KGD a écrit:
Soit x \in \mathbb{R}. Montrer la convergence de la suite u de terme général \displaystyle u_n = \left(1+\frac{x}{n}\right)^n et donner sa limite.
Indice:
On s’intéressera après avoir justifié qu’elle est bien définie à partir d’un certain rang à la suite (\ln(u_n))
J’essaye :
[spoiler]ln(un) = ln((1+x/n)^n) = nln(1+x/n). FI. On pose u = 1/n, on alors limite n->+oo ln(un) = limite u->0 1/u(1+ ux). Au voisinage de 0, le DL de ln à l’ordre 1 donne ln(1+x) ~ x. limite u->0 1/u(1+ux)=ux/u=x.
Après je suppose qu’il faut composer la fonction exponentielle par ln(un) car e^(ln(un))=un. La limite lorsque n->+oo de ln(un)=x et lim u->x e^u = e^x donc lim n->+oo (un) = e^x.
Faut que je justifie que ln(un) est bien définie et que la suite converge par contre.[/spoiler]
j’ai plutôt envie de dire que c’est le fait que 1+1=0 qui « fait » que la somme de deux nombres impairs est paire…
Tu peux aussi dire que les deux assertions signifient exactement la même chose, et qu’à partir de là…
et si j’avais pris l’anneau \mathbb{Z} / 3\mathbb{Z}, on aurait 1+1 = 2 ?! et 1+2 = 0 ?. Vu que j’essaye de comprendre un peu c’est quoi les anneaux du type \mathbb{Z} / n\mathbb{Z}.
Satanikwolf a écrit:
[quote=« KGD »]
Soit x \in \mathbb{R}. Montrer la convergence de la suite u de terme général \displaystyle u_n = \left(1+\frac{x}{n}\right)^n et donner sa limite.
Indice:
On s’intéressera après avoir justifié qu’elle est bien définie à partir d’un certain rang à la suite (\ln(u_n))
J’essaye :
[spoiler]ln(un) = ln((1+x/n)^n) = nln(1+x/n). FI. On pose u = 1/n, on alors limite n->+oo ln(un) = limite u->0 1/u(1+ ux). Au voisinage de 0, le DL de ln à l’ordre 1 donne ln(1+x) ~ x. limite u->0 1/u(1+ux)=ux/u=x.
Après je suppose qu’il faut composer la fonction exponentielle par ln(un) car e^(ln(un))=un. La limite lorsque n->+oo de ln(un)=x et lim u->x e^u = e^x donc lim n->+oo (un) = e^x.
Faut que je justifie que ln(un) est bien définie et que la suite converge par contre.[/spoiler]
[/quote]
C’est bien ca oui (par contre tu n’as pas besoin de justifier la convergence de (un) si tu as montré celle de (ln(un)) ). Sinon, pourquoi vouloir absolument utiliser les DL ? Cet exo est totalement faisable sans HP en TS (et c’est pas spécialement plus long à justifier 
).
Je m’y connais pas trop pour le moment mais je crois que c’est bien çà. En fait dans un anneau \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} le résultat d’une addition n’est pas a+b, mais a+b \mod n (de même pour la multiplication) si je ne me trompe pas.
ah je commence à comprendre, merci KGD 
kledou, t’as eu ton cours dessus ou tu prends même de l’avance sur le programme en sup ^^?
Je prends de l’avance 
On a fini la géométrie plane, on va attaquer les coniques !
Ok ^^, si tu veux tu peux dresser la « table de multiplication » dans \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} et \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, voir qu’il y a un truc bizarre, tester avec d’autres valeurs si tu veux et démontrer le truc bizarre.
Je viens de commencer le cours sur les DL et je ne comprends pas un truc avec la notation petit o :
Pour la fonction exponentielle on me dit que le DL au voisinage de 0 est e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+ ... + \frac{x^n}{n!} + o(x^n), et pour la fonction sinus hyperbolique on me dit : \sinh x = x + \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!} + ... + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2}).
Pourquoi n’a-t-on pas o(x^{2n+1}) ?
Sinh etant une fonction impaire, il n y a aucun terme d ordre impair dans son dl
tu pourrais mettre un o(x2n+1), mais c’est aussi vrai avec un o(x2n+2), donc plus précis!
et pour t’en rendre compte, il suffit d’utiliser la definition de sinh avec les exponentielles, et d’en déduire le DL de sinh à l’ordre 2n+2!
Satanikwolf a écrit:
Calculer \sum_{k=0}^n sin(kx) où x est un réel.
\sum_{k=0}^n sin(kx) = \Im (\sum_{k=0}^n e^{ikx}) = \Im (\frac{e^{ix(n+1)}-1}{e^{ix}-1}) Je pensais multiplier par e^{ix} + 1 pour simplifier mais le dénominateur reste complexe donc je ne peux pas isoler la partie imaginaire 
Pas facile ton exercice Dohvakiin 
laurandi13 a écrit:
[quote=« Dohvakiin »]
Ok ^^, si tu veux tu peux dresser la « table de multiplication » dans \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} et \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, voir qu’il y a un truc bizarre, tester avec d’autres valeurs si tu veux et démontrer le truc bizarre.
Oh, tu as réussi à démontrer « le truc bizarre » ? Je voudrais bien un indice, parce que j’ai pas vraiment l’impression qu’on va revenir dessus, et j’aime pas avoir un bout de cours avec « petit exo : démontrer… » et puis plus rien… 
[/quote]
Est-ce que ce serait
\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} est intègre ssi p est premier ?
kepl a écrit:
[quote=« Satanikwolf »]
Calculer \sum_{k=0}^n sin(kx) où x est un réel.
\sum_{k=0}^n sin(kx) = \Im (\sum_{k=0}^n e^{ikx}) = \Im (\frac{e^{ix(n+1)}-1}{e^{ix}-1}) Je pensais multiplier par e^{ix} + 1 pour simplifier mais le dénominateur reste complexe donc je ne peux pas isoler la partie imaginaire
[/quote]
Essaie plutôt avec e^{-ix} -1
Peut-être encadrer puis conclure avec le théorème des gendarmes ? Mais je n’y arrive pas.