Exercices X-ENS

Questions/Réponses par disciplines Mathématiques
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Bonjour à tous

Ayant remarqué que certains semblent se plaindre d’une dégénérescence du topic Exos Sympas MP/MP* en topic « Exos impossibles » j’ai pris l’initiative de créer un nouveau topic pour les exercices d’X et d’ENS.
Pour que les conversations soient très claires on pourrait référencer nos exercices (Exemple: (67) ) et indiquer la difficulté (indiquer autre chose que (?) implique de connaître la solution, sinon on est naturellement incompétent pour juger de la difficulté de l’exercice)

?: Difficulté inconnue
*: Donné à l’X ou Ulm mais assez simple
**: Difficile (faisable en moins de 45 minutes par un admis « moyen » à Ulm)
***: Très difficile (infaisable en moins d’une heure par un admis « moyen » à Ulm mais éventuellement en 2-3-4 heures…, faisable par les tous meilleurs en moins de 45 minutes)
****: Extrêmement difficile (dSP doit être à court de pistes)

ainsi que la source de l’exo

Exemple

(1) (**) (Ulm 2012) Soit f une fonction continue, 2 pi périodique de IR dans IR. Montrer que la norme infinie de sa série de Fourier est en O(ln(n)), puis montrer qu’elle est même en o(ln(n))

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Je trouve vraiment dommage de ne pas enrichir le fil mp*. Il n’attend que des contributions comme celle ci…
Par ailleurs il y a un ou plusieurs mondes d’écart entre mon niveau et celui de dsp…
Je modère donc le précédent message :slight_smile:

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(2) (?) (Ulm 2008) Montrer qu’il existe une infinité de puissances de 2 dont le développement décimal commence par 7

(3) (*) (Ulm 2008) Montrer que l’ensemble des polynômes de degré au plus n, scindés simples sur IR, est ouvert dans IRn crochet X

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« Pourquoi ne pas prendre en compte ce que JeanN souligne ? » Justification que je ne l’ai pas pris en compte SVP (ce qu’il dit est très raisonné)
Et justement, ce fil permettra l’utilisation massive du hors-programme, ainsi qu’une présentation claire

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The TJFK a écrit:

(2) (?) (Ulm 2008) Montrer qu’il existe une infinité de puissances de 2 dont le développement décimal commence par 7
Il suffit de montrer qu’il existe une infinité de (n,k) tels que 7 \le \frac{2^n}{10^k} < 8, c’est à dire \ln(7) \le n \ln (2) - k \ln (10) < \ln (8). Comme \ln (2) et \ln (10) sont de même signe, il suffit que de montrer que \mathbb{Z} \ln (2) + \mathbb{Z} \ln (10) est dense et pour cela il suffit de montrer que \frac{\ln (2)}{\ln(10)} est irrationel. Si ce nombre est rationnel il existe p,q \neq 0 entiers tels que p\ln(2)=q\ln(10), et en passant à l’exponentielle on a 2^p = 10^q , absurde pour des raisons arithmétiques.
The TJFK a écrit:
(3) (*) (Ulm 2008) Montrer que l’ensemble des polynômes de degré au plus n, scindés simples sur IR, est ouvert dans IRn crochet X
Trivial.

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Silvere Gangloff, TB (pour le 2). (Pour le 3 c’est trivial en effet mais c’était vraiment un exo donné aux ENS …)

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Je ne sais pas si le fil s’y prête mais je me demande si nos profs de maths torcheurs réfléchissent encore lorsqu’ils font des maths de prépa (modulo tout le HP posable en prépa). J’imagine qu’on peut trouver des exos très très durs (même pour eux) ponctuellement, mais avec l’expérience, cela doit se produire 2 fois par an au maximum ? Ou alors s’ils doivent faire des trucs de leur côté pour ne pas avoir l’impression de raconter des trivialités.

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Hum, en tout cas je serais pour la reformulation de ce topic en « exo Hors-Programme », ce serait une bonne idée pour occuper les torches qui trainent dans le coin ^^
Alors que faire un topic pour les exos XENS séparé des MP*, c’est pas forcément nécessaire ^^

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Comme ce qui a été dit précédemment, je vois pas trop l’intérêt de faire un Topic X/ENS spécifique. Pourquoi ne pas les poser tout simplement dans le topic déjà fait pour ça Exos Sympas MP(*)?
Même s’il y a des trucs qui ne sont pas au programme de MP, il faut arrêter de se voiler la face : si on veut bien réussir en maths, il est très difficile de le faire en se limitant strictement au programme. Il faut aller un peu plus loin pour avoir déjà vu les classiques le jour J et pour comprendre en profondeur, à moins d’être vraiment doué et à ce moment là on invente tout tout seul (genre Dunford, diagonalisation simultanée, Th. de Dini …).

En plus, si on donne un exo avec des notions hors-programmes mais qu’on les définit avant, je ne vois pas où est le problème.

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Keru a écrit:

Comme ce qui a été dit précédemment, je vois pas trop l’intérêt de faire un Topic X/ENS spécifique. Pourquoi ne pas les poser tout simplement dans le topic déjà fait pour ça Exos Sympas MP(*)?
Même s’il y a des trucs qui ne sont pas au programme de MP, il faut arrêter de se voiler la face : si on veut bien réussir en maths, il est très difficile de le faire en se limitant strictement au programme. Il faut aller un peu plus loin pour avoir déjà vu les classiques le jour J et pour comprendre en profondeur, à moins d’être vraiment doué et à ce moment là on invente tout tout seul (genre Dunford, diagonalisation simultanée, Th. de Dini …).

En plus, si on donne un exo avec des notions hors-programmes mais qu’on les définit avant, je ne vois pas où est le problème.
Hum, même si j’avais pas mal bossé le hors programme pendant ma 5/2, force m’est de reconnaître que je n’ai eu aucun exo d’oral nécessitant une once de hors-programme.
Des fois je me demande si - à cause de quelques rares exos qui n’auraient pas dû être posés - on ne fait pas tout une histoire de des exos « hors-programmes » qui tombent à X-ens alors que dans le fond il n’y en a presque pas… ^^
Bon après, je dis ça, et si y’en a un qui a du utiliser Dunford sans l’avoir admis/redémontré au cours de son oral, il me lynchera, mais voilà ^^

Disons que moi ce qui m’agace, ce sont les exos qui commencent par « avec Dunford on peut écrire… » ou qui se terminent par « et le théorème de Dini permet de conclure »… Bref, ce genre de chose. Après, évidemment, un exo qui présente une nouvelle notion, c’est intéressant, tant que celle-ci est définie et que la question posée est abordable en recourant uniquement aux outils au programme.

EDIT : Bref, pour résumer ma pensée, je serais favorable à la création d’un topic « exo hors-programme », pour ceux que ça intéresse de faire des maths de bonhomme post-spé (ceux qui te branchent sur les théorèmes de Sylow, etc), puisqu’il faut dire que cette section reste fréquentée par un paquet d’X/ENS/prof qui aiment bien ça. Et ça permettrait de ne pas les retrouver dans le fil MP(*) qui s’adresse (selon moi) plutôt aux taupins qui veulent préparer leurs oraux.

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en attendant l’arrivé de Int(1/(t-z))…

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Keru a écrit:

très intéressant !

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AlexZeta a écrit:

Du HP ? En veux-tu en voilà,

(4) Soit p un nombre premier, Montrer que :
\exp\left( \sum_p \frac1{p^2}\right)> \frac{\pi}{2}
Quelque chose à voir avec p_{n} \sim nln(n) ?

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Il suffit d’aller jusqu’au 51ième nombre premier, exo typiquement sans intérêt…

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The TJFK a écrit:

(1) (**) (Ulm 2012) Soit f une fonction continue, 2 pi périodique de IR dans IR. Montrer que la norme infinie de sa série de Fourier est en O(ln(n)), puis montrer qu’elle est même en o(ln(n))
Pas compris l’énoncé

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Enfin un topic intéressant !

Megapat je crois que pour The TJFK n est le degré de ta somme partielle de Fourier, sinon d’accord avec Gangloff pour le 2

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Pour le (3) c’est une sorte de TVI et on fait varier suffisamment peu les extrema c’est ça ?

Sinon, un autre exo donné à l’X

(5) () Combien existe-t-il de manières de paver un damier 2n avec des pavés 2*1 ?

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–>Int(1/(t-z))
*Oui c’est ça pour la somme partielle, désolé si l’énoncé était peu clair
*Pour le (3) c’est l’idée, mais il est inutile de considérer les extrema, la simple existence de valeurs non nulles avec des signes alternés entre chaque racine et à l’extérieur des racines suffit largement.
*Ton exo (5) se limite à une récurrence d’ordre 2, c’est la suite de fibonnaci…

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On peut poster des exos d’info ou non ?

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Oui allez-y, ne vous en privez pas