Oui on me l’a fait remarquer par MP que 21 n’était pas premier ! 
Merci !
Satanikwolf a écrit:
[quote=« La-boule »]
Donc il faut que -b^{2}+1=0 \Leftrightarrow b^2=1 i.e b=i ou b=-i
[/quote]
Oui, c’est un étourderie, je voulais écrire : [ b=1 ou b=-1 ] d’où [ z=i ou z=-i ] , d’où le résultat.
Ps pour Nico_ : désolé, pour l’orthographe, ce n’est vraiment pas mon fort 
j’en rajoute un autre
trouver, s’il en existe, le(s) extrema de$\frac{x^2+y^2}{xy}$ lorsque x,y parcourent \mathbb{R}_+^*
EDIT: et encore un
soit a,b un couple de réels supérieurs à 3.
qui de a^b ou b^a est le plus grand?
bullquies a écrit:
Trouver le maximum de la fonction x \mapsto a.cos(x) + b.sin(x)
[spoiler]a.cos(x)+b.sin(x)=a\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}+b\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\frac{e^{ix}}{2}(a-ib) +\frac{e^{-ix}}{2}(a+ib)=\frac{e^{ix}}{2}re^{-i\theta}+\frac{e^{-ix}}{2}re^{i\theta}=r\frac{e^{i(x-\theta)}+e^{i(\theta-x)}}{2} =rcos(x-\theta)=\frac{acos(x-\theta)}{cos(\theta)} avec tan(\theta)=\frac{b}{a}
Soit f : x \rightarrow \frac{acos(x-\theta)}{cos(\theta)} définie sur \mathbb{R} à valeurs dans \mathbb{R}
f est un produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R} donc f est dérivable sur \mathbb{R}
f'(x)=\frac{-asin(x-\theta)cos(\theta)}{cos^2(\theta)}
f'(x)=0 <=> x=\theta+k\pi avec k \in \mathbb{Z}
Or f est une sinusoïde, elle est donc à son maximum pour x=\theta+k2\pi
Pour x=\theta=arctan(\frac{b}{a}) :
\boxed{f(x)=a.cos(arctan(\frac{b}{a}))+b.sin(arctan(\frac{b}{a}))} ce qui est le maximum de la fonction f[/spoiler]
bullquies a écrit:
j’en rajoute un autre
trouver, s’il en existe, le(s) extrema de$\frac{x^2+y^2}{xy}$ lorsque x,y parcourent \mathbb{R}_+^*
Pour tout réel a positif et non nul on a: a + 1/a > ou = 2 ( a + 1/a > ou = 2 <=> (a-1)² > ou = 0 ce qui est vraie pour tout a)
Or (x²+y²)/xy = x/y + y/x d’où x/y + y/x > ou = 2. 2 est minimum de (x²+y²)/xy atteint pour x=y=1
Satanikwolf a écrit:
[quote=« bullquies »]
Trouver le maximum de la fonction x \mapsto a.cos(x) + b.sin(x)
a.cos(x)+b.sin(x)=a\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}+b\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\frac{e^{ix}}{2}(a-ib) +\frac{e^{-ix}}{2}(a+ib)=\frac{e^{ix}}{2}re^{-i\theta}+\frac{e^{-ix}}{2}re^{i\theta}=r\frac{e^{i(x-\theta)}+e^{i(\theta-x)}}{2} =rcos(x-\theta)
[/quote]
tu aurais pu t’arrêter là, ça suffit presque pour conclure!
Ton résultat final est bon, mais il peut s’écrire d’une bien plus belle manière 
Logic → ça me convient!
bullquies a écrit:
[quote=« Satanikwolf »]
[quote=« bullquies »]
Trouver le maximum de la fonction x \mapsto a.cos(x) + b.sin(x)
a.cos(x)+b.sin(x)=a\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}+b\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\frac{e^{ix}}{2}(a-ib) +\frac{e^{-ix}}{2}(a+ib)=\frac{e^{ix}}{2}re^{-i\theta}+\frac{e^{-ix}}{2}re^{i\theta}=r\frac{e^{i(x-\theta)}+e^{i(\theta-x)}}{2} =rcos(x-\theta)
[/quote]
tu aurais pu t’arrêter là, ça suffit presque pour conclure!
[/quote]
En effet !
Il suffit de dire que le maximum de cos(X) est atteint pour X=0+k2\pi et ici x-\theta=0 <=> x=\theta
bullquies a écrit:
Ton résultat final est bon, mais il peut s’écrire d’une bien plus belle manière
[spoiler]Je trouve cos(arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} et sin(arctan(x))=\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}
Soit un maximum de \boxed{\frac{a+\frac{b}{a}|b|}{\sqrt{1+(\frac{b}{a})^2}}}[/spoiler]
[spoiler]Je trouve cos(arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} et sin(arctan(x))=\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}
Soit \boxed{f(x)=\frac{a+\frac{b}{a}|b|}{\sqrt{1+(\frac{b}{a})^2}}}[/spoiler]
mouais… (il y a pas de valeur absolue d’ailleurs, et ne note pas f(x)=… please!)
Bref quoi qu’il en soit, ça fait r=|a+ib|=|a-ib|=\sqrt{a^2+b^2}, c’est ça que je voulais que tu vois 
bullquies a écrit:
[spoiler]Je trouve cos(arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} et sin(arctan(x))=\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}
Soit \boxed{f(x)=\frac{a+\frac{b}{a}|b|}{\sqrt{1+(\frac{b}{a})^2}}}[/spoiler]
mouais… (il y a pas de valeur absolue d’ailleurs, et ne note pas f(x)=… please!)Bref quoi qu’il en soit, ça fait r=|a+ib|=|a-ib|=\sqrt{a^2+b^2}, c’est ça que je voulais que tu vois
Ha oui… je suis allé chercher trop loin
Ha ok La-Boule 
SInon une méthode « équivalente » était de tout « normaliser », c’est-à-dire mettre en facteur ce fameux \sqrt{a^2+b^2}:
[spoiler]f(x)=\sqrt{a^2+b^2} (\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} cos(x) + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} sin(x));
tu peux alors remarquer que$(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2 + (\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2 = 1$, donc tu peux écrire qu’il existe \theta tel que \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=cos(\theta), \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=sin(\theta);
d’où $f(x)=\sqrt{a^2+b^2} (cos(x)cos(\theta)+sin(x)sin(\theta))$$=\sqrt{a^2+b^2} cos(x-\theta)$ (formule de trigo)
Pour arriver au même résultat au final![/spoiler]
Retenez la méthode de bullquies!
Je retente un truc !
JeanN a écrit:
En voici un que j’accompagne généralement de quelques questions intermédiaires :
Déterminer les parties finies non vides A de \mathbb C vérifiant \forall z\in A, z^2+z+1\in A et z^2-z+1\in A
[spoiler]Alors, dans mon autre post, je prouvais (plus ou moins rigoureusement dirons nous) que A \cap \mathbb{R}= \emptyset, je garde ce résultat.
Ensuite je m’intéressais aux complexes z=a+ib avec a \neq 0 et b \neq 0 (le but étant de prouver qu’un tel complexe ne peut pas être dans A), et plus particulièrement à leur partie imaginaire, néanmoins je me suis rendu compte que c’était pas rigoureux puisque je faisais des hypothèses sur la partie réelle mais je ne m’assurais pas que l’on restait dans le même cas (par exemple : Re(z)>0) au « cas suivant » (i.e Re(X=z^{2}+z+1)>0 ?)
Donc je voulais garder la même idée mais tenter d’être plus rigoureux, malheureusement pour moi, je crois que je me suis embrouillé avec les différents cas possibles et inégalités. Donc j’ai laissé de côté cette « piste » et je me suis penché sur une autre piste. (Oui, je sais, tout un paragraphe juste pour dire ça …)
Et donc voici, ma nouvelle idée, malheureusement toujours peu rigoureuse puisque je me base sur un résultat que je pense vrai, mais je n’en suis pas sûr (Et, dans le cas où il serait vrai, pour le démontrer … 
)
Tout d’abord quelques « résultats » :
z=z^{2}+z+1 \Leftrightarrow z^{2}+1=0 \Leftrightarrow [z=i ou z=-i]
z=z^{2}-z+1 \Leftrightarrow z^{2}-2z+1=0 \Leftrightarrow (z-1)^{2}=0 \Leftrightarrow z=1
z^{2}-z+1=z^{2}+z+1 \Leftrightarrow 2z=0 \Leftrightarrow z=0
D’où si z=a+ib (\in B) avec a \neq 0 et b \neq 0, alors z \neq z^{2}+z+1 \neq z^{2}-z+1
On crée maintenant 3 ensembles finis : E, E' et E''
Avec : E=\{z;z';z'';...\}
E'=\{z^{2}+z+1;(z')^{2}+z'+1;(z'')^{2}+z''+1;...\}
E''=\{z^{2}-z+1;(z')^{2}-z'+1;(z'')^{2}-z''+1;...\}
Pour ce problème, on veut : E=E'=E''
Or z \neq z^{2}+z+1 \neq z^{2}-z+1,
Donc : \exists (z;z')\in B^{2} tels que z^{2}+z+1=(z')^{2}-z'+1 et z'=z^{2}-z+1 (c’est là que je suis pas du tout sûr de la véracité de cette proposition, d’après les petits « dessins-tests » que j’ai fait ça à l’air vrai, mais bon…)
Or, z^{2}+z+1=(z')^{2}-z'+1
\Leftrightarrow z^{2}-(z')^{2}+z-z'=0
\Leftrightarrow (z+z')(z-z')+(z+z')=0
\Leftrightarrow (z+z') (z-z'+1)=0
\Leftrightarrow [z'=-z ou z'=z+1]
Si z'=-z,
alors z'=z^{2}-z+1
\Leftrightarrow -z=z^{2}-z+1
\Leftrightarrow 0=z^{2}+1
\Leftrightarrow [z=i ou z=-i] Ce qui est impossible car z=a+ib avec a \neq 0 et b\neq 0 et ici a=0
Si z'=z+1,
alors z'=z^{2}-z+1
\Leftrightarrow z+1=z^{2}-z+1
\Leftrightarrow 0=z^{2}-2z
\Leftrightarrow 0=z(z-2)
\Leftrightarrow [z=0 ou z=2] Impossible car b \neq 0
Donc, nous n’avons pas l’égalité souhaite : E=E'=E'' donc un tel complexe (i.e z=a+ib avec a \neq 0 et b\neq 0) ne peut pas être dans A
Donc si z \in A, alors z est un imaginaire pur, i.e z=ib
d’où :X=z^{2}+z+1=(-b^{2}+1)+ib
et Y=z^{2}+z+1=(-b^{2}+1)-ib, donc soit, Re(X)=Re(Y)=0, soit on retombe dans un cas traité précedement (i.e, z n’est pas un imaginaire pur) donc impossible.
Donc il faut que -b^{2}+1=0 \Leftrightarrow b^2=1 i.e [ b=1 ou b=-1 ], d’où [ z=i ou z=-i ]
Ce qui prouve finalement que seul A= \{i;-i\} convient.[/spoiler]
bullquies : C’est pas simple d’y penser « comme ça » mais joli 
La-boule : C’est probablement juste (flemme de tout relire) mais sache qu’il est souvent risquer de travailler « par équivelence » tout au long d’une démo.
Si UNE éauivalence est fausse ou mal justifier, tout est faux (le résultat peut bien être juste, si le correcteur est rigoureux, il est en droit de barrer toute la démo).
Mieux faut travailler par analyse / synthèse. On commence par dire "si machin est solution alors ça ça ça et ça " et une fois qu’on a accumulé assez de « ça », on regarde tous les objets vérifiant les conditions nécessaires qu’on vient d’accumuler et on regarde, parmi eux, lesquels sont réellement des solutions.
Je ne dis pas qu’il faut toujours faire comme ca mais c’est beaucoup plus prudent et souvent beaucoup plus clair.
soit a,b un couple de réels supérieurs à 3.
qui de a^b ou b^a est le plus grand?
J’ai rédigé rapidement, j’espère que ce n’est pas trop bourré de fautes et d’inexactitudes
[spoiler]Soient (a;b) deux réels strictement supérieurs à 3. Soit f l’application de [3;+\infty[ dans \mathbb{R} et qui à tout a associe ln(b^{a}) - ln(a^{b}) avec b fixé dans [3;+\infty[ seule varie a
f est dérivable sur son ensemble de définition par somme de fonctions dérivables sur [3;+\infty[
\forall x \in [3;+\infty[, f'(x) = ln(b) - \frac{b}{a} = \frac{aln(b) - b}{a}. Cherchons son signe
f'(x)\geq 0 \Leftrightarrow a\geq \frac{b}{lnb}
Deux cas se présentent alors :
-
si a>b on a alors \forall (a;b) dans l’intervalle de définition : a> \frac{b}{lnb} \Leftrightarrow f'(x) \geq 0 D’où f est strictement croissante à valeurs positives sur [3;+\infty[ (tableau de variation) par croissance de l’exponentielle sur \mathbb{R_+} on retrouve b^{a}>a^{b}
-
si b>a alors \frac{b}{lnb}> \frac{a}{lnb} > a car ln(b)>0 (b>3) donc f'(x)\leq 0 d’où f est strictement décroissante à valeurs négatives sur [3;+\infty[ (tableau de variation rapide). Par croissance de l’exponentielle sur \mathbb{R_+} on a b^{a}<a^{b}
Enfin le cas trivial a=b suppose évidemment que b^{a}=a^{b}[/spoiler]
La-boule a écrit:
Je retente un truc !
Que sont plus précisément les ensembles E, E’, E’’ ?
JeanN a écrit:
Que sont plus précisément les ensembles E, E’, E’’ ?
Bah, en fait, si z \in E alors on place z^{2}+z+1 dans E' et z^{2}-z+1 dans E''
Pareil avec un complexe z' etc..
On obtient donc 3 ensembles E, E’ et E’’
Et pour l’exo, finalement, on veut que E=E'=E''
Je sais pas si c’est très clair 
et si ce sont les précisions que vous attendiez…
Donc E, c’est A et E'=\{z^2+z+1,z\in A\}, E'=...
En fait, l’énoncé donne comme hypothèse E'\subset A et E''\subset A, pas l’égalité…
JeanN a écrit:
Donc E, c’est A et E'=\{z^2+z+1,z\in A\}, E'=...
En fait, l’énoncé donne comme hypothèse E'\subset A et E''\subset A, pas l’égalité…
Oui, c’est pas faux
Donc tout le reste de ma « démonstration » est faux, je suppose …
Mais si on arrive à prouver que ces 3 ensembles ont le même nombre d’éléments, alors on peut transformer l’inclusion en égalité, non ?
Oui pour ta dernière question… Au demeurant, la suite de ta démo est encore trop elliptique (à première vue, je ne vois pas trop comment démontrer l’existence de z et z’ vérifiant les propriétés que tu souhaites…)
Voici une question intermédiaire :
Montrer que [|z^2+z+1|\leq |z| et |z^2-z+1|\leq |z|] \Rightarrow z\in \{i,-i\}