Satanikwolf a écrit:
Sans HP de TS on a dit
\displaystyle \frac{1-\cos x}{x^2} = 2\frac{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\left(\frac{x}{2}\right)}\right)^2 et on sait que \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
Ce qu’il faut que j’apprenne bien c’est un formulaire de trigonométrie 
. Je comprends ce que moebius disait par raisonnement mathématique : ici, avec la règle de l’Hopital il n’y avait plus trop de raisonnement.
C’est bien ça KGD.
Alors les TS personne pour ma question ?
laurandi13 a écrit:
[quote=« Dohvakiin »]
Ok ^^, si tu veux tu peux dresser la « table de multiplication » dans \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} et \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, voir qu’il y a un truc bizarre, tester avec d’autres valeurs si tu veux et démontrer le truc bizarre.
Oh, tu as réussi à démontrer « le truc bizarre » ? Je voudrais bien un indice, parce que j’ai pas vraiment l’impression qu’on va revenir dessus, et j’aime pas avoir un bout de cours avec « petit exo : démontrer… » et puis plus rien…
[/quote]
Oui, pour l’indice celui de JeanN devrait suffire:
[spoiler]Mq tout élément de \displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \setminus \{\dot{0}\} est inversible ssi n est premier
Supposons que tout élément de \displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \setminus \{\dot{0}\} soit inversible
Soit \displaystyle \dot{x} \in (\mathbb{Z},n\mathbb{Z}), il existe donc \displaystyle \dot{y} \in \mathbb{Z},n\mathbb{Z} tq \diplaystyle \dot{x}*\dot{y}=\dot{1}
donc \dot{xy}=\dot{1}
donc xy \equiv 1 [n]
donc il existe k \in \mathbb{Z} tq xy-kn=1
Donc d’après Bézout n est premier avec x, et ce pour tout x.
Donc n est premier.
Réciproquement, supposons que n soit premier
Soit \displaystyle \dot{x} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \setminus \{\dot{0}\}
D’après Bézout, il existe \displaystyle (u,v) \in \mathbb{Z}^2 tq ux+vn=1
donc ux \equiv 1 [n]
donc \dot{ux}=\dot{1}
donc \dot{u}*\dot{x}=\dot{1}
Donc \dot{u} est bien l’inverse de \dot{x}
D’où le résultat.[/spoiler]
Jiawang a écrit:
Alors les TS personne pour ma question ?
Quelle question ?
kepl a écrit:
Pas facile ton exercice Dohvakiin
Je sais pas si j (celui dans les indices) te dit quelque chose
Tu peux calculer 1+j+j^2 et j^3 pour commencer
Ensuite essaie avec 2k en introduisant \displaystyle \sum_{k=0}^{E(n/2)}{(-1)^k{n \choose 2k}
Puis remarque que 1 et -1 sont les racines secondes l’unité et généralise pour à 3k
Tu devrais trouver du cosinus dans ta formule finale.
JeanN a écrit:
Quelle question ?
Celle-la je crois:
Jiawang a écrit:
Une question que j’ai eue à mon dernier ds:
On prend deux points placés sur un cercle. Comment doit on placer un troisième point pour que la moyenne géométrique des distances soit maximal ?
Jiawang a écrit:
Une question que j’ai eue à mon dernier ds:
On prend deux points placés sur un cercle. Comment doit on placer un troisième point pour que la moyenne géométrique des distances soit maximal ?
Ce n’est pas vraiment rigoureux :
Soient A et B les deux points placés sur le cercle, et C le troisième point, on appelle respectivement les distances AB, BC et AC a, b et c. La moyenne géométrique des distances est définie par g=\sqrt[3]{abc}. g est maximale lorsque a, b et c sont maximales car la fonction racine est strictement croissante sur ]0;+\infty[ et a pour limite +\infty. La distance a est supposée maximale puisqu’elle est fixe. Il faut trouver b et c tels que le produit b*c soit maximal.
Il faudrait exprimer b en fonction de c et étudier la fonction correspondante, dont le maximum est atteint pour b = c (intuitivement).
La moyenne géométrique des distances est donc maximale en plaçant le troisième point de telle sorte que le triangle ABC soit isocèle en C.
Attention les points A et B ne sont pas forcément diamétralement opposés.
Jiawang a écrit:
Attention les points A et B ne sont pas forcément diamétralement opposés.
Oui je viens de m’en rendre compte en fait. 
J’ai corrigé les détails qui rendaient le raisonnement faux. Mais je crois que la réponse est toujours la même.
2 positions possibles, le point est diamétralement opposé à l’un des deux points déjà placées ?
En fait non…
Quelques précisions tout de même, la moyenne géométrique est (abc)^(1/3) ; et la partie que tu dis intuitive est justement le gros de cette question. Essaye de montrer formellement que b*c est maximal lorsque b=c.
Jiawang a écrit:
Quelques précisions tout de même, la moyenne géométrique est (abc)^(1/3) ; et la partie que tu dis intuitive est justement le gros de cette question. Essaye de montrer formellement que b*c est maximal lorsque b=c.
C’est corrigé pour la racine cubique, en effet. Je n’arrive pas à le démontrer dans un cercle, mais dans un segment [AB] où C est un point appartenant à [AB], oui, le produit est maximal lorsque C est au milieu de [AB]. Je crois que c’est le même genre de raisonnement.
Si A et B sont les points déjà placés, et si C est le nouveau, on ne peut pas simplement chercher à maximiser AC*BC sans se préoccuper de AB ?
Sinon j’étais parti là-dessus :
Soit O l’origine du repère. Soit trois points A, B, C situés sur le cercle \Gamma de centre O et de rayon 1. L’angle entre la demi-droite issue de O et passant par chacun de ces points, et la demi-droite [Ox) est respectivement noté \alpha , \beta , \theta. On a \widehat{AOC} = \theta - \alpha et \widehat{AOC} = \theta - \beta. Donc AC^2 = 2(1- \cos({\theta - \alpha})) et BC^2 = 2(1- \cos{(\theta - \beta})) (formule d’Al-Kashi). Est-ce correct ?
Maintenant il me reste à chercher pour quelles valeurs AC^2 \cdot BC^2 est maximal (ce qui je crois, revient au même que calculer les valeurs pour lesquelles (AC \cdot BC)^{\frac{1}{2}} est maximal).
Edit : @Dohvakiin : Franchement je ne vois toujours pas 
, j’ai pas calculé beaucoup de sommes de ce type (avec ou sans coefficients binomiaux) donc je vais essayer de faire des exercices plus simples là-dessus et je reviendrai à celui-ci quand je me débrouillerai mieux.
à keplJ’avais en effet utiliser les formules d’al kashi. En fait une étude simple de fonction( on cherche les points ou la derivee s annule) permet de montrer que le max est pour un angle tel (AOC) =(BOC)
Je réessaye mais pas sûr :
On appelle d la distance b+c, on a alors d=b+c. On s’intéresse au produit ACBC=bc=(d-c)c. On veut que ce produit soit maximal. Soit f:x->x(d-x). On dérive par rapport à x. f ‹ (x)=d-2x. f ›(x) est une fonction affine de coefficient strictement négatif, elle est donc positive puis négative, elle s’annule (ce qui correspond au maximum de la fonction) en x=d/2 càd lorsque c est au milieu de la distance d=b+c.
kepl a écrit:
Edit : @anon98987601 : Franchement je ne vois toujours pas
Pas de problème, il y avait un pdf d’Asymetric avec des sommes quelque part sur le topic si tu veux t’amuser avec ça.
@Jiawang, l’exo est faisable en utilisant les complexes non? On se ramène au cercle trigonométrique par translation et en oubliant le rayon qui ne change rien, on écrit les affixes des points sous forme exponentielle, le produit des deux distances donne un produit de sinus qu’on dérive pour trouver son maximum et on retrouve bien un triangle isocèle.
Dohvakiin a écrit:
[quote=« kepl »]
Edit : @Dohvakiin : Franchement je ne vois toujours pas
Pas de problème, il y avait un pdf d’Asymetric avec des sommes quelque part sur le topic si tu veux t’amuser avec ça.
[/quote]
conficiuskyn.free.fr/calculsSP.pdf
Ok merci du lien 
Dohvakiin a écrit:
@Jiawang, l’exo est faisable en utilisant les complexes non? On se ramène au cercle trigonométrique par translation et en oubliant le rayon qui ne change rien, on écrit les affixes des points sous forme exponentielle, le produit des deux distances donne un produit de sinus qu’on dérive pour trouver son maximum et on retrouve bien un triangle isocèle.
Linéariser le produit de sinus permet d’éviter de dériver…
