Si une âme charitable voulait bien relancer ce topic (pour le moment, il est tout de même un petit peu mort) à l’aide de quelques exercices sympathiques, je lui en serais très reconnaissant. 
Un de proba:
On considère n urnes numérotées de 1 à n. L’urne k contient n boules noires et k boules blanches. On choisit, au hasard une urne et, dans cette urne, une boule. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule noire ? En calculer la limite quand n tend vers +\infty ?
Et un autre:
Soit a \ge 5 un entier impair. Résoudre dans \mathbb{Q} l’équation \displaystyle x^{\lfloor x \rfloor} = \frac{a}{2} (où pour tout x, \lfloor x \rfloor est la partie entière de x, définie comme l’unique entier vérifiant x-1 < \lfloor x \rfloor \le x).
Merci bien KGD 
On considère n urnes numérotées de 1 à n. L’urne k contient n boules noires et k boules blanches. On choisit, au hasard une urne et, dans cette urne, une boule. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule noire ? En calculer la limite quand n tend vers +\infty ?
On note U_k l’événement « obtenir l’urne k » et N l’événement « obtenir une boule noire ». On a P(U_k)=\frac{1}{n} et P(N|U_k)=\frac{n}{n+k}. D’où $\displaystyle P(N)=\sum_{k=0}^n P(U_k\cap N) = \sum_{k=0}^n P(U_k)P(N|U_k) =$$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+k}=\frac{1}{n} + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+k/n}. On reconnait une somme de Riemann et on a alors \displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty} P(N) = \int_{0}^1 \frac{dx}{1+x} = \ln(2)$.
Un classique mais faisable quasiment avec rien :
Soit n un entier strictement positif. Quelle est la partition de n sous la forme n=a_1 + a_2+...+a_p où les a_i sont tous des entiers positifs telle que a_1 \times a_2 \times ... \times a_p soit maximal ?
.
.
Ragoudvo a écrit:
Soit n un entier strictement positif. Quelle est la partition de n sous la forme n=a_1 + a_2+...+a_p où les a_i sont tous des entiers positifs telle que a_1 \times a_2 \times ... \times a_p soit maximal ?
Je tente :
[spoiler]On montre facilement que si \exists i\in \mathbb{N} : a_i = 1, alors le produit n’est pas maximal.
Montrons ensuite que si \exists i\in \mathbb{N} : a_i > 4, alors le produit n’est pas maximal.
Soit a_k = 5 + j\, (j\geq 0) un élément d’une partition de n, dont le produit est noté \alpha. Alors, on a \displaystyle n =\left(\sum_{\substack{i=1\\i\neq k}}^p a_i\right) + 2 + (3 + j). On note \alpha' le produit des éléments de cette partition.
Posons \displaystyle \delta = \prod_{\substack{i=1\\i\neq k}}^p a_i. Alors on a \alpha = \delta (5+j) < \alpha'= \delta (6+2j). Donc le produit \alpha n’est pas maximal.
Tous les a_i tels que le produit soit maximal sont donc compris entre 2 et 4. On montre facilement qu’il est indifférent d’avoir des 2 ou des 4.
Enfin, on constate qu’il est nécessaire qu’un maximum de a_i soient égaux à 3, puisque 2+2+2 = 3+3 et 2^3=8 < 3^2 = 9.
On a donc les partitions suivantes :
- si n\equiv 0 \mod 3, n=\underbrace{3+3+...+3}_{\frac{n}{3}\, \text{fois}}.
- si n\equiv 1 \mod 3, n= \underbrace{3+3+...+3}_{\lfloor \frac{n}{3}\rfloor - 1\, \text{fois}}+2+2 =\underbrace{3+3+...+3}_{\lfloor \frac{n}{3}\rfloor -1\, \text{fois}}+4.
- si n\equiv 2 \mod 3, n=\underbrace{3+3+...+3}_{\lfloor \frac{n}{3}\rfloor\, \text{fois}}+2.[/spoiler]
Bien joué !
KGD a écrit:
Soit a \ge 5 un entier impair. Résoudre dans \mathbb{Q} l’équation \displaystyle x^{\lfloor x \rfloor} = \frac{a}{2} (où pour tout x, \lfloor x \rfloor est la partie entière de x, définie comme l’unique entier vérifiant x-1 < \lfloor x \rfloor \le x).
Soit \alpha\in\mathbb{Q} (on remarque que nécessairement \alpha \geq 2). une solution éventuelle. On l’écrit sous sa forme irréductible \alpha=\frac{i}{j} où (i,j)\in\mathbb{Z\timesN^*} et i\wedge j = 1.
On a alors 2i^{\lfloor \alpha \rfloor} = aj^{\lfloor \alpha \rfloor}. a étant impair, on en déduit que j^{\lfloor \alpha \rfloor} est pair, donc j l’est de même.
Puisque i\wedge j =1\Rightarrow \forall m\in\mathbb{N}, i^m \wedge j^m = 1, \frac{i^{\lfloor \alpha \rfloor}}{j^{\lfloor \alpha \rfloor}} est la forme irréductible de \alpha^{\lfloor \alpha \rfloor}, de même que \frac{a}{2}. On a alors j^{\lfloor \alpha \rfloor}=2 avec j\geq 2 et \alpha\geq 2, une contradiction.
Cette équation n’admet donc aucune solution dans \mathbb{Q}.
C’est censé être des exercices de pré-MPSI, avec des terminaux qui sont à peine en février du programme? 
shizuke a écrit:
C’est censé être des exercices de pré-MPSI, avec des terminaux qui sont à peine en février du programme?
Bah.. Pré-MPSI au sens où ils ne demandent (pour la plupart, en tout cas) pas de connaissances de sup pour être résolus, après il faut avouer que beaucoup d’intervenants ont déjà travaillé le programme. En tout cas sur le principe, ils sont faisables avec le cours de TS et de la curiosité, le genre d’exos que tu pourrais trouver sur tes premières feuilles de TDMais comme beaucoup l’ont dit, ne pas réussir à les faire maintenant (février de TS comme tu le dis), ou même en fin d’année ne présage en rien de ta réussite future en prépa.
Bonsoir,
Quelqu’un pourrait-il m’indiquer où je pourrais trouver des exercices traitant de combinatoire (ou en aurait-il à proposer ) ? Pour autant que je m’en souvienne, aucun cours d’Animath n’est consacré à ces domaines, et les exercices de combinatoire pour la préparation au CG présents sur le site d’Igor Kortchemski me semblent très difficiles 
(surtout pour quelqu’un qui comme moi, connait encore très peu le sujet).
Je souhaiterais également savoir comment approfondir le cours de terminale sur les probabilités discrètes, sujet que je trouve assez amusant 
, étant donné qu’il n’y a pas encore de cours de MPSI disponible…
Je vous remercie d’avance,
kköhlc
On trouve deux trois trucs ici :
google.fr/#hl=fr&tbo=d&outp … mbinatoire
Celui là est difficile, voir très difficile sans indication.Je peux en donner au fur et à mesure.
Dans une grande assemblée, on demande à chaque personne d’écrire son nom sur
un bout de papier et de le mettre dans un chapeau. On agite le chapeau puis chacun tire
un bout de papier. Quelle est la probabilité que personne ne tire le bout de papier portant
son propre nom ?
On pourra démontrer (c’est bien de rédiger la récurrence) et se servir de la formule d’inclusion- exclusion suivante: (les A_{i} sont des évènements )
Un petit exo de l’X qui ne demande pas de connaissances de taupe.
Déterminer les fonctions f et g de \mathbb R dans \mathbb R vérifiant \forall x\neq y, \frac{f(x)-f(y)}{x-y}=g\left(\frac{x+y}{2}\right)
JeanN a écrit:
Un petit exo de l’X qui ne demande pas de connaissances de taupe.
Déterminer les fonctions f et g de \mathbb R dans \mathbb R vérifiant \forall x\neq y, \frac{f(x)-f(y)}{x-y}=g\left(\frac{x+y}{2}\right)
Voilà ma proposition, mais je n’arrive pas à prouver que f doit être dérivable.
D’après l’énoncé, on remarque que g(x)=\frac{f(2x)-f(0)}{2x}.
On suppose f dérivable. (c’est là qu’est mon problème)
On note f(x)=\phi(x)+\delta(x) où \forall x\in\mathbb{R}, \phi(x)=ax^2+bx+c et \delta est dérivable.
On a alors g(\frac{x+y}{2})=f'\left(\frac{x+y}{2}\right)+\frac{\delta(x)-\delta(y)}{x-y}, soit g(x)=f'(x)+\frac{\delta(2x)-\delta(0)}{2x}.
D’où f(2x)-f(0)=2x(2ax+b+\delta'(x))+\delta(2x)-\delta(0), ce qui équivaut à \phi(2x)=\phi(0)+2x(2ax+b+\delta'(x)). On obtient finalement \delta'(x)=0. La fonction \delta est donc constante.
On en déduit donc que les solutions de cette équation fonctionnelle sont les couples (f,g) où f est affine et g=f'.
JeanN a écrit:
On trouve deux trois trucs ici :
google.fr/#hl=fr&tbo=d&outp … mbinatoire
Merci pour ce lien. Je n’avais regardé que les cours et j’avais omis les envois.
brank a écrit:
Celui là est difficile, voir très difficile sans indication.Je peux en donner au fur et à mesure.Dans une grande assemblée, on demande à chaque personne d’écrire son nom sur
un bout de papier et de le mettre dans un chapeau. On agite le chapeau puis chacun tire
un bout de papier. Quelle est la probabilité que personne ne tire le bout de papier portant
son propre nom ?On pourra démontrer (c’est bien de rédiger la récurrence) et se servir de la formule d’inclusion- exclusion suivante: (les A_{i} sont des évènements )
Il a l’air assez costaud en effet ! Je proposerai bientôt une réponse (même si cela risque de prendre du temps, étant donné l’exercice et le fait que j’ai un bac blanc à réviser
kköhlc a écrit:
On note f(x)=\phi(x)+\delta(x) où \forall x\in\mathbb{R}, \phi(x)=ax^2+bx+c et \delta est dérivable.
Qu’est-ce qui t’autorise à faire ça ?
krosian a écrit:
[quote=« kköhlc »]
On note f(x)=\phi(x)+\delta(x) où \forall x\in\mathbb{R}, \phi(x)=ax^2+bx+c et \delta est dérivable.
Qu’est-ce qui t’autorise à faire ça ?
[/quote]
J’ai f(x)=\phi(x)+f(x)-\phi(x) et je pose f(x)-\phi(x)=\delta(x). Et comme j’ai supposé f dérivable (c’est là qu’est mon problème), il faut que \delta soit dérivable.
Je confirme qu’il ne manque pas d’hypothèse de dérivabilité.
C’est un exercice qui ne demande pas plus que de savoir ce qu’est une fonction et de connaitre les opérations usuelles dans R… 
et il n’y a pas d’autres solutions que celles déjà mises en évidence plus haut
brank a écrit:
Celui là est difficile, voir très difficile sans indication.Je peux en donner au fur et à mesure.
Dans une grande assemblée, on demande à chaque personne d’écrire son nom sur
un bout de papier et de le mettre dans un chapeau. On agite le chapeau puis chacun tire
un bout de papier. Quelle est la probabilité que personne ne tire le bout de papier portant
son propre nom ?On pourra démontrer (c’est bien de rédiger la récurrence) et se servir de la formule d’inclusion- exclusion suivante: (les A_{i} sont des évènements )
+1, je n’aurais pas du tout procédé comme ça…