La-boule a écrit:
[quote=« JeanN »]
En voici un que j’accompagne généralement de quelques questions intermédiaires :
Déterminer les parties finies non vides A de \mathbb C vérifiant \forall z\in A, z^2+z+1\in A et z^2-z+1\in A
Je pense avoit trouver quelques trucs, mais pas sûr que ce soit correct et utile 
[/quote]
C’est plutôt pas mal ! Il faudrait préciser un peu les histoires de montées infinies dans les cas non triviaux (mettre plus clairement en évidence par exemple une suite d’éléments de A distincts deux à deux) mais tu sembles être sur une piste tout à fait productive pour cet exercice !
En tout cas, le résultat final est juste.
Asymetric a écrit:
**Montrer qu’il existe \displaystyle z \in \mathbb{R}, z + \frac{1}{z} \in \mathbb{Q}
Montrer alors que \displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, z^n + \frac{1}{z^n} \in \mathbb{Q} **
z=1 convient
Et pour tout n, 1^n + 1/1^n est dans Q
Je crois que c’est un peu mal formulé..^^
Tu voulais peut-être dire Z dans R\Q
Eihf a écrit:
[quote=« Asymetric »]
**Montrer qu’il existe \displaystyle z \in \mathbb{R}, z + \frac{1}{z} \in \mathbb{Q}
Montrer alors que \displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, z^n + \frac{1}{z^n} \in \mathbb{Q} **
z=1 convient
Et pour tout n, 1^n + 1/1^n est dans Q
Je crois que c’est un peu mal formulé..^^
Tu voulais peut-être dire Z dans R\Q
[/quote]
On peut même montrer qu’il en existe une infinité dans R\Q (et c’est largement faisable par un TS)
Peut-être que la question que voulait poser asymetric était
si z est tel que$z + \frac{1}{z} \in \mathbb{Q}, alors montrer que \forall n \in \mathbb{N}, z^n + \frac{1}{z^n} \in \mathbb{Q}$
mais je ne sais pas encore si c’est vrai!
ça me rappelle un exo où on demande de trouver des polynômes réels P_n tels que P_n (z+\frac{1}{z})=z^n+\frac{1}{z^n}…
EDIT: c’est vrai en utilisant par exemple en partie ce qu’il y a dans la spoiler
Et c’est faisable intuitivement en sachant juste ce qu’est un rationnel, et rigoureusement dès la terminale!
Bonjour,
Rapidement juste pour dire que je venais d’ouvrir un topic exercices de rentrée pré-MPSI en physique et comme vous etes tous
des membres très actifs pour la plupart, peut-être que cela vous intéressera de poster quelques problèmes comme sur ce forum
et d’en résoudre. Désolé pour ce post, j’espère qu’en aucun cas il sera mal pris ou sera considéré comme une tentative de pub, c’est juste pour essayer de faire vivre
le coté physique du forum 
…
Cordialement !
Asymetric a écrit:
**Montrer qu’il existe \displaystyle z \in \mathbb{R}, z + \frac{1}{z} \in \mathbb{Q}
Montrer alors que \displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, z^n + \frac{1}{z^n} \in \mathbb{Q} **
Au sujet de cet exo, en effet je voulais dire dans \mathbb{R}-\mathbb{Q} 
Voici l’énoncé correcte (enfin l’autre est correcte mais très facile…)
**Montrer qu’il existe \displaystyle z \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}, z + \frac{1}{z} \in \mathbb{Q}
Montrer que si z est un réel tel que \displaystyle z + \frac{1}{z} \in \mathbb{Q} alors \displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, z^n + \frac{1}{z^n} \in \mathbb{Q} **
** Montrer que si z est un réel tel que \displaystyle z + \frac{1}{z} \in \mathbb{Q} alors \displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, z^n + \frac{1}{z^n} \in \mathbb{Q} **
Je tente quelque chose
n=1 vraie
On suppose z^n + 1/z^n rationnel pour tout entier naturel non nul inférieur ou égal à n.
(z+1/z)^n+1 = somme pour k allant de 0 à n+1 de: (k parmi n+1)*z^k/z^(n+1-k) = z^n+1 + 1/z^n+1 + somme pour k allant de 1 à n de: (k parmi n+1)*z^k/z^(n+1-k)
d’où z^n+1 + 1/z^n+1 = (z+1/z)^n+1 - somme pour k allant de 1 à n de: (k parmi n+1)*z^k/z^(n+1-k)
Or (z+1/z)^n+1 et somme pour k allant de 1 à n de: (k parmi n+1)*z^k/z^(n+1-k) sont rationnels, donc leur différence aussi.
Vraie pour n+1 d’où par récurrence z^n + 1/z^n rationnel pour tout n non nul.
On pouvait aussi considérer (z+1/z)(z^n+(1/z)^n) c’est plus facile pour établir l’hérédité (sans passer la formule de Newton)
Et pour la première question (je propose, qu’au lieu de montrer l’existence d’un tel irrationnel, montrer l’existence d’une infinité de tels irrationnels)?
Montrer qu’il existe \displaystyle z \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}, z + \frac{1}{z} \in \mathbb{Q}
J’ai essayé ça puis je me suis rendu compte que mon raisonnement n’était pas très logique 
:
Soit z un réels et x un rationnel. On pose x = z + 1/z.
x = z + 1/z <=> z^4 + (2-x²)z² + 1 = 0
L’équation z^4 + (2-x²)z² + 1 = 0 a quatre solutions réels pour tout rationnel x n’appartenant pas à l’intervalle ]0;4[. Donc z^4 + (2-x²)z² + 1 = 0 <=> z = sqrt([-2+x²+sqrt[(4-x²)(-x²)]]/2) ou z = - sqrt([-2+x²+sqrt[(4-x²)(-x²)]]/2) ou z = sqrt([-2+x²-sqrt[(4-x²)(-x²)]]/2) ou z = -sqrt([-2+x²-sqrt[(4-x²)(-x²)]]/2)
On prouve ensuite que z est irrationnel en montrant par l’absurde que [-2+x²+sqrt[(4-x²)(-x²)]]/2 et [-2+x²-sqrt[(4-x²)(-x²)]]/2 ne sont pas des carrés parfaits.
Logic a écrit:
Montrer qu’il existe \displaystyle z \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}, z + \frac{1}{z} \in \mathbb{Q}
J’ai essayé ça puis je me suis rendu compte que mon raisonnement n’était pas très logique :
Soit z un réels et x un rationnel. On pose x = z + 1/z.
x = z + 1/z <=> z^4 + (2-x²)z² + 1 = 0
L’équation z^4 + (2-x²)z² + 1 = 0 a quatre solutions réels pour tout rationnel x n’appartenant pas à l’intervalle ]0;4[. Donc z^4 + (2-x²)z² + 1 = 0 <=> z = sqrt([-2+x²+sqrt[(4-x²)(-x²)]]/2) ou z = - sqrt([-2+x²+sqrt[(4-x²)(-x²)]]/2) ou z = sqrt([-2+x²-sqrt[(4-x²)(-x²)]]/2) ou z = -sqrt([-2+x²-sqrt[(4-x²)(-x²)]]/2)
On prouve ensuite que z est irrationnel en montrant par l’absurde que [-2+x²+sqrt[(4-x²)(-x²)]]/2 et [-2+x²-sqrt[(4-x²)(-x²)]]/2 ne sont pas des carrés parfaits.
[spoiler]Pourquoi cherches-tu à faire compliquer ?
Enfin déjà, ta première ligne est mathématiquement erronée, tu ne peux pas définir x puis dire « On pose x ». C’est exactement l’erreur à savoir ne pas faire, et que les profs de sup cherchent désespérément à faire oublier aux élèves.
Tu veux montrer qu’il existe un réel z tel que la somme de lui et de son inverse soit rationnel.
Pourquoi tu n’essayes pas tout bêtement de regarder si cette somme peut être égale à 5 par exemple ? Si tu trouves un z réel qui convient, tu auras fini.[/spoiler]
Nico_: Attention, ya pas d’espace entre le texte et les deux points! 
Sinon bah j’ai qu’à proposer un ou deux exos à mon tour (j’ai fait une recherche, je crois qu’ils n’ont pas été postés, mais si oui je m’en excuse)
trouver les parties A \subset \mathbb{C} à 2 éléments telles que z \in A \Rightarrow z^2 \in A
(il n’y en a pas tant que ça)
plus dur:
trouver les parties A \subset \mathbb{C} à 3 éléments telles que z \in A \Rightarrow z^2 \in A
(il y en a un peu plus )
et pour ceux qui n’auraient pas entendu parler des racines de l’unité en TS, ceci peut aider:
les solutions de l’équation z^n=1 sont exactement les e^{\frac{2ik \pi}{n}}, k un entier avec 0 \leq k \leq n-1
On peut en rajouter un autre:
trouver le maximum de la fonction x \mapsto a.cos(x) + b.sin(x)
Asymetric a écrit:
[quote=« Logic »]
Montrer qu’il existe \displaystyle z \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}, z + \frac{1}{z} \in \mathbb{Q}
[spoiler]Pourquoi cherches-tu à faire compliquer ?
Enfin déjà, ta première ligne est mathématiquement erronée, tu ne peux pas définir x puis dire « On pose x ». C’est exactement l’erreur à savoir ne pas faire, et que les profs de sup cherchent désespérément à faire oublier aux élèves.
Tu veux montrer qu’il existe un réel z tel que la somme de lui et de son inverse soit rationnel.
Pourquoi tu n’essayes pas tout bêtement de regarder si cette somme peut être égale à 5 par exemple ? Si tu trouves un z réel qui convient, tu auras fini.[/spoiler]
[/quote]
Merci Asymetric, je n’avais pas réalisé qu’un exemple suffisait.
Du coup ça devient plus simple: on cherche z tq z + 1/z = 5 ce qui revient à déterminer les racines de z²-5z+1 donc z = [5+sqrt(21)]/2 ou z = [5-sqrt(21)]/2
Or [5+sqrt(21)]/2 irrationnel. Donc z = [5+sqrt(21)]/2 répond au problème posé.
Est-ce si évident que \displaystyle \frac{5+ \sqrt{21}}{2} soit irrationnel ?
Montrons dans un premiers temps que sqrt(21) est irrationnel. Supposons par l’absurde sqrt(21) rationnel càd que sqrt(21) = p/q avec p et q entiers, q non nuls et p^q=1.
sqrt(21) = p/q <=> 21q²=p²
Donc 21 divise p. On peut donc écrire pour tout entier k: sqrt(21) = p/q <=> 21q²=(21k)²
D’où: sqrt(21) = p/q <=> q²=21k²
Donc 21 divise q.
p et q sont tous les deux des multiples de 21 donc leur pgcd est au moins égal à 21, ce qui contredit l’hypothèse p^q=1.
Donc sqrt(21) est irrationnel.
Montrons maintenant que [5+sqrt(21)]/2 est irrationnel:
La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel donc: 5+sqrt(21) est irrationnel.
Le quotient d’un irrationnel par un rationnel est un irrationnel donc: [5+sqrt(21)]/2 est irrationnel
