jiawang,ce truc marche pour dire que ça ne tend pas vers 0 (résultat qui peut servir).Mais ça ne contredit pas (directement) que l=1 par exemple
Mince mince j ai lu trop vite bon sinon l image par f continue de A dense dans B est dense dans f(B).
aaaah retire vite le mot dense,tu vas te faire taper dessus par V@J
Je le connaissais en terminl ce mot là lol !
Je veux bien d’autres problèmes sur les suites si vous en avez. 
Est-ce possible de trouver une formule explicite la suite définie par \forall n \in \mathbb{N}^*, u_{E(\ln {n})} = n ?
(Question ouverte 
)
Un difficile, mais posé aux terminales de l’an dernier.
Une suite majoritairement décroissante a écrit:
Soit (U_n) une suite de nombres réels positifs telle que U_0 = 1 et telle que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, au moins la moitié des termes U_0, U_1, …, U_{n-1} soient supérieurs ou égaux à 2U_n.
Montrer que (U_n) tend vers 0.
Asymetric a écrit:
Est-ce possible de trouver une formule explicite la suite définie par \forall n \in \mathbb{N}^*, u_{E(\ln {n})} = n ?
(Question ouverte
Je dirais qu’il y a un problème dans la définition de la suite : on a \text{E}(\ln (3)) = 1 d’où u_1 = 3, mais aussi \text{E}(\ln (4)) = 1 d’où u_1 = 4.
Y a qu’à demander 
Soit (u_n) définie par récurrence : u_0,u_1\in \left]0,1\right[ et \forall n, u_{n+2}=\frac{1}{2}(\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n+1}).
Montrer que la suite est convergente, déterminer sa limite et montrer que la suite est monotone à partir d’un certain rang.
kköhlc a écrit:
[quote=« Asymetric »]
Est-ce possible de trouver une formule explicite la suite définie par \forall n \in \mathbb{N}^*, u_{E(\ln {n})} = n ?(Question ouverte
Je dirais qu’il y a un problème dans la définition de la suite : on a \text{E}(\ln (3)) = 1 d’où u_1 = 3, mais aussi \text{E}(\ln (4)) = 1 d’où u_1 = 4.
[/quote]
C’était bien ça que j’attendais
brank a écrit:
Un difficile, mais posé aux terminales de l’an dernier.
[quote=« Une suite majoritairement décroissante »]
Soit (U_n) une suite de nombres réels positifs telle que U_0 = 1 et telle que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, au moins la moitié des termes U_0, U_1, …, U_{n-1} soient supérieurs ou égaux à 2U_n.
Montrer que (U_n) tend vers 0.
[/quote]
On pose S_n = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} U_k. On a S_n \geq U_n et S_n > 0. D’où \frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{nS_n+U_n}{nS_n+S_n} \leq 1.
Supposons que (\frac{S_{n+1}}{S_n}) est stationnaire et égale à 1 à partir d’un certain rang K (dans une telle situation, on aurait \lim\limits_{n\to +\infty} q^n \ne 0). Alors \forall n \geq K, S_n = U_n. Cela est possible si et seulement si \forall n > K, U_{n+1} = U_n, donc si la suite est stationnaire à partir du rang K. Or, si (U_n) stationnaire, alors elle ne peut satisfaire la condition initiale.
On en déduit que \frac{S_{n+1}}{S_n} < 1. On peut donc assimiler la suite (S_n) à une suite géométrique de raison variable q < 1, donc (S_n) tend vers 0. Par encadrement, (U_n) tend vers 0.
Edit : Correction.
donc (S_n) tend vers 0. Par encadrement, (U_n) tend vers 0
Attention, ça c’est pas vrai si tu prends la suite ((-1)^n) comme (U_n) ça te donne une (S_n) qui tend vers 0 mais (U_n) ne tend pas vers 0. (tu peux regarder le théorème de Cesàro pour plus d’infos).
brank a écrit:
donc (S_n) tend vers 0. Par encadrement, (U_n) tend vers 0
Attention, ça c’est pas vrai si tu prends la suite ((-1)^n) comme (U_n) ça te donne une (S_n) qui tend vers 0 mais (U_n) ne tend pas vers 0. (tu peux regarder le théorème de Cesàro pour plus d’infos).
Je me servais de ce que j’avais établi au départ, i.e. que S_n \geq U_n, mais pas de la réciproque du théorème de Cesàro. Est-ce correct ?
Par contre, je crois qu’il faut que je sois plus rigoureux sur le fait que la raison est strictement inférieure à 1, parce que là je n’ai rien prouvé.
ah pardon j’avais mal compris,t’es malin toi!
sinon j’aimerais bien que tu m’expliques ça
0 < \frac{S_{n+1}}{S_n} < 1 => (S_n) tend vers 0
à priori je dirais que ça donne juste que (S_n) décroit non ?
brank a écrit:
ah pardon j’avais mal compris,t’es malin toi!
sinon j’aimerais bien que tu m’expliques ça
0 < \frac{S_{n+1}}{S_n} < 1 => (S_n) tend vers 0
à priori je dirais que ça donne juste que (S_n) décroit non ?
On a S_1 = 1, d’où S_n = q^{n-1}. Or |q|< 1, d’où (S_n) tend vers 0 si je ne me trompe pas.
J’ai corrigé mon premier message pour montrer que la raison est strictement inférieure à 1.
kköhlc a écrit:
On a S_1 = 1, d’où S_n = q^{n-1}. Or |q|< 1, d’où (S_n) tend vers 0 si je ne me trompe pas.
toute suite décroissante positive n’est pas géométrique…
Si je prends S_1=1 et S_{n+1} = \frac{n}{n+1} S_n, j’ai tout ça et pourtant… on peut pas trouver de suite géométrique de raison q<1 qui la majore! (car a partir d’un certain n, 1-1/n devient plus grand que q)
Eh bien dans ce cas je n’ai plus qu’à repartir du départ. 
Je pensais utiliser le fait que (S_n) décroissante et S_n > U_n > 0 pour dire que (U_n) était bornée. D’où 3 situations différentes : (U_n) tend vers l>0, ce qui amène à une contradiction (en prenant \epsilon = l dans la définition de la limite), (U_n) diverge (j’ai du mal à obtenir la contradiction voulue), et enfin (U_n) tend vers 0. Cette piste vous semble-t-elle meilleure ?
Je sais pas trop comment tu vas te débrouiller avec le cas « U diverge ».
Essaie de majorer ta suite avec quelque chose de plus simple qui tend vers 0.
Bonjour,
brank a écrit:
Un difficile, mais posé aux terminales de l’an dernier.
[quote=« Une suite majoritairement décroissante »]
Soit (U_n) une suite de nombres réels positifs telle que U_0 = 1 et telle que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, au moins la moitié des termes U_0, U_1, …, U_{n-1} soient supérieurs ou égaux à 2U_n.
Montrer que (U_n) tend vers 0.
[/quote]
J’ai essayé de procéder d’une autre manière :
(u_n)_{n\in \mathbb{N}} est bornée. Posons \limsup\limits_{n\to +\infty} u_n = L > 0. Alors, \forall \epsilon > 0, il n’y a qu’un nombre fini de k tel que u_k > L + \epsilon. Posons \epsilon = L. Alors il n’existe qu’un nombre fini de k tel que u_k > 2L. À partir d’un certain rang, la propriété de l’énoncé ne sera donc plus satisfaite. D’où une contradiction. Donc L=0, et \lim\limits_{n\to +\infty}u_n = 0.
Ça ne marche pas, car (u_n) pourrait tendre vers L par valeurs inférieures. Mais bon, tu y es presque.