Soit (p,n) \in \mathbb{N}^{2}. Combien est-ce qu’il y a d’applications croissantes de \{1,...,p\} dans \{1,...,n\} ?
charlestiran je sais pas du tout par contre pour l’exercice d’Alban :
Le développement donne 0 car (x-a)(x-b)…(x-z) = (x-a)(x-b)(x-c)…(x-x)(x-y)(x-z) = 0
(Le (x-x) annule le tout)
EDIT : Voilà Nico, j’ai expliqué.
AlbanXIII a écrit:
Bonjour,
Un petit exercice classique : développer (x-a)(x-b)\ldots(x-z).
Pour l’exo de Charles, il faut réfléchir deux minutes mais ce n’est pas si compliqué (pour un TS ça l’est évidemment, c’est pas le type d’exo qu’on voit souvent 
). Le plus dur est sûrement de formaliser le tout.
Edit : Amimak : il faut expliquer ce qu’on fait !
charlestiran a écrit:
Soit (p,n) \in \mathbb{N}^{2}. Combien est-ce qu’il y a d’applications croissantes de \{1,...,p\} dans \{1,...,n\} ?
Notons \mathcal{E} l’ensemble des applications croissantes de [\![1;p]\!] dans [\![1;n]\!] et \mathcal{E}' l’ensemble des applications strictements croissantes de [\![1;p]\!] dans [\![2;n+p]\!].
Soit \psi :
\left\{\begin{array}{ll}
\mathcal{E}\to\mathcal{E}' \\
f\longmapsto f+\text{Id}
\end{array}
Soit (x,x')\in [\![1;p]\!]^2 : x<x' et f\in\mathcal{E}.
On a f(x)+x<f(x')+x' car \forall x\in [\![1;p]\!], f(x)\leq f(x'). D’où f+\text{Id}\in\mathcal{E}'.
f+\text{Id}=f'+\text{Id}\Rightarrow f=f', d’où \psi injective.
Soit ensuite g\in\mathcal{E}' et k=x'-x.
g-\text{Id} est à valeurs dans [\![1;n]\!]. Or g(x)< g(x)+k\leq g(x'), d’où g(x)+k-x-k=g(x)-x\leq g(x')-x'.
Donc f-\text{Id}\in\mathcal{E}, d’où \psi surjective.
\psi est bijective, donc \mathcal{E} et \mathcal{E}' sont équipotents.
Or \text{Card}(\mathcal{E}')=\binom{n+p-1}{p}.
On en déduit qu’il y a \binom{n+p-1}{p} applications croissantes de \{1,...,p\} dans \{1,...,n\}.
Il y a un point à détailler.
Je pense qu’il manque la justification de \text{Card}(\mathcal{E}')=\binom{n+p-1}{p}.
Si f est une application strictement croissante de [\![1;p]\!] dans [\![n+p-1]\!], alors f est injective. Or il y a A^p_{n+p-1} injections de [\![1;p]\!] dans [\![n+p-1]\!]. p! injections ont la même image, et seule l’une d’entre elles est strictement croissante. D’où \text{Card}(\mathcal{E}')=\frac{A^p_{n+p-1}}{p!}=\binom{n+p-1}{p}
Parfait encore une fois 
(oui c’était bien ça qu’il manquait, enfin je trouve)
Si mes souvenirs sont bons, KGD avait aussi fait cet exo l’an dernier, mais je ne sais plus si il avait utilisé la même méthode.
Faut dire que l’exo que j’ai proposé n’était pas bien difficile. Je fourni du gros qui tâche, je laisse la subtilité à ceux qui savent faire…
Amimak a écrit:
EDIT : Voilà Nico, j’ai expliqué.
Un trc que je n’arrête pas de dire aux étudiants qui passent entre mes mains (en tout bien tout honneur) : on n’est pas en train de faire une interview politique face à un journaliste complaisant… Si vous dites quelque chose sans le prouver, cela ne vaut rien.
Nico_ a écrit:
Parfait encore une fois
(oui c’était bien ça qu’il manquait, enfin je trouve)
Si mes souvenirs sont bons, KGD avait aussi fait cet exo l’an dernier, mais je ne sais plus si il avait utilisé la même méthode.
Oui mais c’était moins joli
Hahaha c’est vrai que c’était moche
Bon je suis presque à court d’idées pour un joli exo. J’avais pensé à un mais compol l’a déjà donné, et il a déjà été résolu.
Je suis sûr que KGD a des idées 
En voici un que j’accompagne généralement de quelques questions intermédiaires :
Déterminer les parties finies non vides A de \mathbb C vérifiant \forall z\in A, z^2+z+1\in A et z^2-z+1\in A
C’est pas très difficile mais c’est assez sympa :
**Dans un repère orthonormal, on choisit 5 points distincts à coordonnées entières. Démontrer alors qu’il existe un segment reliant 2 de ces 5 points, qui passe par un autre point à coordonnées entières du repère. **
Et un deuxième pour la route :
Démontrer que \sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} + \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} est rationnel.
Un autre:
On colorie chaque point du plan en rouge ou en bleu. Montrer qu’on peut trouver un triangle équilatéral dont tous les sommets sont de la même couleur.
Même chose pour un rectangle.
Bonjour, bonjour! J’ai lu les exercices que vous proposez et les solutions (d’ailleurs à part le coup du (x-a)(x-b) .. (x-z), j’ai rien trouvé ^^) et je me demandais si à l’entrée de Mpsi, on devait savoir tous le vocabulaire (que je ne connais d’ailleurs ^^) que vous employez (ex : fonction injective, Card..) ?
PS : khlooc, t’es impressionnant ! 
Non non, mais on introduit ça très vite donc pas de panique!
Ah d’accord merci, ca me rassure ^^
Ne t’inquiète pas mikaday,kkohlc n’est pas du tout la norme des TS qui rentrent en prepa. Et je t’avoue que moi non plus je ne suis sans doute pas capable de les faire tous.
C’est vraiment impressionnant la vitesse à laquelle il acquiert des notions (en profondeur) et tout seul sur son temps libre en plus ! Je me demande ce que ça va être quand il va s’y mettre à 100%
Une petite question
Est ce que si une fonction f est dérivable (même infiniment dérivable si on veut) sur ]1,+\infty[ (par exemple) et tends vers 0 en +\infty alors f'(sa dérivée) tend vers 0?
Désolé mais je ne maîtrise pas le latex 
(au fait si quelqu’un a un tuto ça serait sympa !)
Démontrer que \sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} + \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} est rationnel.
[spoiler]Soit A € IR / A = \sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} + \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})}, on pose (a,b) € IR² / a = \sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} \sqrt[3] et b = \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})}. Calculons A^3
On a : A^3 = a^3 + 3a²b + 3ab² + b^3 (d’après triangle de Pascal)
En développant on a : A^3 = 36-3(a+b) = 36-3A <=> A^3+3A-36=0
On remarque que 3 est solution évidente, par factorisation (division euclidienne polynomiale) on obtient : (A-3)(A²+3A+12)= 0 or A²+3A+12 n’admet pas de solutions réelles (delta < 0), donc il existe une unique solution réelle de cette équation qui est 3 et on a A=3 d’où le réel A est rationnel. CQFD
Je pense qu’on peut faire ça par les congruences modulo 3 en remarquant que 18 est congru à 0 modulo 3, par contre je ne sais pas si c’est très rigoureux..[/spoiler]
@MB a écrit:
Désolé mais je ne maîtrise pas le latex
Démontrer que \sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} + \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} est rationnel.
[spoiler]Soit A € IR / A = \sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} + \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})}, on pose (a,b) € IR² / a = \sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} \sqrt[3] et b = \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})}. Calculons A^3
On a : A^3 = a^3 + 3a²b + 3ab² + b^3 (d’après triangle de Pascal)
En développant on a : A^3 = 36-3(a+b) = 36-3A <=> A^3+3A-36=0
On remarque que 3 est solution évidente, par factorisation (division euclidienne polynomiale) on obtient : (A-3)(A²+3A+12)= 0 or A²+3A+12 n’admet pas de solutions réelles (delta < 0), donc il existe une unique solution réelle de cette équation qui est 3 et on a A=3 d’où le réel A est rationnel. CQFDJe pense qu’on peut faire ça par les congruences modulo 3 en remarquant que 18 est congru à 0 modulo 3, par contre je ne sais pas si c’est très rigoureux..[/spoiler]
Congruence modulo 3 ? Hum je n’en suis pas si sûr.
Par contre, ce qui me dérange c’est que tu remarques que 18 \equiv 0 \pmod 3, mais ici ce qu’il fallait remarquer c’est que 18^2 = 325 - 1, et le 325 apparaît quelque part.
Sinon, ça a l’air correcte.
brank a écrit:
Est ce que si une fonction f est dérivable (même infiniment dérivable si on veut) sur ]1,+\infty[ (par exemple) et tends vers 0 en +\infty alors f'(sa dérivée) tend vers 0?
J’ai un contre-exemple .
Soit f la fonction définie sur Df=]1,+\infty[ par f(x)=sin(x^2)/x. On montre facilement que f tend vers 0 en +\infty avec le théorème des gendarmes. f est dérivable sur Df, de fonction dérivée f'(x)=2cox(x^2)-sin(x^2)/x^2. Or f' n’admet pas de limite en +\infty (car la fonction cos n’admet pas de limite en +inf).
Désolé, je ne sais pas trop utilisé Latex, j’ai juste copié les balises comme dans le post de Brank 