Un changement de variable en terminale ?
Ah vraiment :O? C’est pas fait en terminale sa?
salut123 a écrit:
Ah vraiment :O? C’est pas fait en terminale sa?
A doses homéopathiques, dans mes souvenirs… mais le programme a changé depuis !
Anefet non.
salut123 a écrit:
Un peu plus compliqué mais faisable
Montrer que:
\int_{1}^{n} $\frac{dx}{\sqrt{n^2+x^3}}$$\rightarrow_{n\infty}0$
Indice:
Utiliser le changement de variable y=\frac{x}{n^{2/3}}
[spoiler]Bon bah je galère 
\displaystyle y=\frac{x}{n^{\frac{2}{3}}} \Rightarrow x^3=y^3n^2 \Rightarrow \sqrt{x^3+n^2}=\sqrt{y^3n^2+n^2}
De plus, \displaystyle dx= n^{\frac{2}{3}}dy
donc \displaystyle \int_{1}^{n} \frac{dx}{\sqrt{n^2+x^3}} = \int_{1}^{n} \frac{n^{\frac{2}{3}}dy}{\sqrt{y^3n^2+n^2}}
Et là, le néant[/spoiler]
Edit: mauvaise manip’
Blobixx a écrit:
Et là, le néant.
\int_{1}^{n} \frac{n^{\frac{2}{3}}dy}{\sqrt{y^3n^2+n^2}}=n^{\frac{-1}{3}} \int_{1}^{n} \frac{dy}{\sqrt{y^3+1}}
Ensuite cherche à majorer la fonction$f:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{1+x^3}}$ (faut pas chercher très loin 
)
Quand on fait un changement de variable, il faut changer les bornes d’intégrations. Ici, on intègre donc de 0 à n^(1/3), pas n.
Edit: on intègre de n^(-2/3) à n^(1/3) pardon.
Moi pour les nouvelles bornes d’intégration j’ai trouvé: (Au stade ou tu en es arrivé Blobixx)
[spoiler]Borne min: \frac{1}{n^{2/3}}
Borne max:n^{1/3}
Blobixx a écrit:
[quote=« salut123 »]
Un peu plus compliqué mais faisableMontrer que:
\int_{1}^{n} $\frac{dx}{\sqrt{n^2+x^3}}$$\rightarrow_{n\infty}0$
Indice:
Utiliser le changement de variable y=\frac{x}{n^{2/3}}
[spoiler]Bon bah je galère
\displaystyle y=\frac{x}{n^{\frac{2}{3}}} \Rightarrow x^3=y^3n^2 \Rightarrow \sqrt{x^3+n^2}=\sqrt{y^3n^2+n^2}
De plus, \displaystyle dx= n^{\frac{2}{3}}dy
donc \displaystyle \int_{1}^{n} \frac{dx}{\sqrt{n^2+x^3}} = \int_{1}^{n} \frac{n^{\frac{2}{3}}dy}{\sqrt{y^3n^2+n^2}}
Et là, le néant.[/spoiler]
[/quote]
salut123 a écrit:
Un peu plus compliqué mais faisable
Montrer que:
\int_{1}^{n} $\frac{dx}{\sqrt{n^2+x^3}}$$\rightarrow_{n\infty}0$
Indice:
Utiliser le changement de variable y=\frac{x}{n^{2/3}}
J’ai continué après tous vos messages d’aide:
[spoiler]\displaystyle y=\frac{x}{n^{\frac{2}{3}}} \Rightarrow x^3=y^3n^2 \Rightarrow \sqrt{x^3+n^2}=\sqrt{y^3n^2+n^2}
De plus, \displaystyle dx= n^{\frac{2}{3}}dy et \displaystyle n^{-\frac{2}{3}}\le y\le n^{\frac{1}{3}}
donc \displaystyle \int_{1}^{n} \frac{dx}{\sqrt{n^2+x^3}} = \int_{n^{\frac{-2}{3}}}^{n^{\frac{1}{3}}} \frac{n^{\frac{2}{3}}dy}{\sqrt{y^3n^2+n^2}} \displaystyle =n^{-\frac{1}{3}}\int_{n^{\frac{-2}{3}}}^{n^{\frac{1}{3}}} \frac{dy}{\sqrt{y^3+1}}
Or \displaystle \forall y>-1, \frac{1}{\sqrt{y^3+1}}\le \frac{1}{y}
donc $\displaystyle n^{-\frac{1}{3}}\int_{n^{\frac{-2}{3}}}^{n^{\frac{1}{3}}} \frac{dy}{\sqrt{y^3+1}}\le n^{-\frac{1}{3}}\int_{n^{\frac{-2}{3}}}^{n^{\frac{1}{3}}} \frac{dy}{y}$$\displaystyle \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0$[/spoiler]
La méthode du changement de variable pour une intégrale n’est pas (plus) au programme de terminale à ma connaissance, cependant, le théorème de l’inégalité de la moyenne l’est :
Soit n \in \mathbb{N^*}. Soit x \in [1, n].
Donc x \le n
Ainsi (par croissance et décroissance de certaines fonctions …) {\frac {1}{\sqrt{n^2+x^3^}}} \le {\frac {1}{n \sqrt {n+1}}}
x \mapsto \frac {1}{\sqrt{n^2+x^3^}} et x \mapsto \frac {1}{n \sqrt {n+1}} sont continues sur [1, n] et 1 \le n
Alors d’après le théorème de l’inégalité de la moyenne : \int \limits _ {1} ^ {n} {\frac {1}{\sqrt{n^2+x^3^}}} \mathrm dx \le (n-1) {\frac {1}{n \sqrt {n+1}}}
( (n-1) {\frac {1}{n \sqrt {n+1}} ) _ { n \in \mathbb {N ^ *} tend vers 0 et on a \int \limits _ {1} ^ {n} {\frac {1}{\sqrt{n^2+x^3^}}} \mathrm dx - 0 \le {\frac {n-1}{n \sqrt {n+1}}} pour tout n \in \mathbb { N ^ * } (je ne sais pas comment faire apparaitre la fonction valeur absolue avec LaTeX)
Donc la suite considérée tend bien vers 0
Matthieu Charrier a écrit:
…
Ainsi (par croissance et décroissance de certaines fonctions …) {\frac {1}{\sqrt{n^2+x^3^}}} \le {\frac {1}{n \sqrt {n+1}}}
…
Ca ne marche pas car$x->\frac {1}{\sqrt{n^2+x^3^}}$ est décroissante, elle est donc plus grande sur [1,n] que sa valeur en n, pas plus petite.
Voici une proposition de correction:
[spoiler]Nous effectuons donc le changement de variable y=\frac{x}{x^{2/3}}
Nous avons: \int_{1}^{n}\frac{dx}{\sqrt{n^2+x^3}}= $\int_{n^{-2/3}}^{n^{1/3}}$$\frac{n^{2/3}dy}{\sqrt{n^2(1+y^3)}}$
=\frac{1}{n^{1/3}}\int_{n^{-2/3}}^{n^{1/3}}\frac{dy}{\sqrt{1+y^3}}
\int_{n^{-2/3}}^{1}\frac{dy}{\sqrt{1+y^3}}\leq\int_{{0}}^{{1}}\frac{dy}{\sqrt{1+y^3}}\leq\int_{0}^{1}dy}=1
\int_{1}^{n^{1/3}}\frac{dy}{\sqrt{1+y^3}}\leq\int_{1}^{n^{1/3}}y^{-3/2}dy=2-\frac{2}{n^{1/6}}\leq2
D’où: \forall n \in\mathbb{N^{*}}, 0 \leq\int_{1}^{n}\frac{dx}{\sqrt{n^2+x^3}}\leq\frac{3}{n^{1/3}}[/spoiler]
Blobixx a écrit:
[quote=« salut123 »]
Un peu plus compliqué mais faisableMontrer que:
\int_{1}^{n} $\frac{dx}{\sqrt{n^2+x^3}}$$\rightarrow_{n\infty}0$
Indice:
Utiliser le changement de variable y=\frac{x}{n^{2/3}}
J’ai continué après tous vos messages d’aide:
[spoiler]\displaystyle y=\frac{x}{n^{\frac{2}{3}}} \Rightarrow x^3=y^3n^2 \Rightarrow \sqrt{x^3+n^2}=\sqrt{y^3n^2+n^2}
De plus, \displaystyle dx= n^{\frac{2}{3}}dy et \displaystyle n^{-\frac{2}{3}}\le y\le n^{\frac{1}{3}}
donc \displaystyle \int_{1}^{n} \frac{dx}{\sqrt{n^2+x^3}} = \int_{n^{\frac{-2}{3}}}^{n^{\frac{1}{3}}} \frac{n^{\frac{2}{3}}dy}{\sqrt{y^3n^2+n^2}} \displaystyle =n^{-\frac{1}{3}}\int_{n^{\frac{-2}{3}}}^{n^{\frac{1}{3}}} \frac{dy}{\sqrt{y^3+1}}
Or \displaystle \forall y>-1, \frac{1}{\sqrt{y^3+1}}\le \frac{1}{y}
donc $\displaystyle n^{-\frac{1}{3}}\int_{n^{\frac{-2}{3}}}^{n^{\frac{1}{3}}} \frac{dy}{\sqrt{y^3+1}}\le n^{-\frac{1}{3}}\int_{n^{\frac{-2}{3}}}^{n^{\frac{1}{3}}} \frac{dy}{y}$$\displaystyle \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0$[/spoiler]
[/quote]
Ecrit comme ça, tu as juste prouvé que la limite de la suite, si elle existe, est inférieure à 0. Il faut prouver en plus que l’intégrale est positive par exemple pour l’encadrer convenablement. 
Et pour ton inégalité qui précède, elle est fausse pour y \in ]-1 ; 0[ : pour y = - 0,5 par exemple, on a le terme de gauche qui va être positif quand le terme de droite sera négatif.
Rémip a écrit:
Ecrit comme ça, tu as juste prouvé que la limite de la suite, si elle existe, est inférieure à 0. Il faut prouver en plus que l’intégrale est positive par exemple pour l’encadrer convenablement.
En même temps, quand on intègre quelque chose de positif entre deux bornes a < b, c’est généralement positif…
Et pour ton inégalité qui précède, elle est fausse pour y \in ]-1 ; 0[ : pour y = - 0,5 par exemple, on a le terme de gauche qui va être positif quand le terme de droite sera négatif.
Effectivement, y peut être négatif au vu des bornes… Ah non.
Nuhlanaurtograff a écrit:
[quote=« Rémip »]
Ecrit comme ça, tu as juste prouvé que la limite de la suite, si elle existe, est inférieure à 0. Il faut prouver en plus que l’intégrale est positive par exemple pour l’encadrer convenablement.
En même temps, quand on intègre quelque chose de positif entre deux bornes a < b, c’est généralement positif..
Et pour ton inégalité qui précède, elle est fausse pour y \in ]-1 ; 0[ : pour y = - 0,5 par exemple, on a le terme de gauche qui va être positif quand le terme de droite sera négatif.
Effectivement, y peut être négatif au vu des bornes… Ah non.
[/quote]
Non mais Rémip a raison de me le signaler. La rigueur c’est important.
Non mais Rémip a raison de me le signaler. La rigueur c’est important.
Il y a rigueur et rigueur… Préciser que l’intégrale est positive (juste le dire) suffit. Pas besoin de le « prouver » ou d’inventer des cas inexistants.
Blobixx a écrit:
Non mais Rémip a raison de me le signaler. La rigueur c’est important.
J’espère que ton prof va pas commencer par la géométrie, ou que tu finiras pas en PSI
Soit dans n un entier naturel montrer que Sqrt[n] est rationnel si et seulement si n est un carré.
Pour le sens non trivial, ecire le rationnel sous la forme d une fraction irreductible, un argument d arithmetique concluera.
L’irréductibilité de la fraction est inutile à priori, mais c’est à ça que je pensais 