V@J a écrit:
Ça ne marche pas, car (u_n) pourrait tendre vers L par valeurs inférieures. Mais bon, tu y es presque.
Merci de votre réponse.
Je ne comprends pas très ce que vous voulez dire par " (u_n) pourrait tendre vers L par valeurs inférieures" : est-ce que cela signifie que L =\sup\{u_n\} ?
Presque ; ça signifie que u_n \to L et qu’il existe un entier k tel que L = \sup\{u_n \mid n \geq k\}.
JeanN a écrit:
Y a qu’à demander
Soit (u_n) définie par récurrence : u_0,u_1\in \left]0,1\right[ et \forall n, u_{n+2}=\frac{1}{2}(\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n+1}).
Montrer que la suite est convergente, déterminer sa limite et montrer que la suite est monotone à partir d’un certain rang.
Soit une suite (k_n)_{n\in\mathbb{N*}} telle que k_1 = \min\{u_0, u_1\} et k_{n+1} = \sqrt{k_{n}}. Alors \forall n\in\mathbb{N*}, k_n < u_n. On a k_n = k_1^{\frac{1}{2(n-1)}} = e^{\ln k_1 \frac{1}{2(n-1)}}. Or \lim\limits_{n\to+\infty}\ln k_1 \frac{1}{2(n-1)}= 0, d’où \lim\limits_{n\to+\infty}k_n = 1 par composition. Par comparaison, on en déduit que \lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 1.
En revanche, je vois mal comment montrer la monotonie.
Bonjour, je suis nouveau ici, je suis actuellement en TS dans un lycée de province de niveau tout à fait normal, et l’an prochain je veux aller en MPSI, donc je pense m’intéresser à ce topic. 
J’ai toutefois une question pour kköhlc… Comment connais-tu toutes ces notions normalement abordées en MPSI ? T’es dans un lycée boosté type TS1 à LLG ?
Hypotenuse a écrit:
Bonjour, je suis nouveau ici, je suis actuellement en TS dans un lycée de province de niveau tout à fait normal, et l’an prochain je veux aller en MPSI, donc je pense m’intéresser à ce topic.
J’ai toutefois une question pour kköhlc… Comment connais-tu toutes ces notions normalement abordées en MPSI ? T’es dans un lycée boosté type TS1 à LLG ?
Pas forcément, il a peut-être avancé tout seul pour le plaisir, ce n’est pas nécessairement insurmontable quand on est un peu à l’aise au lycée (bon après c’est vrai qu’avec cette maîtrise à ce stade de l’année.. ça s’annonce quand même plutôt bien).
En tout cas, il ne faut pas s’inquiéter, l’avance (à moins d’être vraiment, vraiment loin) ne donne pas forcément un avantage illimité, même si ça peut impressionner, surtout en début de sup où peu d’élèves ont réellement pratiqué les maths..
Oui, les avances du style connaitre les définitions d’injectivité ou 3/4 théorèmes ça ne sert à rien et car c’est rattrappé en même pas une matinée de prépa. Par contre j’avais un acharné dans ma classe en sup (encore dans ma classe cette année) qui connaissait à la rentrée 100% du programme officiel de sup, des bouts de spé, et même des bouts (pas petits) de post-prépa, autant dire que cette avance elle sert et pas qu’un peu. Pour ma part, j’avais appris pendant la term et l’été avant la sup quelques chapitres genre : logique, algebre linéaire (pas matrices ni déterminants), structures algébriques, polynômes, complexes et ça m’a je pense énormément aidé. D’ailleurs, mon niveau l’an dernier en algèbre était bien supérieur à celui en analyse. Je sais que mon discours ne fait pas l’unanimité mais je fais partie de ceux qui pensent qu’en seconde/première/term, d’un point de vue concours et pas forcément d’un point de vue mathématique il vaut mieux s’avancer et entammer le programme de sup voire spé plutôt que de perdre des après midi et des week ends sur des exercices d’olympiades ou de concours général.
Hypotenuse a écrit:
Bonjour, je suis nouveau ici, je suis actuellement en TS dans un lycée de province de niveau tout à fait normal, et l’an prochain je veux aller en MPSI, donc je pense m’intéresser à ce topic.
J’ai toutefois une question pour kköhlc… Comment connais-tu toutes ces notions normalement abordées en MPSI ? T’es dans un lycée boosté type TS1 à LLG ?
Bonsoir,
Je suis moi aussi dans un lycée de province de niveau normal. Comme l’a dit KGD, j’ai découvert ces notions en feuilletant un cours de sup (et rassure-toi, je suis encore loin de bien les maitriser).
À MATHADOR : Il est vrai que les avis sur le sujet divergent beaucoup. Je pensais sérieusement commencer l’algèbre (j’ai lu que cela pouvait être un avantage car on ne l’aborde pas du tout au lycée), mais je me demande si ce n’était pas un peu prématuré (je crains de manquer de recul) : qu’en pensez-vous ?
Tu n’auras pas moins de recul qu’un mpsi qui voit ça pour la première fois. Je pense pour ma part que c’est une bonne idée.
MATHADOR a écrit:
d’un point de vue concours et pas forcément d’un point de vue mathématique il vaut mieux s’avancer et entammer le programme de sup voire spé plutôt que de perdre des après midi et des week ends sur des exercices d’olympiades ou de concours général.
Ou les deux) mais ça ne doit pas être forcé (sinon de toute façon je ne pense pas que ce serait une façon très efficace de progresser)
Je pense que je vais commencer un peu l’algèbre (avec un peu de chance, les chapitres de spé math sur les matrices tomberont au CG ), tout en continuant à faire des exos de CG de temps en temps : cela me semble être un compromis raisonnable.
Quelqu’un pour relancer le topic avec un problème sympa ?
Un de combinatoire que j’ai beaucoup aimé:
Polya a écrit:
Soit \alpha\in [0,\pi]. Pour tout n \in \mathbb{N}^*, on note V_n(\alpha) le nombre de changements de signes dans la suite 1, \cos \alpha, \cos (2\alpha), \cdots, \cos (n\alpha).
Montrer que \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{V_n(\alpha)}{n} = \frac{\alpha}{\pi}
KGD a écrit:
Un de combinatoire que j’ai beaucoup aimé:
[quote=« Polya »]
Soit \alpha\in [0,\pi]. Pour tout n \in \mathbb{N}^*, on note V_n(\alpha) le nombre de changements de signes dans la suite 1, \cos \alpha, \cos (2\alpha), \cdots, \cos (n\alpha).
Montrer que \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{V_n(\alpha)}{n} = \frac{\alpha}{\pi}
[/quote]
S’il y a changement de signe entre \cos(n\alpha) et \cos((n+1)\alpha), c’est qu’il existe j \in\mathbb{R}, n \leq j \leq n+1 tel que \cos(j\alpha) = 0 (d’après le théorème des valeurs intermédiaires).
On pose \alpha = \frac{\pi}{k} (k\in\mathbb{R}, k\geq 1). Alors \cos(j\alpha) = 0 \Leftrightarrow \frac{j\pi}{k} \equiv \frac{\pi}{2} \mod 2\pi ou \frac{j\pi}{k} \equiv \frac{3\pi}{2} \mod 2\pi. Ainsi V_n(\alpha) correspond au nombre de \frac{k}{2}, \frac{3k}{2}, ..., \frac{pk}{2} inférieurs à n. Ils sont au nombre de \lfloor \frac{n}{k}\rfloor, soit \lfloor \frac{n\alpha}{\pi}\rfloor, d’où \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{V_n(\alpha)}{n} = \frac{\alpha}{\pi}. (car \lfloor \frac{n\alpha}{\pi}\rfloor \sim \frac{n\alpha}{\pi} en l’infini).
Edit : Le k\in\mathbb{Q} est une faute d’inattention (j’étais parti sur une autre méthode au départ et j’ai oublié de changé ensuite).
Très propre (en tout cas plus que ce que j’avais gribouillé ), j’aime bien 
Par contre, je ne saisis pas le k \in \mathbb{Q} (on n’a pas de telle hypothèse sur \alpha et tu ne l’utilises d’ailleurs pas dans ta démo)
Edit: D’accord, c’est plus clair comme ça 
Salut tout le monde ! Puisque je vois qu’ici on est sur les suites, ça tombe bien j’en ai une petite rimbambelle
Je ne pense pas par contre pas si l’étude des suites à récurrence double soit connue à ce niveau (même si pour certains ça peut être le cas), auquel cas je pourrais faire un petit laïus dessus
Un exemple récent que j’ai eu en partiel ( je suis en école d’ingé suite à une MPSI/MP) est le suivant ( heu bon par contre j’ai jamais vraiment eu le temps de voir pour le latext, donc si quelqu’un ici s’y connait bien je suis preneur ) :
Pour tout entier n postif, soit la relation : U(n+2) = 3^n* U(n+1)U(n) avec U(0), U(1) des réels strictement positifs.
Trouver les suites (Un) vérifiant la relation précédente.
Personne n’aime les suites alors ?? 
a écrit:
Salut tout le monde ! Puisque je vois qu’ici on est sur les suites, ça tombe bien j’en ai une petite rimbambelle
Je ne pense pas par contre pas si l’étude des suites à récurrence double soit connue à ce niveau (même si pour certains ça peut être le cas), auquel cas je pourrais faire un petit laïus dessusUn exemple récent que j’ai eu en partiel ( je suis en école d’ingé suite à une MPSI/MP) est le suivant ( heu bon par contre j’ai jamais vraiment eu le temps de voir pour le latext, donc si quelqu’un ici s’y connait bien je suis preneur
Pour tout entier n postif, soit la relation : U(n+2) = 3^n* U(n+1)U(n) avec U(0), U(1) des réels strictement positifs.
Trouver les suites (Un) vérifiant la relation précédente.
Merci.
(u_n) est de la forme \boxed{u_n = 3^{\phi(n)}u_1^{\psi(n)}u_0^{\gamma(n)}}.
On a \psi(n+2) = \psi(n)+\psi(n+1) et \gamma(n+2) = \gamma(n)+\gamma(n+1). Ce sont donc des suites linéaires d’ordre 2. On obtient \boxed{\psi(n)=\frac{-1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n+\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n} et \boxed{\gamma(n) = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\right) \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n + \left(\frac{1-\sqrt{5}}{-2\sqrt{5}}\right) \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n} (je vous épargne les calculs…).
C’est pour \phi(n) que ça se corse , puisque \phi(n+2)=\phi(n+1)+\phi(n)+n.
On a \forall n\geq 2, \displaystyle \phi(n)=\sum\limits_{k=0}^{n-1} (\phi(k+1)-\phi(k)) = \sum\limits_{k=1}^{n-1} (\phi(k-1)+k-1) \displaystyle = \sum\limits_{k=0}^{n-2}\phi(k) + \frac{(n-2)(n-1)}{2}. Et là je bloque…
Pour tout te dire, je n’avais pas envisagé les choses sous cet angle là ^^
Cela dit, la forme générale que tu proposes pour Un ne semble pas trop coller avec ce que l’on doit obtenir, ce qui me laisse penser que ça bloque peut être par cette voie là… enfin après j’ai pas testé
En fait, il faut utiliser une petite « astuce » pour démarrer, avec quoi cela marche très bien, je te laisse y réfléchir en te donnant ce petit indice :
On a un produit c’est pas pratique, une somme ce serait pas mal… 
EDIT : au temps pour moi car je pense que ça revient au même après tout !
Pour la relation φ(n+2) = n + φ(n+1) + φ(n) , il faut le faire en 2 temps, un peu dans le même genre qu’une équa diff, ie que tu as une équation homogène puis la relation elle-même pour laquelle on doit trouver φp, solution particulière.
Résous donc d’abord sans tenir compte du n ( ce que tu as par ailleurs déjà fait ), puis pour la solution particulère je te laisse chercher un petit peu 
EDIT 2 : Par ailleurs, les formes que tu obtiens pour les suites précédentes sont globalement pas mal, mais je peine à voir d’où tu obtiens des coefficients en facteurs en tête d’expression !
En fait, toute relation de type Un+2 = Un+1 + Un (je pense vu ce que tu as écrit que tu sais comment la traiter), sans condition initiale donnée
est vérifiée par toute suite de la forme : Un = λ ( 1+ (sqrt(5) /2) ) + µ ( 1 - (sqrt(5) /2 ) ) avec (λ,µ) des réels.
Vraiment sorry pour la lisibilité mais je ne pratique pas l’art séculaire du latext 
a écrit:
Pour tout te dire, je n’avais pas envisagé les choses sous cet angle là ^^
Cela dit, la forme générale que tu proposes pour Un ne semble pas trop coller avec ce que l’on doit obtenir, ce qui me laisse penser que ça bloque peut être par cette voie là… enfin après j’ai pas testé
En fait, il faut utiliser une petite « astuce » pour démarrer, avec quoi cela marche très bien, je te laisse y réfléchir en te donnant ce petit indice :
On a un produit c’est pas pratique, une somme ce serait pas mal…EDIT : au temps pour moi car je pense que ça revient au même après tout !
Pour la relation φ(n+2) = n + φ(n+1) + φ(n) , il faut le faire en 2 temps, un peu dans le même genre qu’une équa diff, ie que tu as une équation homogène puis la relation elle-même pour laquelle on doit trouver φp, solution particulière.Résous donc d’abord sans tenir compte du n ( ce que tu as par ailleurs déjà fait ), puis pour la solution particulère je te laisse chercher un petit peu
EDIT 2 : Par ailleurs, les formes que tu obtiens pour les suites précédentes sont globalement pas mal, mais je peine à voir d’où tu obtiens des coefficients en facteurs en tête d’expression !
En fait, toute relation de type Un+2 = Un+1 + Un (je pense vu ce que tu as écrit que tu sais comment la traiter), sans condition initiale donnée
est vérifiée par toute suite de la forme : Un = λ ( 1+ (sqrt(5) /2) ) + µ ( 1 - (sqrt(5) /2 ) ) avec (λ,µ) des réels.
Vraiment sorry pour la lisibilité mais je ne pratique pas l’art séculaire du latext
Pour \psi(n) j’avais \lambda = -\mu, j’ai juste factorisé. En fait cela nuit un peu à la lisibilité, je vais l’enlever. Pour \phi(n), je vais aller relire vite fait mon cours sur les équations différentielles car cela fait longtemps que je n’en ai pas fait .
Ok ok, mais d’où sort tu ces coeff en fait ?
il te faudrait connaître Ψ(0) et Ψ(1) pour déterminer les valeurs de λ et µ
a écrit:
Ok ok, mais d’où sort tu ces coeff en fait ?
il te faudrait connaître Ψ(0) et Ψ(1) pour déterminer les valeurs de λ et µ
On a u_{n+1}=3^n\cdot u_{n+1}\cdot u_n, et on veut écrire u_n=3^{\phi(n)}u_1^{\psi(n)}u_0^{\gamma(n)}}, donc on a nécessairement \phi(0) = 0, \phi(1)=0, \psi(0)=0, \psi(1)=1, \gamma(0)=1,\gamma(1)=0 si je ne me trompe pas.
