Bien bien quand même 
Pour la preuve c’est pour ça que moi j’étais passé par un polynôme P(cot^2x) mais c’est assez calculatoire. On montre en fait que :
P(\cot^2\,x) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}(-1)\left(\begin{array}{c}
2n+1\\
2k+1\end{array}\right)\cot^{2n-2k}\,x
Et puisque tes n racines sont \displaystyle \cot^2\,\frac{k\pi}{2n+1} (pour k de 1 à n of course) tu en déduis le résultat.
Oui, je l’avais vue en un peu plus détaillée sur ce poly qui pourra intéresser les gens qui passent ici (il a déjà été posté ici mais le topic a coulé depuis un moment) : palissy47.info/IMG/pdf/compil_cg.pdf
Jiawang a écrit:
Nico, je trouve ca quand meme plutot laborieux 
surement que je suis passe a cote d une solution plus rapide…
On transforme la somme a l aide de 1/sin^2=-cotan’ et que la somme des derivees et egale a la derivee de la somme.
On etudie le polynome (x-1)^(2n+1)-(x+1)^(2n+1)exp(i(4n+2)y), y reel . On obtient alors notre somme des cotan(k*PI/(2n+1)+y) suffit alors de remplacer y par 0 !
Quelque chose m’échappe. Ton polynôme admet 2n+1 racines (les icotan(y+kPi/(2n+1)) avec k dans {0,1,…,2n} si y n’est pas dans \pi\mathbb{Z}) donc la somme qui est donnée par le coefficient de x^{2n} comporte 2n+1 termes, et non pas n comme ce qui est demandé. Comment as-tu fait pour te ramener à la somme demandée?
Nico : je n’ai pas compris ta méthode.
J’explique demain.
PS : je viens de remarquer qu’il manque un « puissance k » sur mon (-1).
Compol, j avais pense a separer la somme de 1 a n puis de n+1 a 2n+1 puis pour la deuxieme somme de faire un changement d indice: k’=2n+1-k et j avais vu par megarde que l exo etait fini ! Mais non pas du tout en fait ca mene a rien puisque j annule la somme en fait…
Avec KGD , les MPSI de SL ( et les autres aussi 
) n’ont qu’à BIEN se tenir
Snake doctor 
Moi aussi je vais à Saint-Louis, on va ptet se croiser demain. 
Je sais pas combien ya de MPSI à SL mais à mon avis KGD va pas rester anonyme longtemps.Je parie qu’en décembre vous en aurez entendu parlé
C’est clair que pour l’anonymat, mieux vaut aller à LLG (tu n’as pas été pris je suppose ?). Ceci dit, si tu n’as pas été pris à LLG avec une qualité de raisonnement comme celle que tu as, c’est que t’es un branleur, et si tu continues de l’être en prépa, tu vas te ramasser
@compol : en effet, bien vu
Pour ma méthode (très bièvement et presque sans Latex) :
Tu pars de la relation 1/sin²=1+cot².
Tu cherches donc un polynôme en cot², avec une somme dont les n termes sont racines.
Tu as alors : P(cot^2t)=\frac{sin(2n+1)*t}{sin^{2n+1}*t}
(le nominateur c’est clair, le dénominateur ça vient du fait qu’il faut chercher Q tel que P=nominateur*Q, mais c’est aussi trivial après 2 lignes de calcul)
Ensuite les calculs sont un peu plus long et on arrive à l’expression que j’avais mise un peu avant.
Tu utilises enfin les relations de Viète pour connaître ce que vaut la somme des racines.
la sélection sur la base des notes de lycée n’est pas infaillible non plus,suffit qu’il soit une quiche en français,philo ou anglais par exemple.
un dernier avant la rentrée?
quel est le nombre de racines réelles du polynôme Pn = n.X^n - X^(n-1) - … - X - 1 ?
Il a été posté il y a très peu de temps dans le topic MP*. (pas de solution donnée par contre)
moi j’en ai une niveau TS 
Oui moi aussi (je n’ai pas bien compris ce qu’il venait faire dans le topic MP* d’ailleurs).
On peut aussi remarquer quelque chose sur les racines pour cet exo, « géométriquement ».
3 si n pair, 1 si n impair ?
brank a écrit:
la sélection sur la base des notes de lycée n’est pas infaillible non plus,suffit qu’il soit une quiche en français,philo ou anglais par exemple.
un dernier avant la rentrée?
quel est le nombre de racines réelles du polynôme Pn = n.X^n - X^(n-1) - … - X - 1 ?
[spoiler]Soit n dans \mathbb{N^*^}
Donc P_n(X) = nX^n-X^{n-1}- ... -X-1 = nX^n-\sum_{k=0}^{n-1} X^k = nX^n-\frac{X^n-1}{X-1} = \frac{nX^{n+1}-(n+1)X^n-1}{X-1}
Donc les racines de P_n sont celles de nX^{n+1}-(n+1)X^n-1
Pour chercher les racines réelles, on peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction x \mapsto nx^{n+1}-(n+1)X^n-1
Lors de l’étude, Il faut alors considérer 2 cas (selon que n soit pair ou impair) pour faire le tableau des variations.
On obtient que si n est pair, il y a une unique racine réelle, sinon, il y en a exactement 2.[/spoiler]
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) n’ont qu’à BIEN se tenir
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