Necklor a écrit:
[quote=« brank »]
Montrer que$\Sigma_{k=1}^{n} \frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$ n’est pas un entier si n>1
L’exo donné tel quel est complètement inutile, et est une perte de temps, car introuvable.
L’astuce qu’il faut utiliser est la suivante :
Séparer le terme ayant la plus grande puissance de 2 au dénominateur, et reformer une fraction du type p/q avec p premier avec q et avec 2|q
[/quote]
On s’en fout de l’utilité d’un résultat en maths.
Cependant, ce que tu dis est faux, l’exercice est bien sûr trouvable, quand l’exercice avait déjà été posé il y a 3 ans (quelque part sur le forum) et que je l’avais cherché, j’avais bien trouvé, et bien sûr je n’avais pas encore les connaissances que j’ai maintenant, et je n’étais pas V@J non plus 
La pertinence de « mes » exos est vivement contestée ici sniff…
Necklor,je ne pense pas que ça soit une perte de temps complètement inutile de chercher à montrer ça, car c’est typiquement le type d’exo que l’on peut avancer en début terminale ( sans forcement trouver mais de là à dire que c’est introuvable… ) en tâtonnant et sans connaitre grand chose (càd sans être allé pomper la démo du théorème de Kurschak , avant même d’avoir réfléchi une minute à la question ).
On peut avoir envie de calculer la somme pour les premières valeurs de n ( ce qui n’est pas une mauvaise habitude) et de voir que ça donne toujours une fraction irréductible avec un terme pair au dénominateur et un impair au numérateur ensuite la façon dont est définie la somme peut donner envie de faire une récurrence (l’axiome de récurrence est vu en début de TS),parce qu’on passe de \Sigma_{k=1}^{n} \frac{1}{k} à \Sigma_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} en ajoutant \frac{1}{n+1}.le passage du rang n à n+1 de la récurrence « :machin est de la forme impair/pair » ( donc pas entier) se fait si n+1 est impair après si n+1 est pair on l’écrit 2n’ on regarde ce qui se passe…
bon, on bloque peut être à ce moment là, mais en ayant déjà fait ça,ce qui largement à la portée des TS du topic vu leurs niveaux, je pense qu’on peut dire que ça n’a pas été une totale perte de temps,qu’est ce que tu en penses ?
Un petit exercice (éventuellement un peu subtil pour TS mais n’utilisant pas plus que la définition de la limite « sauce lycée » et des th usuels)
Soit (x_n) une suite réelle bornée vérifiant \forall n\in \mathbb N^*, x_{n}\leq \frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n+1}).
On pose y_n=x_{n+1}-x_n.
Montrer que (y_n) converge vers 0 puis que (x_n) converge.
Merci à l’un de mes jeunes colleurs
JeanN a écrit:
Un petit exercice (éventuellement un peu subtil pour TS mais n’utilisant pas plus que la définition de la limite « sauce lycée » et des th usuels)
Soit (x_n) une suite réelle bornée vérifiant \forall n\in \mathbb N^*, x_{n}\leq \frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n+1}).
On pose y_n=x_{n+1}-x_n.
Montrer que (y_n) converge vers 0 puis que (x_n) converge.
Merci à l’un de mes jeunes colleurs
Ah merci,je vais voir si mon frère trouve celui là !
1)(y_n) croissante majorée donc convergente vers l, si l>0 alors (x_n) non majorée,si l<0 alors (x_n) non minorée or (x_n) bornée donc l=0
2) télescopage et décroissance de la somme des y_n,
@brank
@Asymetric
Quand j’ai dit que c’était inutile, c’était plutôt dans le sens où, sans indication, on met plus de 5 heures à le trouver, et que c’est pas forcément intéressant pour un exercice de ce genre.
Necklor a écrit:
@brank
@anon80466721
Quand j’ai dit que c’était inutile, c’était plutôt dans le sens où, sans indication, on met plus de 5 heures à le trouver, et que c’est pas forcément intéressant pour un exercice de ce genre.
Je te met ma main à couper qu’il existe des TS qui mettent moins d’une heure à trouver ça.
Ce n’est pas parce que toi, tu penses que tu n’en serais pas capable, qu’il faut généraliser.
Quand bien même ça prendrait au moins 5 heures, il n’y aurait aucun problème à le poser… et pour des gens, trouver au bout de 5h, c’est un EUREKA…
Je ne comprends pas pourquoi tu t’es sentie obligé d’intervenir sur cet exercice alors que l’oral X 2027 de JeanN est beaucoup, mais beaucoup plus astucieux quand on a jamais entendu parler de ce genre de méthode…
Un exo plus MPSI que les précédents :
Prouver que la suite (cos(n))_{n \in N} est divergente.
Indication :
Raisonner par l’absurde et remarquer que si cos(n) \to L alors cos(n+1) \to L
lionel52 a écrit:
Un exo plus MPSI que les précédents :
Prouver que la suite (cos(n))_{n \in N} est divergente.
Indication :
Raisonner par l’absurde et remarquer que si cos(n) \to L alors cos(n+1) \to L
Edit : Voir plus loin.
Au début, je pensais pouvoir montrer que la suite admettait plus d’une valeur d’adhérence, par exemple en exhibant deux sous-suites de (\cos (n))_{n\in \mathbb{N}} convergeant vers deux limites différentes. Mais bien que (\cos (n))_{n\in \mathbb{N}} soit bornée, et admette donc, d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, au moins une sous-suite convergente, je n’ai pas pu en trouver.
Valeur d’adhérence … Bolzano-Weierstrass … Que j’aime à lire ces mots dans une discussion intitulée « Exercices de pré-rentrée MPSI ».
Étant en TS, je ne vais quand même pas aller poster sur les « Exos Sympas MPSI ».
Ce n’est pas parce tu es en TS que tu dois rester ici…
Le topic exos MPSI c’est le topic dans lequel il y a des exos niveau MPSI quelque soit le niveau de l’auteur .
Mais ce message s’adresse plus à lionel52…
En effet : si tu vois un exo ici, tu ne vas pas y répondre dans une autre discussion. Par contre il me semble important que les exercices posés ici soient faisables avec des outils de TS, donc sans invoquer le théorème de Bolzano-Weierstrass ni la notion de valeur d’adhérence.
C’est bien pour ça que la réponse que j’ai proposée ne faisait pas appel à ces notions. Je demandais juste s’il était possible d’obtenir le même résultat par une autre méthode.
Accessoirement, je n’ai pas compris où était la contradiction, dans ce que tu racontes. Et effectivement, la méthode que suggère l’auteur de l’exercice est accessible à un élève de TS.
En effet, je m’étais trompé :
On suppose que \cos (n) tend vers l quand n\rightarrow +\infty. Or \cos (n+1)+\cos (n-1) = 2\cos n \cos 1. Donc 2l = 2l\cos 1, d’où l=0. De plus, \cos (n+1) = \cos n \cos 1 - \sin n \sin 1. Donc \sin n tend vers 0, ce qui est contredit \cos^2 n + \sin^2 n =1.
Ou sinon de facon encore plus elementaire cos(n)^2 =1/2+cos(2n)/2
