Exercices X-ENS

[anon87963288]

@ Retard: Un jour d’oral on n’a pas sa calculette il me semble …
Je trouve ce topic stimulant, et en même temps on a l’impression, a entendre certains, que c’est trivial …

[anon59787589]

AlexZeta a écrit:

Je suis bon joueur, je te propose celui là qui est à la mesure de ton agressivité :

(?)(6)(Oral Ulm 2012)
Soit $f$une fonction de classe C^1 sur \mathbb{R} et à valeurs réelles, veriant la propriété :
\forall x >0, \quad f(x)>0, \forall x<0 , \quad f(x)<0

Soit (\alpha, \beta) \in \mathbb{R^2}. Montrer que la solution maximale de l’équation différentielle :

1. y''+f(y')+y=0, \quad y(0)=\alpha, \quad y'(0)=\beta est définie sur \mathbb{R^+}

2. Que peut-on dire de son comportement asymptotique quand le temps tend vers +\infty ?

HS: (?) car je n’ai pas (et n’aurai jamais) la prétention de juger la difficulté par rapport à un admis de l’ENS rue d’Ulm
Ça tend vers 0 ce machin, non ?

[anon33498810]

Int(1/(t-z)) a écrit:

On peut poster des exos d’info ou non ?

The TJFK a écrit:

Oui allez-y, ne vous en privez pas
très belle mise en scène !

[anon46400073]

?!!? Aiemann ??

[anon77994592]

(Pour amener le sujet vers des exercices d’info…)

[anon97037496]

Hoetre a écrit:

Hum, même si j’avais pas mal bossé le hors programme pendant ma 5/2, force m’est de reconnaître que je n’ai eu aucun exo d’oral nécessitant une once de hors-programme.
Des fois je me demande si - à cause de quelques rares exos qui n’auraient pas dû être posés - on ne fait pas tout une histoire de des exos « hors-programmes » qui tombent à X-ens alors que dans le fond il n’y en a presque pas… ^^
Je ne dis pas qu’il faut nécessairement connaitre/utiliser du hors-programme pour réussir.
Il faut en avoir fait pour avoir un niveau qui permette de bien aborder les exercices difficiles.

Et Dunford par exemple, c’est un truc qui est déjà tombé aux concours : Aux mines la première partie consistait à le démontrer ensuite c’était une application. Bien sur on pouvait s’en sortir si on n’avait jamais entendu parler de Dunford, mais ceux qui l’avaient déjà fait avaient clairement un avantage. Surtout pour le recul, l’habitude de manipuler/calculer une décomposition de Dunford etc.
Aiemann a écrit:

[quote=« Keru »]

très intéressant !
[/quote]
Oui , tu connaissais ?
Aiemann a écrit:

[quote=« Int(1/(t-z)) »]
On peut poster des exos d’info ou non ?

The TJFK a écrit:

Oui allez-y, ne vous en privez pas
très belle mise en scène !
[/quote]
Ce serait bien gros quand même que ce soit une même personne^^ ! (le mec qui fait ça doit vraiment être désespéré^^)
Bien que le fait qu’ils reviennent en même temps sur le forum soit assez suspect c’est vrai…

[anon78524453]

AlexZeta a écrit:

[quote=« Retard »]
Il suffit d’aller jusqu’au 51ième nombre premier, exo typiquement sans intérêt…
Je suis bon joueur, je te propose celui là qui est à la mesure de ton agressivité :

(?)(6)(Oral Ulm 2012)
Soit $f$une fonction de classe C^1 sur \mathbb{R} et à valeurs réelles, veriant la propriété :
\forall x >0, \quad f(x)>0, \forall x<0 , \quad f(x)<0

Soit (\alpha, \beta) \in \mathbb{R^2}. Montrer que la solution maximale de l’équation différentielle :

1. y''+f(y')+y=0, \quad y(0)=\alpha, \quad y'(0)=\beta est définie sur \mathbb{R^+}

2. Que peut-on dire de son comportement asymptotique quand le temps tend vers +\infty ?

HS: (?) car je n’ai pas (et n’aurai jamais) la prétention de juger la difficulté par rapport à un admis de l’ENS rue d’Ulm
[/quote]
Ca me fait penser à l’oscillateur de van der pol

[anon97037496]

AlexZeta a écrit:

(4) Soit p un nombre premier, Montrer que :
\exp\left( \sum_p \frac1{p^2}\right)> \frac{\pi}{2}
Je ne comprends pas sur quoi est indexée la somme.

[anon77994592]

Bah sur l’ensemble des nombres premiers.

[anon59787589]

Tel quel c’est sur un seul nombre premier quelconque

[anon97037496]

C’est ce que je me disais, mais comme il a commencé par « soit p un nombre premier » ça n’avait plus de sens pour moi^^

[anon77994592]

Oui au début ça n’a pas de sens, mais après c’est simplement une somme sur l’ensemble des nombres premiers.

[anon59787589]

En fait tel quel l’énoncé est équivalent à : Mq pour tout nombre premier p exp(1/p²)> pi/2

[anon77994592]

Rah mais non !

[anon46638544]

—>Necklor:Rigoureusement l’équivalence est correcte mais à mon avis l’exercice plutôt demande de montrer que exp(somme des carrés de tous les nombres premiers) <pi/2, peut-être une histoire d’indice de lacet, j’ai pas encore essayé, je vous dis si j’ai une idée.

—>Ker(u) et Aiemann: Non, les comptes appartiennent à des personnes distinctes, mais c’est vrai que cela aurait été très amusant que votre conjecture soit correcte !

[anon2707394]

C’est pas mal de faire un topic consacré à une vraie préparation des oraux, j’espère que les gens joueront le jeu (par exemple en postant des exos de tous niveaux et pas juste des ****** comme sur le topic Exos Sympas, et en évitant de répondre un très pédant « trivial » à un exo d’Ulm )

Et pis tiens à propos du HP :

(7) (X PSI) : Soient A et B codiagonalisables. Montrer qu’il existe une matrice C et deux polynômes P et Q tels que A= P(C) et B = Q(C).

Difficulté : ** (ou plus?) avec strictement le cours au programme, ou bien * avec du HP dont tout le monde entend parler en prépa.

Un rigolo :
(8) (X MP) (*) : Montrer qu’il existe un multiple de 23 dont l’écriture en base 10 ne comporte que des 1.

[anon9207458]

Je crois que j’ai trouvé.

On note A(n) le nième nombre de la forme 11111…

De A(n) a A(n+23) on a 24 nombres de cette forme. D’après le principe des tiroirs on a deux nombres congrus modulo 23 donc leur différence est divisible par 23. Or cette différence s’exprime sous la forme 10^k * A(p) donc 23|A(p) d’après le théorème de Gauss

[anon59787589]

(7) (X PSI) : Soient A et B codiagonalisables. Montrer qu’il existe une matrice C et deux polynômes P et Q tels que A= P(C) et B = Q(C).
C = U^(-1)diag(1, 2, 3 .., n)U et P et Q les polynômes d’interpolation qu’il faut

[anon2707394]

muscovado a écrit:

Je crois que j’ai trouvé.

On note A(n) le nième nombre de la forme 11111…

De A(n) a A(n+23) on a 24 nombres de cette forme. D’après le principe des tiroirs on a deux nombres congrus modulo 23 donc leur différence est divisible par 23. Or cette différence s’exprime sous la forme 10^k * A(p) donc 23|A(p) d’après le théorème de Gauss
Très joli, j’avais pas fait comme ça
Necklor a écrit:

(7) (X PSI) : Soient A et B codiagonalisables. Montrer qu’il existe une matrice C et deux polynômes P et Q tels que A= P(C) et B = Q(C).
C = U^(-1)diag(1, 2, 3 .., n)U et P et Q les polynômes d’interpolation qu’il faut
C’est ça

[anon65715481]

En voici un qui ne vient pas des ENS, qui contient du hors programme, à savoir que tout espace vectoriel admet une base, et que si f et g sont deux familles d’un espace vectoriel, f libre et g génératrice, alors le cardinal de f est plus petit que celui de g

(9) (**) On note E le \mathbb{R}-espace vectoriel des applications \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uniformément continues et intégrables sur \mathbb{R}, et F le \mathbb{R}-espace vectoriel des suites de réels absolument sommables.

Soient \varphi = \left ( \begin{array}{ccc} E \longrightarrow \mathbb{R} \\ f \mapsto \int_{\mathbb{R}} f\\ \end{array} \right ) et \psi = \left ( \begin{array}{ccc} F \longrightarrow \mathbb{R} \\ a \mapsto \sum \limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\\ \end{array} \right )

On dit qu’un morphisme (linéaire) \mu: E \rightarrow F est conservatif s’il vérifie \forall f \in E, \psi(\mu(f)) = \varphi(f).

1. Proposer un morphisme E \rightarrow F surjectif et conservatif.
2. Proposer un morphisme E \rightarrow F injectif et non conservatif. (dans la mesure du possible éviter une réponse du genre « parmi ces deux au moins un n’est pas conservatif » )
3. Montrer qu’il existe un isomorphisme E \rightarrow F conservatif.

Pour la difficulté, je ne sais pas trop; il est assez long en tout cas.