Satanikwolf et kepl, vous montrez un état d’esprit qui me fait penser que vous feriez bien mieux de vous contenter du programme de TS et réfléchir à des problèmes de type CG qui vous formeront l’esprit mathématiques plutôt que de prendre de l’avance sur le programme de prépa… Autant pendant les vacances d’été on sentait que KDG, Dohvakiin et d’autres pouvaient largement se le permettre, autant pour vous je pense qu’il vous sera beaucoup plus profitable de s’exercer sur des maths difficiles mais sans s’avancer sur le programme de prépa.
J’en propose un sinon. Je ne me rappelle plus si la notion de bijection est vraiment vue en TS.
Soit f une bijection croissante de [0,1] sur [0,1] avec f C^1 (dérivable et dérivée continue).
Montrer que \int_0^1 f(t)dt+\int_0^1 f^-1(t)dt=1
Voilà, d’ailleurs si quelqu’un a une preuve géométrique rigoureuse ça m’intéresse.
Je rappelle à toute fin utile que vous trouverez quelques DM orienté TS sur mon site qui devrait vous donner du fil à retordre.
moebius: N’importe quoi, tu demandes aux élèves de Terminale de ne pas faire de hors programme, puis tu leur donnes un exercice dont l’énoncé même requiert des notions HP pour être compris. 
Ah bon ? Quoi donc ??? Juste la bijection j’ai un doute mais je me rappelle qu’on voit une sorte de théorème de la bijection.
moebius a écrit:
Satanikwolf et kepl, vous montrez un état d’esprit qui me fait penser que vous feriez bien mieux de vous contenter du programme de TS et réfléchir à des problèmes de type CG qui vous formeront l’esprit mathématiques plutôt que de prendre de l’avance sur le programme de prépa… Autant pendant les vacances d’été on sentait que KDG, Dohvakiin et d’autres pouvaient largement se le permettre, autant pour vous je pense qu’il vous sera beaucoup plus profitable de s’exercer sur des maths difficiles mais sans s’avancer sur le programme de prépa.
Je ne cherche pas du tout à m’avancer sur le programme de prépa, je n’ai pas fini complètement celui de TS. C’est juste que j’ai utilisé un DL parce que je n’arrivais pas à aboutir autrement et que certains en avaient parlé avant, je n’ai même pas vu le cours dessus et ne connais cette notion que vaguement, peut-être que ce n’est pas très rigoureux de ma part mais merci de ne pas faire d’amalgame… Et non, la bijection n’est pas au programme de TS (enfin il ne me semble pas).
kepl : essaye de « forcer » la factorisation en faisant apparaître l’arc moitié (x/2).
KGD je vais regarder ça, merci.
Edit pour moebius : Théorème de la bijection = TVI.
KGD a écrit:
[quote=« laurandi13 »]
[quote=« Dohvakiin »]
Ok ^^, si tu veux tu peux dresser la « table de multiplication » dans \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} et \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, voir qu’il y a un truc bizarre, tester avec d’autres valeurs si tu veux et démontrer le truc bizarre.
Oh, tu as réussi à démontrer « le truc bizarre » ? Je voudrais bien un indice, parce que j’ai pas vraiment l’impression qu’on va revenir dessus, et j’aime pas avoir un bout de cours avec « petit exo : démontrer… » et puis plus rien… 
[/quote]
Est-ce que ce serait
\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} est intègre ssi p est premier ?
kepl a écrit:
[quote=« Satanikwolf »]
Calculer \sum_{k=0}^n sin(kx) où x est un réel.
\sum_{k=0}^n sin(kx) = \Im (\sum_{k=0}^n e^{ikx}) = \Im (\frac{e^{ix(n+1)}-1}{e^{ix}-1}) Je pensais multiplier par e^{ix} + 1 pour simplifier mais le dénominateur reste complexe donc je ne peux pas isoler la partie imaginaire 
[/quote]
Essaie plutôt avec e^{-ix} -1
[/quote]
Je trouve \sum_{k=0}^n sin(kx) = \frac{\sin (nx) - \sin (x(n+1)) + \sin (x) }{2(1-\cos x)} (si je me suis pas planté en développant)
moebius a écrit:
Soit f une bijection croissante de [0,1] sur [0,1] avec f C^1 (dérivable et dérivée continue).
Montrer que \int_0^1 f(t)dt+\int_0^1 f^-1(t)dt=1
Voilà, d’ailleurs si quelqu’un a une preuve géométrique rigoureuse ça m’intéresse.
J’ai une preuve géométrique qui me semble satisfaisante (mais pas de preuve analytique donc si on pouvait échanger )
Soient A = \{(x,y) \in [0,1]^2, y \le f(x)\} et B = \{(x,y) \in [0,1]^2, x \le f^{-1}(y). Montrons que A \cup B = [0,1]^2.
Soit M(x,y) \in [0,1]^2\setminus A. On a y > f(x) donc x < f^{-1}(y) (puisque f^{-1} a les mêmes variations que f) donc M \in B.
On a donc A \cup B = [0,1]^2, or l’intersection de A et B est la courbe de f (en effet, si (x,y) \in A \cap B, alors y \le f(x) et x \le f^{-1}(y) donc f(x) \le y et donc y = f(x)) qui a une aire nulle. L’aire du carré [0,1]^2 est donc la somme des aires de A et de B. L’aire de A est l’aire sous la courbe de f et B est le symétrique par rapport à la première bissectrice de la surface sous la courbe de f^{-1}. L’aire de B est donc égale à l’aire sous la courbe de f^{-1}.
Les fonctions f et f^{-1} étant positives, on a ainsi \displaystyle \int_0^1 f(t)\mathrm{d}t + \int_0^1 f^{-1}(t)\mathrm{d}t = 1
C’est une belle interprétation de cette égalité mais ce n’est pas une démonstration 
Indication :
Etudier la fonction x\mapsto \int_0^x f+\int_0^{f(x)} f^{-1}
Ok, désolé Satanikwolf ^^
KGD et JeanN :
J’aime bien ce que tu as fait KGD. J’avais essayé de le prouver géométriquement mais d’une façon assez différente. JeanN, en quoi ce n’est pas une démonstration ?
Oui voilà pour l’indication. Qui revient au même :
Edit : j’avais lu trop vite l’indication de JeanN, elle est quand même différente de la mienne.
JeanN a écrit:
[quote=« laurandi13 »]
[quote=« Dohvakiin »]
Ok ^^, si tu veux tu peux dresser la « table de multiplication » dans \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} et \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, voir qu’il y a un truc bizarre, tester avec d’autres valeurs si tu veux et démontrer le truc bizarre.
Oh, tu as réussi à démontrer « le truc bizarre » ? Je voudrais bien un indice, parce que j’ai pas vraiment l’impression qu’on va revenir dessus, et j’aime pas avoir un bout de cours avec « petit exo : démontrer… » et puis plus rien…
[/quote]
Je pense que vous allez y revenir
Petite indication :
[/quote]
Ok merci, je profiterai des vacances pour revenir sur ça plus tranquillement… 
kepl a écrit:
Je trouve \sum_{k=0}^n sin(kx) = \frac{\sin (nx) - \sin (x(n+1)) + \sin (x) }{2(1-\cos x)} (si je me suis pas planté en développant)
J’ai fait quelques essais ça a l’air de fonctionner.
Sinon tu peux essayer en factorisant avec l’arc moitié comme je te l’ai suggéré, on trouve \sum_{k=0}^n sin(kx) = \frac{\sin (\frac{nx}{2})\sin((n+1)\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}
Pas de soucis moebius !
Un autre :
Calculer \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2}
compol a écrit:
[quote=« moebius »]
J’aime bien ce que tu as fait KGD. J’avais essayé de le prouver géométriquement mais d’une façon assez différente. JeanN, en quoi ce n’est pas une démonstration ?
et montrer que le graphe d’une fonction C^1 est d’aire nulle , ce qui est vrai mais subtile.
[/quote]
Ah carrément ^^ Tu pourrais en donner une preuve où ça me dépassera complètement ? Et si elle n’est pas C1 ça ne marche plus ? 
Sinon j’en ai un autre plus dans l’esprit TS (spé maths) il me semble :
En admettant que pour n \geq 1, \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \leq 1+ln(n) (remarquez, vous pouvez aussi le prouvez, c’est facile mais encore une fois je ne sais plus le programme de TS (on peut utiliser la conservation des inégalités larges par l’intégrale, relation de Chasles sur les intégrales et ça je ne pense pas que ce soit au programme de TS)) :
Soit n un entier naturel non nul, montrer que la somme des diviseurs positifs de n est majorée par n(1+ln(n)).
Satanikwolf a écrit:
[quote=« kepl »]
Je trouve \sum_{k=0}^n sin(kx) = \frac{\sin (nx) - \sin (x(n+1)) + \sin (x) }{2(1-\cos x)} (si je me suis pas planté en développant)
J’ai fait quelques essais ça a l’air de fonctionner.
Sinon tu peux essayer en factorisant avec l’arc moitié comme je te l’ai suggéré, on trouve \sum_{k=0}^n sin(kx) = \frac{\sin (\frac{nx}{2})\sin((n+1)\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}
Pas de soucis moebius !
Un autre :
Calculer \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2}
[/quote]
0\leq1 - cos(x)\leq2 d’où 0\leq f(x) \leq\frac{2}{x^2}.
Or \displaystyle \lim_{x\to0} 0 = \lim_{x\to0} \frac{2}{x^2} = 0.
D’après le théorème des gendarmes, \displaystyle\lim_{x\to0} f(x) = 0
kledou a écrit:
[quote=« Satanikwolf »]
[quote=« kepl »]
Je trouve \sum_{k=0}^n sin(kx) = \frac{\sin (nx) - \sin (x(n+1)) + \sin (x) }{2(1-\cos x)} (si je me suis pas planté en développant)
J’ai fait quelques essais ça a l’air de fonctionner.
Sinon tu peux essayer en factorisant avec l’arc moitié comme je te l’ai suggéré, on trouve \sum_{k=0}^n sin(kx) = \frac{\sin (\frac{nx}{2})\sin((n+1)\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}
Pas de soucis moebius !
Un autre :
Calculer \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2}
[/quote]
0\leq1 - cos(x)\leq2 d’où 0\leq f(x) \leq\frac{2}{x^2}.
Or \displaystyle \lim_{x\to0} 0 = \lim_{x\to0} \frac{2}{x^2} = 0.
D’après le théorème des gendarmes, \displaystyle\lim_{x\to0} f(x) = 0
[/quote]
Tu es sûr de la dernière ligne ?
Sinon démo avec les DL vu que tout le monde aime ça apparemment:
On a \displaystyle \cos x - 1 \underset{x \to 0}{\sim} -\frac{x^2}{2} donc \displaystyle\frac{1-\cos(x)}{x^2} \underset{x\to 0}{\sim} \frac{1}{2}
Sans HP de TS on a dit 
Indice :
Première question du CG 2009. 
je voulais tellement le faire par le théorème des gendarmes 