Arf tu as completement raison KGD, j ai lu un peu trop vite(ou suis je bete ? 
)
bonsoir, dites… quelqu’un pourrait il expliquer à un nouveau comment ecrire des symboles mathematiques sur ce forum svp? j’ai cherché, mais c’est ecrit nul part… 
atomix a écrit:
bonsoir, dites… quelqu’un pourrait il expliquer à un nouveau comment ecrire des symboles mathematiques sur ce forum svp? j’ai cherché, mais c’est ecrit nul part…
Il faut mettre le code entre balises [ tex] [/tex ] (sans espaces). Tu trouveras l’essentiel des commandes ici: Maths
Atomix desole j en sais rien du tout.
Je relance un petit exo d arithmetique tres abordable:
Pour n entier naturel different de 0 , on definit an et bn entiers ainsi: (1+sqrt(2))^n=an +bn*sqrt(2).
Mq an et bn sont premierq entre eux
Jiawang a écrit:
Atomix desole j en sais rien du tout.
Je relance un petit exo d arithmetique tres abordable:
Pour n entier naturel different de 0 , on definit an et bn entiers ainsi: (1+sqrt(2))^n=an +bn*sqrt(2).
Mq an et bn sont premierq entre eux
On remarque que (1-\sqrt{2})^n = a_n - b_n\sqrt{2}. Du coup, (-1)^n = a_n^2 - 2b_n^2, donc a_n et b_n sont premiers entre eux.
C’est un exercice des Mines non ?
Il est peut-être trop difficile avant d’entrer en sup.
On peut sinon pour ceux qui veulent creuser l’exercice, préciser existence et unicité des suites an et bn ( facile, mais sinon l’exercice est moins rigoureux ), et montrer ensuite qu’il existe un unique p naturel tel que:
(1+\sqrt{2})^{n}= \sqrt{p} + \sqrt {p-1}
En se servant du spoiler de Nuhlanaurtograff.
Plus simplement, on peut recurrencer sur n
Voici un exercice que je trouve intéressant d’un annale de mon BAC étranger (en m’excusant pour la traduction car c’est originalement en anglais).
Sois f une fonction définie sur \mathbb{R} et qui satisfait les conditions suivantes:
f(x+y) = f(x) f(y) \forall {x,y,f(0)\ne 0}
a) Montrer que f(0)=1
b) Prouver que f(x)\ne 0, \forall {x} \in \mathbb{R}
c) En assumant que f'(x) existe \forall {x} \in \mathbb{R}, utiliser la définition de la dérivée pour montrer que f(x) satisfait l’équation différentielle f'(x)=kf(x), où k=f'(0)
d) Résoudre l’équation différentielle afin de trouver une expression pour f(x)
Pas si facile pour du baccalaureat…
ah? J’aurais tendance à dire que ne pas y arriver c’est bof…
salut123 a écrit:
Voici un exercice que je trouve intéressant d’un annale de mon BAC étranger (en m’excusant pour la traduction car c’est originalement en anglais).
Sois f une fonction définie sur \mathbb{R} et qui satisfait les conditions suivantes:
f(x+y) = f(x) f(y) \forall {x,y,f(0)\ne 0}
a) Montrer que f(0)=1
b) Prouver que f(x)\ne 0, \forall {x} \in \mathbb{R}
c) En assumant que f'(x) existe \forall {x} \in \mathbb{R}, utiliser la définition de la dérivée pour montrer que f(x) satisfait l’équation différentielle f'(x)=kf(x), où k=f'(0)
d) Résoudre l’équation différentielle afin de trouver une expression pour f(x)
Salut, voilà ma solution ^^
[spoiler]a) f(x+y) = f(x) f(y) \forall {x,y,f(0)\ne 0} , Prenons par exemple $y=0$et x=0, dans ce cas on a
f(0+0) = f(0)*f(0)
f(0)=f(0)*f(0) , $0$et$1$ sont les seules solutions, Or d’après l’énoncé f(0)\ne 0,
Ainsi f(0) = 1
b) Supposons que x0 est solution de f(x)=0
On a alors f(x0 + y) = 0, prenons y=-x0 on a alors f(0)=0 ce qui est en contradiction avec l’énoncé, de ce fait f(x)\ne 0, \forall {x} \in \mathbb{R}
c) On assume que f est dérivable, on a
f'(x+y) = f'(y)*f(x) En dérivant par rapport à y
Prenons y = 0, on obtient : f'(x+0)=f'(0)*f(x)
Notons f'(0)=k, on obtient alors f'(x)=k*f(x)
d)C’est une équation différentielle simple je donne comme fonction solution : f(x) = \text{e}^{kx}[/spoiler]
@evarist ok.
quelques petites remarques sans grand intérêt:
en général on met les quantificateurs (les pour tout,les il existe) avant.
Evarist a écrit:
d)C’est une équation différentielle simple je donne comme fonction solution : f(x) = \text{e}^{kx}
ok mais quel théorème dit que c’est la seule solution (je suis pas sûr que ça soit au programme de TS) ? et j’avais un enseignant qui était allergique à « la fonction f(x)… » f(x) c’est un nombre si tu rentres ça dans un maple il va te dire que c’est un nombre pas une fonction.Tu peux dire f:=x->\text{e}^{kx}
brank a écrit:
Tu peux dire f:=x->\text{e}^{kx}
Ca ? f:x\mapsto e^{kx}
brank a écrit:
@anon1392895 ok.
quelques petites remarques sans grand intérêt:
en général on met les quantificateurs (les pour tout,les il existe) avant.[quote=« Evarist »]
d)C’est une équation différentielle simple je donne comme fonction solution : f(x) = \text{e}^{kx}
ok mais quel théorème dit que c’est la seule solution (je suis pas sûr que ça soit au programme de TS) ? et j’avais un enseignant qui était allergique à « la fonction f(x)… » f(x) c’est un nombre si tu rentres ça dans un maple il va te dire que c’est un nombre pas une fonction.Tu peux dire f:=x->\text{e}^{kx}
[/quote]
Dans ce cas je dis la fonction f définie \forall {x} \in \mathbb{R} par f:x\mapsto e^{kx} ?
Un théorème indiquant que c’est la seule solution n’est à ma connaissance pas au programme de TS Mais on peut raisonner par l’absurde non? En supposant qu’une autre solution existe et on montrant que celle ci est la même ?
EDIT : En réfléchissant il y -a une preuve avec la fonction g(x) = f1(x)*f1(-x) et f(x) = f1(-x)*f2(x)
A l’aide de dérivées on montre que f1(x)=f2(x) mais ceci est une preuve pour y'=y, pour y'=ky je suppose qu’on doit pouvoir le prouver avec une fonction avec de l’exp qui a une dérivée nulle
Blobixx a écrit:
[quote=« brank »]
Tu peux dire f:=x->\text{e}^{kx}
Ca ? f:x\mapsto e^{kx}
[/quote]
Oui oui c est pareil mais je parlais pour Maple ou c est := vous verrez Ca dans très peu de jours mouhahaet mon prof notait les fonctions comme Ca.L idée c est de pas confondre réels et fonctions
salut123 a écrit:
Voici un exercice que je trouve intéressant d’un annale de mon BAC étranger (en m’excusant pour la traduction car c’est originalement en anglais).
Sois f une fonction définie sur \mathbb{R} et qui satisfait les conditions suivantes:
f(x+y) = f(x) f(y) \forall {x,y,f(0)\ne 0}
a) Montrer que f(0)=1
b) Prouver que f(x)\ne 0, \forall {x} \in \mathbb{R}
c) En assumant que f'(x) existe \forall {x} \in \mathbb{R}, utiliser la définition de la dérivée pour montrer que f(x) satisfait l’équation différentielle f'(x)=kf(x), où k=f'(0)
d) Résoudre l’équation différentielle afin de trouver une expression pour f(x)
a) Prenons x = y = 0. On a donc f(0) = f(0)f(0) d’où f(0) = 1 ( on peut diviser car on sait que f(0) \neq 0 )
b) Admettons que f(\alpha) = 0. On a alors f(\alpha)f(-\alpha) = 0. Or f(\alpha)f(-\alpha) = f(\apha - \alpha) = f(0)
Or f(0) = 1. C’est absurde.
Donc ici il n’existe pas \alpha tel que f(\alpha) = 0.
3) f'(x) = \displaystyle\lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(h)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{f(x)f(h) - f(h)}{h} = \displaystyle\lim_{h\to0} \frac{f(h)(f(x)-1)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{f(h)}{h}(f(x)-1) après je sais pas quoi faire …
4) Les équations différentielles de la forme : y' = f'(0)y admet des solutions de la forme y(x) = Ce^{f'(0)x} avec C \in\mathbb{R}. Or, on sait que y(0) = 1 d’où Ce^{0} = 1
d’où C = 1. Donc f, la fonction solution de l’équation y' = f'(0)y est définie par f(x) = e^{f'(0)x}
kledou a écrit:
[quote=« salut123 »]
Voici un exercice que je trouve intéressant d’un annale de mon BAC étranger (en m’excusant pour la traduction car c’est originalement en anglais).Sois f une fonction définie sur \mathbb{R} et qui satisfait les conditions suivantes:
f(x+y) = f(x) f(y) \forall {x,y,f(0)\ne 0}
a) Montrer que f(0)=1
b) Prouver que f(x)\ne 0, \forall {x} \in \mathbb{R}
c) En assumant que f'(x) existe \forall {x} \in \mathbb{R}, utiliser la définition de la dérivée pour montrer que f(x) satisfait l’équation différentielle f'(x)=kf(x), où k=f'(0)
d) Résoudre l’équation différentielle afin de trouver une expression pour f(x)
a) Prenons x = y = 0. On a donc f(0) = f(0)f(0) d’où f(0) = 1 ( on peut diviser car on sait que f(0) \neq 0 )
b) Admettons que f(\alpha) = 0. On a alors f(\alpha)f(-\alpha) = 0. Or f(\alpha)f(-\alpha) = f(\alpha - \alpha) = f(0)
Or f(0) = 1. C’est absurde.
Donc ici il n’existe pas \alpha tel que f(\alpha) = 0.
3) f'(x) = \displaystyle\lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(h)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{f(x)f(h) - f(h)}{h} = \displaystyle\lim_{h\to0} \frac{f(h)(f(x)-1)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{f(h)}{h}(f(x)-1) après je sais pas quoi faire …
4) Les équations différentielles de la forme : y' = f'(0)y admet des solutions de la forme y(x) = Ce^{f'(0)x} avec C \in\mathbb{R}. Or, on sait que y(0) = 1 d’où Ce^{0} = 1
d’où C = 1. Donc f, la fonction solution de l’équation y' = f'(0)y est définie par f(x) = e^{f'(0)x}
[/quote]
EDIT : Désolé, j’ai fait une fausse manip’ et donc je me retrouve avec deux fois la même chose et je peux plus supprimer 
kledou a écrit:
[quote=« salut123 »]
Voici un exercice que je trouve intéressant d’un annale de mon BAC étranger (en m’excusant pour la traduction car c’est originalement en anglais).Sois f une fonction définie sur \mathbb{R} et qui satisfait les conditions suivantes:
f(x+y) = f(x) f(y) \forall {x,y,f(0)\ne 0}
a) Montrer que f(0)=1
b) Prouver que f(x)\ne 0, \forall {x} \in \mathbb{R}
c) En assumant que f'(x) existe \forall {x} \in \mathbb{R}, utiliser la définition de la dérivée pour montrer que f(x) satisfait l’équation différentielle f'(x)=kf(x), où k=f'(0)
d) Résoudre l’équation différentielle afin de trouver une expression pour f(x)
3) f'(x) = \displaystyle\lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(h)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{f(x)f(h) - f(h)}{h} = \displaystyle\lim_{h\to0} \frac{f(h)(f(x)-1)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{f(h)}{h}(f(x)-1) après je sais pas quoi faire …
[/quote]
Je dirais pour ta méthode :
D’abord, attention à la définition !!
f est dérivable sur \mathbb{R} donc, pour a \in \mathbb{R}, f'(a) = lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = lim _{h \rightarrow 0} \frac {f(a) \times f(h) - f(a)}{h}
f'(a) = lim _{h \rightarrow 0} f(a) \times \frac{f(h) - 1}{h}
Or, f(a) est un réel non nul qui ne dépend pas de h.
Dès lors, f'(a) = f(a) \times lim _{h \rightarrow 0} \frac {f(h) - f(0)}{h-0}
f étant dérivable en 0, par définition on a lim _{h \rightarrow 0} \frac {f(h) - f(0)}{h-0} = f'(0).
Donc pour a \in \mathbb{R}, f'(a) = f'(0) \times f(a).
Pour tout x \in \mathbb{R}, f(x) est donc solution de l’équation f'(x) = f'(0) \times f(x).
En effet, je me suis trompé dans la définition 
Un peu plus compliqué mais faisable 
Montrer que:
\int_{1}^{n} $\frac{dx}{\sqrt{n^2+x^3}}$$\rightarrow_{n\infty}0$
Indice:
Utiliser le changement de variable y=\frac{x}{n^{2/3}}