C’est plutôt intéressant au final d’avoir posé cet exo car tu empruntes un chemin auquel je n’avais même pas songé ^^
C’est ton : « on veut écrire Un … » qui m’intrigue en fait; de mon côté, j’avais écrit Un = 3^ϕ(n), avec ϕ décrit par la même relation de récurrence double que la tienne. Mais quid du U(0) et U(1) ? ^^
Comment en es-tu arrivé à chercher Un sous cette forme par curiosité ?
a écrit:
C’est plutôt intéressant au final d’avoir posé cet exo car tu empruntes un chemin auquel je n’avais même pas songé ^^
C’est ton : « on veut écrire Un … » qui m’intrigue en fait; de mon côté, j’avais écrit Un = 3^ϕ(n), avec ϕ décrit par la même relation de récurrence double que la tienne. Mais quid du U(0) et U(1) ? ^^
Comment en es-tu arrivé à chercher Un sous cette forme par curiosité ?
J’ai écris les termes de la suite au fur et à mesure : u_2 = u_0\cdot u_1,\, u_3 = 3\cdot u_1^2\cdot u_0,\, u_4=3^3\cdot u_1^3\cdot u_0^2…
Alors au temps pour moi, dans la hâte j’avais omis les conditions initiales et j’étais parti bien trop vite !
Bon pour en revenir à la dernière relation de récurrente, y a un petit théorème sur ce genre de suite qui dit que dans le cas présent, tu devrais rechercher
ϕ(n) sous la forme ϕ(n) = an + b 
Enfin ça c’est la solution particulière, la solution de l’équation homogène est du même type que ce que tu as fait au dessus 
Salut, up à ce topic pour les TS !
Calculer lim (n->+oo) (1+1/n)^n (avec des outils de terminale). J’espère que cette discussion renaîtra.
Ce serait plus compliqué avec des outils non vus en terminale 
shizuke a écrit:
Salut, up à ce topic pour les TS !
Calculer lim (n->+oo) (1+1/n)^n (avec des outils de terminale). J’espère que cette discussion renaîtra.
Bonsoir,
\lim\limits_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n = \lim\limits_{n\to +\infty} e^{n\ln(1+1/n)} ( \ln est bien définie.) On pose N=\frac{1}{n}. On a \lim\limits_{n\to 0} \frac{\ln(1+N)}{N}=\ln'(1) = 1, d’où par composition, \lim\limits_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n = e.
J’en propose un autre :
Montrer que la série de terme général \displaystyle H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} diverge.
En passant, si vous avez des exercices d’analyse, de probabilités (discrètes), d’arithmétique ou de calcul matriciel, je suis preneur.
A la base, le sujet s’intitulait exo « pré-rentrée MPSI ».
ça se fait tu sais?
zboum a écrit:
A la base, le sujet s’intitulait exo « pré-rentrée MPSI ».
Cet exercice est issu d’un livre intitulé « TS : Préparation au concours général ».
soit f(x)=ln(1+x)-x, f est dérivable sur R+, et on a f'(x)=1/(1+x) - 1 \leq0; donc f est négative pour x positif.
\sum \frac{1}{n} \geq \sum ln(1+\frac{1}{n}) = \sum ln(n+1)-ln(n), qui est une somme téléscopique; d’où la divergence en + l’infini
Lol je parle pas de ça. C’est easy ça. Je parle du « calcul matriciel ». Mais merci quand même.
zboum a écrit:
Lol je parle pas de ça. C’est easy ça. Je parle du « calcul matriciel ». Mais merci quand même.
Des rudiments de calcul matriciel sont maintenant au programme de spé math en TS.
Pour la divergence de la suite harmonique je sais pas si quelqu’un a tenté avec les suites extraites H2n et H2n+1. Ensuite on utilise la caractérisation séquentielle de la convergence d’une suite et c’est bon.
**la caractérisation séquentielle de la convergence d’une suite ** et c’est bon.
???
Cryin’ a écrit:
Pour la divergence de la suite harmonique je sais pas si quelqu’un a tenté avec les suites extraites H2n et H2n+1. Ensuite on utilise la caractérisation séquentielle de la convergence d’une suite et c’est bon.
Montre nous!
Mais effectivement cette technique est l une des plus rapide pour obtenir la divergence de la série, seulement elle ne donne pas d équivalent en l infini.
Ou, de façon très élémentaire :
H_{2n}-H_n \geq \frac{1}{2}
Encore faut il savoir pourquoi on décide de calculer ça.
(notons que ∑, somme de 1 jusqua n)
Pour le problème de koohlc, je propose une solution alternative.
soit n £ N H_(n+1)-H_n = 1/n+1, donc H_n est croissante
supposons qu’elle est majorée, alors il existe un M £ IR pour tout n de N tel que
∑1/k<M => ∑1/k<∑(M/n) => ∑(1/k-M/n)<0, ==>∑ (n-kM/kn)<0, pour n = E(kM)+3, on à la contradiction.
shizuke a écrit:
…, pour n = E(kM)+3, on a…
k est une variable locale qui n’existe qu’a l’interieur de sigma(et qui varie de 1 à n à chaque fois), donc quand k=n et puisque M > 1, on a forcement n - kM < 0
maroxe a écrit:
[quote=« shizuke »]
…, pour n = E(kM)+3, on a…
k est une variable locale qui n’existe qu’a l’interieur de sigma(et qui varie de 1 à n à chaque fois), donc quand k=n et puisque M > 1, on a forcement n - kM < 0
[/quote]
Merci pour la remarque, j’y avais pas fais attention.