses: D’une part l’aptitude et l’efficacité d’un concours à sélectionner des futurs membres, et d’autre part une « valeur » de l’ensemble du projet {formation en école + concours d’admission}.
Définissons au préalable quelques notations et concepts de base qui serviront dans la suite:
Soit E une école, K(E) son concours, et C un candidat, qu’on identifie ici canoniquement à ses capacités mathématiques.
On définit D(E,C) la désirabilité de C par E, qui est un scalaire réel compris entre 0 et 1.
Le talent mathématique n’est pas une grandeur scalaire ou du moins isomorphe à IR, du fait de la multiplicité de styles de talents, comme par exemple la maîtrise du cours, la justesse de calcul, la vitesse de calcul, la capacité à s’adapter rapidement à une notion nouvelle, l’inventivité pour cerner une difficulté et les notions mises en jeu, la lucidité vis-à-vis de pistes, la créativité et prise d’initiative pour trouver par soi-même des astuces, la propension à découvrir des résultats originaux, et ainsi de suite. Maintenant, chaque école ne recherche pas, pour son projet, les mêmes qualités. Il est important de remarquer que C–>D(E,C) dépend de E.
Ainsi, les fonctions (strictement croissantes par rapport à chaque composante si l’on suppose que C est un élément de IR^p où chaque type de talent mathématique est représenté par un scalaire) C—>D(E,C) ne sont pas toutes égales et il peut exister (C1,C2) et (E1,E2) telles que D(E1,C1)>D(E1,C2) mais D(E2,C1)<D(E2,C2)
Plus concrètement, les écoles ne cherchent pas à recruter les même profils. Par exemple, les ENS accorderont davantage d’importance aux derniers critères décrits ci-dessus tandis que les écoles des groupes CCS et CCP se concentreront principalement sur les deux premiers. Un ingénieur n’a pas besoin de conjecturer par lui seul le théorème de Schwarz, tout comme la vitesse de calcul n’est pas la priorité du mathématicien.
Maintenant, définissons R(E,K(E),C) le résultat moyen (à valeurs entre 0 et 1) du candidat au concours (concrètement cela peut être son score, ou son classement), pour une infinité d’essais. On définit de même S(E,K(E),C) l’écart-type de son résultat, ici encore pour une infinité d’essais.
• L’objectif premier d’un concours est de classer les candidats en deux tas. C’est-à-dire, partitionner l’ensemble des candidats en deux ensembles d’admis (A) (jusqu’au dernier appelé) et de rejetés (B), qui soient à la fois corrects (intersection la plus grande possible de A avec l’ensemble idéal des admis A(D) qui découle de D), et fiables, ce qui se traduit par le fait que deux membres, C1 dans A(D), C2 dans B(D), doivent avoir une différence au concours R(E,K(E),C1)-R(E,K(E),C2) la plus grande possible devant la somme des écarts-types S(E,K(E),C1)+S(E,K(E),C2).
Idéalement, K(E) doit donc être ajusté de manière à ce que C—>R(E,K(E),C) coincïde avec l’indicatrice de A(D). Comme c’est évidemment impossible (car C—>R(E,K(E),C) est continue puisque l’on considère une infinité d’essais), on tente de s’y rapprocher le plus vite possible. Pour ce faire, le meilleur moyen est de discriminer au voisinage de la frontière commune aux images réciproques de A(D) et B(D) par C—>R(E,K(E),C), de manière à induire un « saut » entre les candidats analogue aux sauts de pH que l’on trouve pour les dosages en chimie et que l’on utilise pour repérer une équivalence.
Si vous avez du mal à visualiser, je propose la simplification suivante (valable uniquement ces 3 lignes): si l’on pouvait factoriser C—>R(E,K(E),C) par l’application C—>D(E,C) (ce qui est impossible en pratique) pour obtenir une application H: )0,1( —> )0,1(, U—>R(E,K(E),D^(-1)(U)) H aurait une pente très raide près de l’unique valeur critique. (la frontière ligne de niveau étant alors réduite à un point)
K(E) est donc un concours efficace pour E si et seulement s’il sélectionne en proposant des sujets qui discriminent et départagent autour de cette frontière critique.
C—>D(E,C) étant croissante par rapport à chaque composante, la frontière critique se déplacera comme une hypersurface dont tous les points verront leur composantes augmenter lorsque le rang du dernier admis (ou plus précisément, le quotient de ce rang par le nombre de candidats) diminuera.
En pratique, cela se vérifie clairement. Ainsi, au sein même des écoles d’ingénieurs (qui ont des fonctions C—D(E,C) similaires contrairement peut-être aux écoles normales qui mettent plus l’accent sur la créativité), la difficulté des épreuves augmente lorsque le concours est considéré comme plus « dur à avoir », c’est-à-dire avec un rang du dernier admis faible.
Dès lors, ces concours, y compris ceux des CCP semblent sélectionner efficacement:
Aux CCP, la frontière se situe dans la maîtrise du cours.
A Centrale, dans l’application directe,
Aux Mines, dans les exercices classiques
A l’X, dans un classique ensuite musclé
D’où les concours, qui sont adéquatement choisis aux écoles en question, précisément parce qu’ils coïncident avec le niveau visé.
• A contrario, cela n’empêche pas d’effectuer une distinction hiérarchique, entre le niveau (et accessoirement, déroulement) des oraux de CCP et celui de mathématique spécifique Ulm, que je qualifie parfois de respectivement « minables » et « légendaire » pour compenser la tendance parfois hypocrite à considérer que les oraux de CCP sont des oraux intrinsèquements intéressants au même titre que ceux de l’X. La croissance des frontières par rapport à chaque composante justifie pleinement ce point. Les concours ne sont pas intrinsèquement adéquats, ils le sont parce qu’ils sélectionnent efficacement par rapport à l’école qu’ils concernent. Ainsi les concours de CCP et de l’X ou Ulm ont la même légitimité en tant que concours de leurs écoles respectives, mais absolument pas en tant qu’épreuve mathématique esthétique dans l’absolu. A fortiori je comprends assez mal que l’on puisse s’extasier devant les CCP.
• Si j’en ai perdu quelques-uns en cours de route, l’on peut résumer ma pensée ici par une analogie à un concept développé par Pascal lorsqu’il parle de ses « trois ordres » (terrestre, rationnel, spirituel), lorsqu’il explique somme toute que ces trois ordres ne sont pas liés par une hiérarchie d’utilité tout en l’étant hiérarchie de perfection. (A noter que je ne m’exprime pas ici sur mon opinion de la pensée de Pascal, je donne juste une analogie)
