V@J a écrit:
[quote=« compol »]
Trouver une fonction f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} périodique qui n’a pas de plus petite période.
Une fonction constante ?
[/quote]
Bien joué.
Une variante alors:
Trouver une fonction non constante f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} périodique qui n’a pas de plus petite période.
KGD a écrit:
[quote=« kköhlc »]
[quote=« KGD »]
Soit f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction continue, périodique et admettant une limite en +\infty. Que dire de f ?
Intuitivement cela me semble assez clair, mais j’ai beaucoup de mal à le prouver rigoureusement.
La fonction f est constante. Prouvons par l’absurde qu’il ne peut en être autrement.
On suppose qu’il existe x_0 tq f(x_0) \ne K. f étant T-périodique, \forall q \in \mathbb{Z}, f(x_0 + qT) = f(x_0) \ne K. D’où \exists \epsilon > 0 tq \forall q, |f(x_0+qT) - K|> \epsilon. Or, une telle fonction f serait divergente, d’où une contradiction.
[/quote]
L’idée est bonne 
La rédaction ne me semble pas très claire par contre (« c’est qui K ? » dirait ma prof 
et a priori rien ne dit que la limite soit finie, bien que ça paraisse assez évident).
Conseil:
Pour commencer ta démo par contraposée, suppose que la fonction prenne au moins deux valeurs et ensuite considère des suites comme tu l’as fait
[/quote]
On suppose que f, fonction $T-$périodique, prend au moins deux valeurs réelles distinctes, notées k et k'. On pose x_0 tq f(x_0) = k, et x_1 tq f(x_1) = k'. On définit par récurrence une suite (x_n)_{n \in \mathbb{N}} telle que x_{n+2} = x_n + T.
Ensuite, on définit une suite (w_n)_{n \in \mathbb{N}} telle que w_n = f(x_n). Considérons maintenant les suites (w_{2n})_{n \in \mathbb{N}} et (w_{2n+1})_{n \in \mathbb{N}}. Ces suites sont extraites de la suite (w_n), mais elles ne convergent pas vers la même limite. Donc la suite (w_n) n’est pas convergente, et ne diverge pas vers l’infini. Donc seules les fonctions f constantes sont continues, périodiques et admettent une limite finie en +\infty.
Trouver une fonction non constante f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} périodique qui n’a pas de plus petite période.
[spoiler]Soit f qui vaut 1 sur les nombres de la forme \sum_i\frac {k_i}{p_i} (où la somme est finie, les k_i \in \mathbb Z, les p_i sont des nombres premiers distincs), et 0 sinon, alors f est \frac 1 p-périodique pour tout p premier.
Sinon y a la fonction indicatrice des rationnels mais ça fait un peu parachuté…[/spoiler]
Perso je trouve la fonction indicatrice des rationnels moins parachutée… Mais bon, c’est une affaire de goût.
Ya du lvl chez les TS du forum! Je peux pas m’empêcher de poser celui là même s’il est infaisable en terminale c’est pour le résultat
Montrer qu’une fonction f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} périodique et continue a une plus petite période.
Certains groupes de \mathbb{R} sont denses
brank a écrit:
Ya du lvl chez les TS du forum! Je peux pas m’empêcher de poser celui là même s’il est infaisable en terminale c’est pour le résultat
Faut le poser dans un autre topic si c’est infaisable en terminale. Après il y a des gens qui vont croire qu’il faut vraiment être capable de résoudre ce genre d’exos pour oser postuler à une place en CPGE, alors que toi comme moi savons très bien que c’est archi-faux.
J’ai du mal à croire qu’à cause de moi les gens se mettent à penser qu’il faut savoir faire ça pour rentrer en MPSI puisque je précise que selon moi ça n’est pas faisable avec les connaissances de term.
Je l’ai posé ici pour qu’ils puissent voir ce résultat qui est extrêmement lié à la question précédente, d’ailleurs V@J je te parie que que ces 2 questions s’enchaînent toujours dans (presque) tous les sujets où l’une tombe.
En plus certains TS du forum ont des connaissances qui dépassent largement le niveau terminale (kkohlc vient de parler de suites extraites sur cette page) et ça n’est pas l’exo le plus HP posé sur ce topic loin de là 
.
kköhlc a écrit:
[quote=« KGD »]
Soit f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction continue, périodique et admettant une limite en +\infty. Que dire de f ?
Intuitivement cela me semble assez clair, mais j’ai beaucoup de mal à le prouver rigoureusement.
La fonction f est constante. Prouvons par l’absurde qu’il ne peut en être autrement.
On suppose qu’il existe x_0 tq f(x_0) \ne K. f étant T-périodique, \forall q \in \mathbb{Z}, f(x_0 + qT) = f(x_0) \ne K. D’où \exists \epsilon > 0 tq \forall q, |f(x_0+qT) - K|> \epsilon. Or, une telle fonction f serait divergente, d’où une contradiction.
[/quote]
peut tu mieux expliquer ce ligne : f(x0+qT)=/=K ==>il existe epsilon >0 pour tout q |f(x0+qT)-K|>epsilon ..
merci
Honnêtement, je ne pense pas qu’un seul TS comprenne la phrase « certains groupes de \mathbb{R} sont denses ». De même que j’ai des doutes quant au fait que kroisan soit en terminale. Typiquement, ça ferait de bons exos de MPSI, mais là on risque juste de perdre 100 % des gens et c’est dommage…
J’ai jamais dit que j’étais en terminale 
Oui mais comme tu réponds aux questions adressées aux pré-MPSI… 
Je trouve que V@J a raison !
Le topic mpsi existe…
Je relance d’un petit exo d’analyse :
Soit u_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} et v_n=u_n+\frac{1}{n\times n!}.
Montrer que ces deux suites ont même limite et que cette limite est irrationnelle.
Et un petit d’arithmétique (exo d’oral X 2027) :
On écrit le rationnel \sum_{k=1}^{1351}\frac{(-1)^{k+1}}{k} sous forme irréductible \frac{a}{b}.
Montrer que 2027 divise a.
.
JeanN a écrit:
Et un petit d’arithmétique (exo d’oral X 2027) :
On écrit le rationnel \sum_{k=1}^{1351}\frac{(-1)^{k+1}}{k} sous forme irréductible \frac{a}{b}.
Montrer que 2027 divise a.
[spoiler]\sum_{1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\sum_{1}^{n}\frac{(-1)^{2k+1}}{2k}+\sum_{0}^{n}\frac{(-1)^{2k+2}}{2k+1}
\sum_{1}^{n}\left (\frac{1}{2k+1}+\frac{-1}{2k} \right)+1
=\frac{2n+3}{2(2n+1)}
pour n=1351 ==>a =2n+3=2705 et 2027 ne divise pas a=2705
donc il y a absolument qlqchose qui cloche dans ma démo 
[/spoiler]
Je vous serais gré de bien vouloir utiliser les balises « spoiler ». Merci.
clocks c’est totalement faux c’est loin d’être télescopique
j’ai pas encore trouvé mais :
2027 = 6763 - 1
1351 = 6762 - 1
peut être que ça peut aider ou que ça a un rapport avec l’énoncé
peut être j’ai fais une erreur lors de la séparation de sigma en k pairs et impairs !
JeanN a écrit:
Je trouve que V@J a raison !
Le topic mpsi existe…
Je relance d’un petit exo d’analyse :
Soit u_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} et v_n=u_n+\frac{1}{n\times n!}.
Montrer que ces deux suites ont même limite et que cette limite est irrationnelle.
u_{n+1} - u_n > 0, donc (u_n) est croissante.
v_{n+1} - v_n < 0, donc (v_n) est décroissante.
Or \lim\limits_{n\to +\infty} v_n - u_n = 0, donc (u_n) et (v_n) sont adjacentes.
D’après le théorème des suites adjacentes, on en déduit que (u_n) et (v_n) convergent vers une même limite, notée l.
En revanche, je bloque pour montrer que la limite est irrationnelle. Pourrais-je s’il vous plait avoir une petite indication ?
Suppose que la limite est rationnelle & encadre-là (Attention, l’encadrement doit être judicieux pour aboutir à la contradiction voulue).