JulienP a écrit:
Soit dans n un entier naturel montrer que Sqrt[n] est rationnel si et seulement si n est un carré.
Salut, je propose
[spoiler]Si \sqrt{n} est rationnel, alors il peut s’écrire sous la forme \sqrt{n} =P/Q avec P et Q premiers entre eux, de ce fait pgcd(P,Q)=1
En élevant au carré l’expression on a n=P^2/Q^2 , P^2 et Q^2 sont de même premiers entre eux de ce fait pgcd(P^2,Q^2)=1
Or d’après l’énoncé on sait que n est un entier, de ce fait P^2/Q^2 l’est aussi, or pgcd(P^2,Q^2)=1, on en déduit que Q=1, donc n=P^2, on a bien \sqrt{n}=P \in\mathbb{Q}[/spoiler]
Bonjour à tous.
Une démonstration alternative (parmi de nombreuses)
[spoiler]Si \sqrt{m} \notin \mathbb{N} alors \sqrt{m} \notin \mathbb{Q}.
Supposons \sqrt{m} \in \mathbb{Q}. On écrit : n < \sqrt{m} < n+1 en encadrant \sqrt{m} par deux entiers consécutifs. On pose alors \alpha = \sqrt{m} - n et on a 0<\alpha<1. Comme \sqrt{m} \in \mathbb{Q}, on a \alpha \in \mathbb{Q} et on peut écrire \alpha = \frac{p}{q} (p et q entiers naturels). Comme 0<\alpha<1, on a 0<p<q. Quitte à simplifier par le pgcd de p et q, on peut supposer q le plus petit possible. On a alors:
\displaystyle \dfrac{1}{\alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{m}-n} = \dfrac{\sqrt{m}+n}{m-n^2}.
D’où:
\displaystyle \alpha = \dfrac{\left( m-n^2\right)q }{p} - 2n = \dfrac{\left( m-n^2\right)q - 2np }{p} = \dfrac{r}{p},
Avec r et p entiers et comme p < q, on contredit le fait que q est le plus petit possible. La supposition \sqrt{m} \in \mathbb{Q} est donc absurde, ce qu’il fallait démontrer.[/spoiler]
Toute premiere ligne, entre \mathbb{N} et \mathbb{Q} et qui d’ailleurs n’a rien a voir avec la démo.
Ben c’est ce qu’il veut démontrer…
Ah, effectivement ! je crois que je peux me cacher six pieds sous terre maintenant 
Bonsoir Xant.
La première ligne est ce que je démontre par la suite et l’absurde si tu veux bien me passer ce zeugme.
Résoudre :
(x+10)(x+11)(x+12)(x+13)=1
guitar_man95 a écrit:
tu peux te ramener par un changement de variable bien choisi à (x-3)(x-1)(x+1)(x+3)=16,et là, ça devient plus clair.
[spoiler]On pose t= 2(x+13)-3 \Rightarrow x=\frac{t+3}{2}-13
$(x+10)(x+11)(x+12)(x+13)=1 \Leftrightarrow$$(\frac{t-3}{2})(\frac{t-1}{2})(\frac{t+1}{2})(\frac{t+3}{2})=1$
\Leftrightarrow (t-3)(t-1)(t+1)(t+3)=16 \Leftrightarrow t^4-10t^2-7=0
On pose alors s=t^2 donc t^4-10t^2-7=0 \Leftrightarrow s^2-10s-7=0
\Delta= 128 donc s_1=\frac{10+\sqrt{128}}{2} \Rightarrow t=\sqrt{\frac{10+\sqrt{128}}{2}}
ou s_2=\frac{10-\sqrt{128}}{2}< 0
Donc \displaystyle x=\frac{\sqrt{\frac{10+\sqrt{128}}{2}}+3}{2}-13
Réciproquement, le x trouvé est bien solution[/spoiler]
EDIT: il manque des choses. Voir la réponse complète plus bas 
Blobixx a écrit:
[quote=« guitar_man95 »]
tu peux te ramener par un changement de variable bien choisi à (x-3)(x-1)(x+1)(x+3)=16,et là, ça devient plus clair.
[spoiler]On pose t= 2(x+13)-3 \Rightarrow x=\frac{t+3}{2}-13
$(x+10)(x+11)(x+12)(x+13)=1 \Leftrightarrow$$(\frac{t-3}{2})(\frac{t-1}{2})(\frac{t+1}{2})(\frac{t+3}{2})=1$
\Leftrightarrow (t-3)(t-1)(t+1)(t+3)=16 \Leftrightarrow t^4-10t^2-7=0
On pose alors s=t^2 donc t^4-10t^2-7=0 \Leftrightarrow s^2-10s-7=0
\Delta= 128 donc s_1=\frac{10+\sqrt{128}}{2} \Rightarrow t=\sqrt{\frac{10+\sqrt{128}}{2}}
ou s_2=\frac{10-\sqrt{128}}{2}< 0
Donc \displaystyle x=\frac{\sqrt{\frac{10+\sqrt{128}}{2}}+3}{2}-13
Réciproquement, le x trouvé est bien solution[/spoiler]
[/quote]
Quelques remarques :[spoiler]- Tant qu’à faire résout dans \mathbb{C} ça t’évitera d’oublier des solutions réelles
- Tu peux simplifier \sqrt{\frac{10+\sqrt{128}}{2}}=\sqrt{5+4\sqrt{2}}
- Tu éjectes trop vite des solutions ! Il y en a 4 réelles ou complexe pour ton equation bicarrée s=\epsilon\sqrt{5+4\sqrt{2}} où \epsilon \in \{1,-1,i,-i\}[/spoiler]
Dope a écrit:
Quelques remarques :[spoiler]- Tant qu’à faire résout dans \mathbb{C} ça t’évitera d’oublier des solutions réelles
- Tu peux simplifier \sqrt{\frac{10+\sqrt{128}}{2}}=\sqrt{5+4\sqrt{2}}
- Tu éjectes trop vite des solutions ! Il y en a 4 réelles ou complexe pour ton equation bicarrée s=\epsilon\sqrt{5+4\sqrt{2}} où \epsilon \in \{1,-1,i,-i\}[/spoiler]
Corrections et ajouts:
[spoiler]On pose t= 2(x+13)-3 \Rightarrow x=\frac{t+3}{2}-13
$(x+10)(x+11)(x+12)(x+13)=1 \Leftrightarrow$$(\frac{t-3}{2})(\frac{t-1}{2})(\frac{t+1}{2})(\frac{t+3}{2})=1$
\Leftrightarrow (t-3)(t-1)(t+1)(t+3)=16 \Leftrightarrow t^4-10t^2-7=0
On pose alors s=t^2 donc t^4-10t^2-7=0 \Leftrightarrow s^2-10s-7=0
\Delta= 128
donc s_1=\frac{10+\sqrt{128}}{2}=\sqrt{5+4\sqrt{2}}
\Rightarrow t_1=\sqrt{\frac{10+\sqrt{128}}{2}}=\sqrt{\sqrt{5+4\sqrt{2}}} ou t_{1'} =-\sqrt{\sqrt{5+4\sqrt{2}}}
ou s_2=\frac{10-\sqrt{128}}{2}i^2=i^2\sqrt{\sqrt{5-4\sqrt{2}}}
\Rightarrow t_2=i\sqrt{\sqrt{5-4\sqrt{2}}} ou t_{2'}=-i{\sqrt{5+4\sqrt{2}}}
Donc \displaystyle x_i=\frac{t_i+3}{2}-13 avec i\in\{1, 1', 2, 2'\}
Réciproquement, les x_i trouvés est bien solutions[/spoiler]
Résoudre x^y = y^x avec x et y des entiers naturels.
Jiawang a écrit:
C est certes un exercice d arithmetique, mais l etude d une fonction bien choisie torche l exo plus rapidement qu une solution purement arithmetique
du genre x \mapsto \frac{ln(x)}{x}
tiens, dans le même style:
comparer 3^{\pi} et \pi^3
bullquies a écrit:
[quote=« Jiawang »]
C est certes un exercice d arithmetique, mais l etude d une fonction bien choisie torche l exo plus rapidement qu une solution purement arithmetique
du genre x \mapsto \frac{ln(x)}{x}
tiens, dans le même style:
comparer 3^{\pi} et \pi^3
[/quote]
Soit f(x) = \frac{ln(x)}{x}. Étudions ses variations !
f'(x) = \frac{1-ln(t)}{t^2}. f’(x) est positive quand x > e et est négative quand 0 < x < e donc f est croissante quand x > e et est décroissante quand 0 < x < e.
0 < 3 < \pi, 3 et \pi sont supérieurs à e. on a donc, à cause de la décroissance de f, f(\pi) < f(3) d’où \frac{ln(\pi)}{\pi} < \frac{ln(3)}{3} d’où 3\ln{\pi} < \pi\ln{3}.
En appliquant la fonction exponentielle, on obtient ( du fait de sa croissance ) : e^{3ln(\pi)} < e^{\pi ln(3)} d’où \pi^3 < 3^{\pi}
bullquies a écrit:
comparer 3^{\pi} et \pi^3
[spoiler]On pose f(x)=\frac{3^x}{x^3}=e^{xln3-3lnx} défine sur \mathbb{R^*+}
f est dérivable \forall x\in\mathbb{R^*+}, f'(x)=(\frac{xln3-3}{x})e^{xln3-3lnx}
f' est du signe de xln3-3 qui est positif \forall x\in [\frac{3}{ln3}, +\infty[ donc f est croissante sur cet intervalle.
Or \pi>3>\frac{3}{ln3}\Rightarrow f(\pi)>f(3) \Rightarrow \frac{3^{\pi}}{{\pi}^3}>1 par croissance de f donc 3^{\pi}>{\pi}^3[/spoiler]