Pour la question 2 de l’exo 3, on peut aussi penser à étudier l’équation v_{n+3}=v_{n+1}-v_n, \ v_0=3, \ v_1=0, \ v_2=-2. Une suite solution de cette équation est clairement à valeurs entières, et u_n est solution.
Si a+b est premier avec a, a+b premier avec b est-ce que a+b est premier avec ab ?
à ton avis? essaye de démontrer ta supposition.
lionel52 a écrit:
un exo dans l’esprit du début de sup :
- Soit n > 2. Montrer que l’équation x^n + x^{n-1} = 1 admet une unique solution sur R^+ notée u_n
- Montrer que u_n est monotone, majorée et déterminer sa limite.
- Montrer enfin que u_n^{n-1} \to 1/2
Question 1):
On pose f_n(x)=x^n + x^{n-1} - 1 définie sur \mathbb{R+}. f_n est dérivable sur \mathbb{R+} car composée de fonction dérivable.
f'_n(x)=nx^{n-1}+(n-1)x^{n-2} \ge 0 donc f_n est croissante sur \mathbb{R+}. De plus, f_n(0)=-1<0 et \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f_n(x) = + \infty donc d’après le TVI, f_n s’annule une fois sur \mathbb{R+}. On note alors u_n la solution de f_n(x)=0. De plus, f_n(1)=1>0 donc u_n\in[0;1]
Question 2):
\forall x\in[0;1], f_{n+1}(x)-f_n(x)= x^{n+1} - x^{n-1} \le 0 donc f_n(u_{n+1})\ge 0 \Rightarrow f_n(u_{n+1}) \ge f_n(u_n). La fonction f_n étant croissante sur \mathbb{R+}, on a alors u_{n+1}\ge u_n donc u_n est croissante.
Comme vu précédement, u_n\in[0;1], donc u_n est majorée.
u_n est croissane et majorée donc converge. Notons l sa limite.0\le u_n\le 1 donc 0\le l\le1.
Là je n’arrive pas à montrer que la limite vaut 1.
Question 3):
\displaystyle u_n^n+u_n^{n-1}=1 \Rightarrow \displaystyle u_n^n(1+\frac{1}{u_n})=1 \Rightarrow u_n^n=\frac{u_n}{1+u_n} \Rightarrow u_n^{n-1}=\frac{1}{1+u_n}
D’où \displaystyle u_n^{n-1} \to \frac{1}{2}
Pour la limite :
[spoiler]Suppose peut-être que’ la limite n’est pas 1 …
Sinon, pour la question 2, il faut préciser strictement croissante pour en conclure quoi que ce soit sur les antécédents. Pareil sur la question 1, pour l’unicité, il faut préciser que la fonction est strictement monotone -et en plus le TVI ne donne pas l’unicité, juste l’existence. 
[/spoiler]
Pour le 1) : tu oublies l’argument de croissance stricte qui permet d’affirmer l’unicité de la solution
pour montrer que la limite vaut 1, tu peux commencer par montrer que si elle est inférieure à 1, alors u_n^n tend vers 0.
Allez un dernier exo avant que je parte en vacances…
Soit D^1(R) l’ensemble des fonctions dérivables sur R et C^1(R) l’ensemble des fonctions dérivables sur R dont la dérivée est continue sur R
A t-on l’égalité D^1(R) = C^1(R) ?
On pourra considérer la fonction f définie par f(x) = x^2.sin(1/x) si x est non nul et f(0) = 0Trouver une fonction non continue sur R, admettant une primitive sur R
Soit D^1(R) l’ensemble des fonctions dérivables sur R et C^1(R) l’ensemble des fonctions dérivables sur R dont la dérivée est continue sur R
1) A t-on l'égalité D^1(R) = C^1(R) ? On pourra considérer la fonction f définie par f(x) = x^2.sin(1/x) si x est non nul et f(0) = 0 2) Trouver une fonction non continue sur R, admettant une primitive sur R
Soit f une fonction tq pour tout x\neq0 , f(x)=x^2sin(\frac1x) et f(0)=0
Donc f est dérivable sur \mathbb{R}^* en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle et pour tout x\neq0 , f'(x)=2xsin(\frac1x)-cos(\frac1x)
Montrons que f est dérivable en 0 et f'(0)=0
Pour tout x\neq0, \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{sin(\frac1x)}{\frac1x}
lim_{x\to0}\frac{sin(\frac1x)}{\frac1x}=0
Donc lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0 \square
Ainsi f est dérivable sur \mathbb{R} alors f \in D^{1}(\mathbb{R})
Montrons que f' n’est pas continue en 0
x\mapsto2xsin(\frac1x)-cos(\frac1x) n’admet pas de limite en 0 (je n’ai pas de preuve à proposer) \square
Ainsi f' n’est pas continue sur \mathbb{R}
Alors f n’appartient pas à C^{1}(\mathbb{R})
Donc D^1(\mathbb{R}) \neq C^{1}(\mathbb{R})
D’après 1) : f'
Boh ca reste du ultra classiqie chez M.Dupont…
Honnetement son site est une mine, j utilisais beaucoup cette annee
Jiawang a écrit:
Boh ca reste du ultra classiqie chez M.Dupont…
Honnetement son site est une mine, j utilisais beaucoup cette annee
Est-ce que tu pourrais donner l’adresse du sit s’il te plait?Je ne la trouve pas.
Bien sur, moduloserge.free.fr/HX1-09/ 
Enjoy
J’ai un soucis avec les notions d’injection et surjection, j’ai donc lu plusieurs trucs sur internet et donc j’aimerai vérifier si c’est bon ?!
Une fonction f est injective quand f est monotone ?!
Une fonction f est surjective quand f est continue ?!
Soit une application g de E dans F. a appartient à E . si g est injective alors il y’a un seul et unique élément de F, b, tel que g(a) = b ?!
Non et … non !
Si f est strictement monotone, f est injective.
Pour la surjectivité, de toute façon, ça dépend de l’ensemble d’arrivée qu’on a choisie pour la fonction (et pour le coup, il suffit de prendre comme ensemble d’arrivée f(I) avec I l’ensemble de départ pour que ça soit surjectif).
Soit une application g de E dans F. a appartient à E . si g est injective alors il y’a un seul et unique élément de F, b, tel que g(a) = b ?!
Non plus. Là, c’est juste l’unicité de l’image d’un antécédent par une fonction.
Soit f : E \rightarrow F
f est injective si et seulement si \forall (x , y) \in E^2, f(x) = f(y) \Rightarrow x = y
En gros, la surjectivité, ça veut dire que tout élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent ; l’injectivité, ça veut dire que tout élément de l’ensemble d’arrivée a au plus un antécédent.
(Edit : j’étais pas content de ma première phrase, un peu ambigüe !)
Rémip a écrit:
Non et … non !
f est injective quand f est strictement monotone.
Pour la surjectivité, de toute façon, ça dépend de l’ensemble d’arrivée qu’on a choisie pour la fonction (et pour le coup, il suffit de prendre comme ensemble d’arrivée f(I) avec I l’ensemble de départ pour que ça soit surjectif).Soit une application g de E dans F. a appartient à E . si g est injective alors il y’a un seul et unique élément de F, b, tel que g(a) = b ?!
Non plus. Là, c’est juste la conséquence directe de l’unicité de l’image d’un antécédent par une fonction.Soit f : E \rightarrow F
f est injective si et seulement si \forall (x , y) \in E^2, f(x) = f(y) \Rightarrow x = yEn gros, la surjectivité, ça veut dire que tout élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent ; l’injectivité, ça veut dire que tout élément de l’ensemble d’arrivée a au plus un antécédent.
quand j’ai écrit monotone, je pensais strictement monotone… Merci de m’avoir éclairci sur ce point
Salut les loulous je suis de retour!
kledou a écrit:
Une fonction f est injective quand f est monotone ?!
Une fonction f est surjective quand f est continue ?!
non non kledou.Une fonction peut être injective sans être monotone et surjective sans être continue.par contre sur un intervalle:
la stricte monotonie implique l’injectivité.
une fonction continue vérifie le TVI donc en lien avec la surjectivité
Le plus simple c’est de prendre un exemple et de le voir graphiquement (pour une fonction):
f:\mathbb{R} -> \mathbb{R} qui à x associe x^2 n’est rien du tout
f:\mathbb{R}^{+} -> \mathbb{R} qui à x associe x^2 est injective mais pas surjective
f:\mathbb{R} -> \mathbb{R}^{+} qui à x associe x^2 est surjective mais pas injective
f:\mathbb{R}^{+} -> \mathbb{R}^{+} qui à x associe x^2 est bijective
Dohvakiin a écrit:
Le plus simple c’est de prendre un exemple et de le voir graphiquement (pour une fonction):
f:\mathbb{R} -> \mathbb{R} qui à x associe x^2 n’est rien du tout
f:\mathbb{R}^{+} -> \mathbb{R} qui à x associe x^2 est injective mais pas surjective
f:\mathbb{R} -> \mathbb{R}^{+} qui à x associe x^2 est surjective mais pas injective
f:\mathbb{R}^{+} -> \mathbb{R}^{+} qui à x associe x^2 est bijective
à la place du -> pourquoi tu mets pas tout simplement une flèche en \LaTeX comme ça \to ( « \to » ).
Et merci pour ton exemple, ça me parait plus clair 
Je savais pas pour la flèche, merci ^^.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}
f: x \mapsto x^2: f: x \mapsto x^2
Erreur de Latex.
Je me rends compte que j’ai arrêté quelques jours les maths, et ça me fait du bien sérieux.