@MB a écrit:
Désolé mais je ne maîtrise pas le latex
(au fait si quelqu’un a un tuto ça serait sympa
!)
viewtopic.php?f=4&t=2935
ça marche Datkstaw,tu peux te servir de ce genre de fonctions pour donner des exemples de fonctions qui sont n fois dérivables mais pas (n+1) fois.Tu n’as pas tout justifié
pourquoi la fonction cosinus ne tend pas vers 0 en +\infty ? et cos(x^2)?
JeanN a écrit:
viewtopic.php?f=4&t=2935
Merci beaucoup !
Et pourquoi mettre un carré dans le cosinus ?
brank a écrit:
pourquoi la fonction cosinus ne tend pas vers 0 en +\infty ? et cos(x^2)?
Pour la fonction cosinus, on peut faire avec des suites Un=2pin et Vn=pi/2+2pin qui tendent toutes les deux vers +inf mais dont cos(Un) et cos(Vn) ne tendent pas vers la même limite quand n tend vers +inf (je ne sais pas si c’est trop pour montrer juste ça).
On pose X=x^2 donc X tend vers +\infty quand x tend vers +\infty. Par composition, on obtient que cos(x^2) n’admet pas de limite.
Asymetric a écrit:
C’est pas très difficile mais c’est assez sympa :
**Dans un repère orthonormal, on choisit 5 points distincts à coordonnées entières. Démontrer alors qu’il existe un segment reliant 2 de ces 5 points, qui passe par un autre point à coordonnées entières du repère. **
Soit \mathcal{P} l’ensemble des points du plan à coordonnées entières.
Soit une application \phi qui, à chaque point P\in \mathcal{P}, associe ses coordonnées \mod 2.
Alors \phi(\mathcal{P})=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}. D’où \text{Card}(\phi(\mathcal{P}))=4.
D’après le principe des tiroirs, au moins deux des 5 points, notés P_i et P_j, ont donc les mêmes coordonnées \mod 2.
Il vient x_i+x_j\equiv 0\mod 2 et y_i+y_j\equiv 0\mod 2.
Donc le milieu M du segment [P_iP_k] est à coordonnées entières.
Datkstaw a écrit:
X=x^2 donc X tend vers +\infty quand x tend vers +\infty. Par composition, on obtient que cos(x^2) n’admet pas de limite.
Tu devrais peut être attendre l’avis de Juanito mais pour moi (qui ne suis pas prof) sans plus de justifications ton argument c’est faux.
je confirme: un contre exemple simple
la suite des$(-1)^n$ n’a pas de limite en l’infini
pourtant si on pose m=2n, m tend vers l’infini aussi, et$((-1)^m)$ a une limite égale à 1
si on pose m=n^2, ((-1)^m) n’a pas de limite.
Bref tous les cas sont possibles
Pour moi aussi. On trouve facilement des contre exemples.
(Oups, je me suis un peu endormi sur ce post, grillé par bullquies de 3 minutes 
(je regardais le post de kköhlc que je commentrai plus tard))
brank a écrit:
[quote=« Datkstaw »]
X=x^2 donc X tend vers +\infty quand x tend vers +\infty. Par composition, on obtient que cos(x^2) n’admet pas de limite.
Tu devrais peut être attendre l’avis de Juanito mais pour moi (qui ne suis pas prof) sans plus de justifications ton argument c’est faux.
[/quote]
Je n’ai pas bien compris…
La fonction cos n’admet aucune limite en l’infini tout simplement d’après sa périodicité non? Pourquoi introduire le x² qui tend autant vers +l’infini que x en +l’infini ou pourquoi demander une argumentation détaillée pour conclure quant à l’existence de sa limite?
Roks a écrit:
La fonction cos n’admet aucune limite en l’infini tout simplement d’après sa périodicité non?
Mauvais argument ou maladroit, les fonctions constantes sont bien continues comme le cosinus, et périodiques et pourtant admettent bien des limites en tout point et en l’infini.
Roks a écrit:
Pourquoi introduire le x² qui tend autant vers +l’infini que x en +l’infini ou pourquoi demander une argumentation détaillée pour conclure quant à l’existence de sa limite?
Ce n’est pas vrai, le x^2 ne tend pas « autant » en l’infini que le x.
Sinon regarde la fonction \displaystyle f : x \rightarrow \frac{x}{|x|}, définie sur \mathbb{R}^*.
Elle n’admet pas de limite en 0 (pourquoi ?).
Pourtant la limite quand x \rightarrow 0 de f(x^2) existe.
EDIT : Géométriquement on peut voir ça comme ça :
Dans le cas de la limite en l’infini de f, c’est comme si tu te rapprochais de l’infini par une droite.
Dans le cas de la limite en l’infini de x \rightarrow f(x^2), c’est comme si tu te rapprochais de l’infini par une parabole.
Du coup intuitivement on peut penser qu’il est possible de ne pas tomber sur la même chose en arrivant par une droite ou par une parabole.
C’est probablement une « histoire d’homéomorphisme », parce que je pense que ton argument serait valable si à la place du x^2, tu avais du x^3
Peut-être que je suis complètement à côté de la plaque, mais on peut le montrer quelque chose avec des suites extraites ?
Datkstaw a écrit:
Peut-être que je suis complètement à côté de la plaque, mais on peut le montrer quelque chose avec des suites extraites ?
si la suite diverge, tu pourrais par exemple en trouver deux qui n’ont pas la même limite, ou une suite extraite qui n’a pas de limite, tu peux aussi le faire en écrivant la définition de la convergence et montrer qu’elle n’est pas vérifiée dans le cas de cos(x²)… bref tous plein de possibilités à tenter!
Quelques questions qui font réfléchir et mènent à une recherche de contre-exemples (ce qui est très formateur):
Soit f une fonction définie sur IR. Soit la suite définie par u_n=f(n)
- Si f monotone, qu’en est-il de u_n?
-Réciproque?
-Si f tend vers une limite finie, qu’en est-il de u_n?
- Réciproque?
-Est ce que si f n’admet pas de limite, alors u_n aussi?
Asymetric a écrit:
[quote=« Roks »]
La fonction cos n’admet aucune limite en l’infini tout simplement d’après sa périodicité non?
Mauvais argument ou maladroit, les fonctions constantes sont bien continues comme le cosinus, et périodiques et pourtant admettent bien des limites en tout point et en l’infini.
[/quote]
Escuse moi, je voulais dire par là que la non-existence de la limite en l’infini pour cos s’explique notamment par sa périodicité, je ne voulais pas signifier qu’une périodicité impliquait directement la non-existence d’une limite en l’infini
Asymetric a écrit:[quote=« Roks »]
Pourquoi introduire le x² qui tend autant vers +l’infini que x en +l’infini ou pourquoi demander une argumentation détaillée pour conclure quant à l’existence de sa limite?
Ce n’est pas vrai, le x^2 ne tend pas « autant » en l’infini que le x.
Sinon regarde la fonction \displaystyle f : x \rightarrow \frac{x}{|x|}, définie sur \mathbb{R}^*.
Elle n’admet pas de limite en 0 (pourquoi ?).
Pourtant la limite quand x \rightarrow 0 de f(x^2) existe.
[/quote]
Merci pour ton exemple, je cerne le cas un peu mieux! (et pour répondre à ton pourquoi si il m’était destiné, f(x)=-1 (resp. 1) sur ]-oo;0[ (resp. ]o;+oo[) donc on a deux limites inférieure/supérieure qui ne sont pas les mêmes)
Mais ici pour le cas de la fonction cos, prendre cos(x²) ne modifie en rien la conclusion, au final, de l’existence de sa limite en +l’infini non?
Roks a écrit:
Mais ici pour le cas de la fonction cos, prendre cos(x²) ne modifie en rien la conclusion, au final, de l’existence de sa limite en +l’infini non?
Certes, mais tu ne l’as pas encore prouvé.
bullquies a écrit:
[quote=« Datkstaw »]
Peut-être que je suis complètement à côté de la plaque, mais on peut le montrer quelque chose avec des suites extraites ?
si la suite diverge, tu pourrais par exemple en trouver deux qui n’ont pas la même limite, ou une suite extraite qui n’a pas de limite, tu peux aussi le faire en écrivant la définition de la convergence et montrer qu’elle n’est pas vérifiée dans le cas de cos(x²)… bref tous plein de possibilités à tenter!
[/quote]
Avec deux suites, je ne sais pas si c’est bon
On considère la fonction f(x)=cox(x^2). On pose Un=2n \sqrt{\pi} et Vn=\sqrt{\pi/2+2 \pi n}, on a bien \lim_{n \rightarrow +\infty}{Un}=+\infty et \lim_{n \rightarrow +\infty}{Vn}=+\infty. Or \lim_{n \rightarrow +\infty}{cos(Vn^2)}=\lim_{n \rightarrow +\infty}{cos(\pi /2+2 \pi n)}=0 et \lim_{n \rightarrow +\infty}{cos(Un^2)}=1 car n^2 \in \mathbb{N}. On en conclue que f n’admet pas de limite.
C’est galère quand même le Latex au début 
Et ça marche !
Si jamais tu veux continuer à t’amuser, tu peux essayer d’énoncer un résultat vrai en remplaçant la fonction carrée par un autre type de fonction…
Phylov a écrit:
Quelques questions qui font réfléchir et mènent à une recherche de contre-exemples (ce qui est très formateur):
Soit f une fonction définie sur IR. Soit la suite définie par u_n=f(n)
- Si f monotone, qu’en est-il de u_n?
-Réciproque?-Si f tend vers une limite finie, qu’en est-il de u_n?
- Réciproque?
-Est ce que si f n’admet pas de limite, alors u_n aussi?
J’ai fait ça rapidement je suis pas sûr mais je crois avoir trouvé une seule fonction contre-exemple pour toutes les réciproques
Monotonie : u_n est définie explicitement par f(n) avec f monotone; elle adopte ainsi ses variations sur N, u_n monotone
Réciproque: on pose f(x)=cos(2xpi) définie sur R, f n’est pas monotone bien que u_n le soit (u_n constante égale à 1), FAUX
Limite finie: la suite tend vers la même limite finie pour les mêmes raisons que la monotonie
Réciproque: on considère toujours la fonction précédente, u_n tend vers 1, f n’admet aucune aucune limite en +l’infini, FAUX
Existence de la limite: toujours avec la fonction précédente, f n’admet aucune limite en l’infini tandis que u_n oui, FAUX
Datkstaw je pense que tu voulais écrire \lim_{n \rightarrow +\infty}{cos(Un^2)}=1