moamoa a écrit:
Suppose que la limite est rationnelle & encadre-là (Attention, l’encadrement doit être judicieux pour aboutir à la contradiction voulue).
Merci.
On suppose que l \in \mathbb{Q}, donc on peut l’écrire sous forme irréductible \frac{p}{q}.
Alors u_q < \frac{p}{q} < v_q, d’où q!u_q < p(q-1)! < q!u_q + \frac{1}{q}. Or q!u_q \in \mathbb{Z} et p(q-1)! \in \mathbb{Z}. D’où une contradiction. On en déduit que l \in \mathbb{R\backslash Q}.
Edit : En revanche, le deuxième me laisse extrêmement perplexe… 
Même si ce n’est pas dur, voire presque évident, l’encadrement strict doit être justifié je pense.
Merci.
Il faudra que je pense à être plus rigoureux un de ces jours… ce n’est pas la première fois que je ne justifie pas mes affirmations.
u_n < v_n et \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = \lim\limits_{n\to +\infty} v_n donc la limite n’est jamais atteinte (si elle l’était, on aurait u_n = v_n à partir d’un certain rang). D’où u_n < l < v_n.
Pour continuer sur l’irrationalité (CAPES de cette année )
Montrer que \frac{ln(2)}{ln(3)} est irrationnel
capes-math.org/data/uploads/EP1_2013.pdf
On a bien fait de te demander de justifier 
Ton argumentation ne tient pas : l’une des deux suites pourrait être constante et pas l’autre…
En fait, c’est une question de stricte monotonie :
pour n fixé : u_n<u_{n+1}\leq L donc u_n<L.
brank a écrit:
Pour continuer sur l’irrationalité (CAPES de cette année )
Montrer que \frac{ln(2)}{ln(3)} est irrationnel
capes-math.org/data/uploads/EP1_2013.pdf
\frac{ln(2)}{ln(3)}=\frac{p}{q} avec p€IN et q€IN*
<=>q.ln2=p.ln3
<=>2^{q}=3^{p}
absurde, car pour tt q de IN* 2^{q} est pair et 3^{p} est impair pour tt p de IN !
ouais,clocks mais je pense quand même que la croissance du logarithme doit être citée pour dire ln(a)=ln(b) => a=b
Non
Mentionner l’injectivité est préférable…
Je pense surtout qu’il est passé à l’exponentielle…
Ce qui revient strictement au même tu en conviendras, l’exponentielle admet le logarithme comme réciproque elle donc bijective ou par restriction injective. Il suffit juste de vérifier les domaines de définition, mais ici c’est bon…
brank a écrit:
ouais,clocks mais je pense quand même que la croissance du logarithme doit être citée pour dire ln(a)=ln(b) => a=b
plus précisément on parle de la croissance au cas d’une relation d’orde comme ici alors la il faut passer , (je veux dire)on passe par l’exponentielle qui est la fonction réciproque de ln (exp(lnx)=Ide) et il faut remarquer qu’on a une équivalence ici ln(a)=ln(b)<=>a=b ou bien il fallait dire que ln est bijective par suite injective ,et je fais remarquer qu’on a une implication directe ici ln(a)=ln(b)=>a=b…Enfin j’ai expliquer pour que les Forumiste comprennent mieux les détailles que j’ai sautés, quand on passe en deuxieme année, on est pas forcément demandé de expliquer des choses evidentes que les éléves de premiére année trouvent assez compliqués.
dsl une autre fois pour les explications non détaillées
JeanN a écrit:
Non
Mentionner l’injectivité est préférable…
wéé ..
merci
Bref… il a le résultat 
Voici une petite indication pour l’exo d’arithmétique :
Ecrire la somme alternée sous la forme d’une somme non alternée c’est à dire une somme d’inverses d’entiers
Autre indication utile : 2027 est un nombre premier.
Ce n’est pas sympa de révéler mes sources 
Enfin je l’ai eu.
\Sigma_{k=1}^{1351} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \Sigma_{k=1}^{1351} \frac{1}{k} - 2 \Sigma_{k=1}^{675} \frac{1}{2k}. On obtient donc \Sigma_{k=676}^{1351} \frac{1}{k}. On remarque que 676+1351 = 2027. Comme on a un nombre pair de termes, on les associe deux à deux, on a donc \frac{2027}{676\times 1351} + \frac{2027}{677\times 1350} + ... Or 2027 est premier, donc lorsque l’on regroupe ces termes sous la forme d’une seule fraction, le numérateur ne se simplifie pas par 2027 donc il reste divisible par 2027.
Au début j’avais commencé par décomposé en deux sommes, mais pas les bonnes (les inverses des entiers impairs moins les inverses des entiers pairs), et je n’aboutissais pas.
Edit: Faute de frappe.
brank a écrit:
Montrer que$\Sigma_{k=1}^{n} \frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$ n’est pas un entier si n>1
L’exo donné tel quel est complètement inutile, et est une perte de temps, car introuvable.
L’astuce qu’il faut utiliser est la suivante :
Séparer le terme ayant la plus grande puissance de 2 au dénominateur, et reformer une fraction du type p/q avec p premier avec q et avec 2|q
