(10) (**) Soit p un nombre premier. Déterminer tous les groupes de cardinal p^2.
Le groupe n’est pas nécessairement commutatif?
P.S.: Quelqu’un a-t-il une idée pour l’exo 1 sur la série de Fourier en o(ln(n))?
—>Mocassins:
• L’énoncé n’impose pas que le groupe soit commutatif, par contre il est possible qu’il le soit. (libre à toi de voir si c’est judicieux d’essayer de montrer que le groupe est forcément commutatif) 
• Est-ce que tu as déjà trouvé pour le grand O ? (La démonstration ressert pour le petit o)
Oula je suis pas sûr d’y arriver pour le non commutatif enfin je verrai.
Oui le grand O ça va, justement je m’étais dit que le résultat était inutile pour la suite.
The TJFK a écrit:
(10) (**) Soit p un nombre premier. Déterminer tous les groupes de cardinal p^2.
Ce truc c’est vraiment simple pour quelqu’un qui a suivi un cours d’algèbre un peu poussé (actions de groupes,etc ) et carrément dur pour les autres (je crois que le théorème de Lagrange n’est pas au programme )
—>Mocassins: Pour le grand O est-ce que ta technique fut de majorer le norme 1 du noyau de DIrichlet ? Normalement tu devrais obtenir une majoration de la somme partielle linéaire par rapport à norme infinie de f … Indic: Si on pouvait remplacer la constante devant la norme infinie par n’importe quel epsilon ce serait bien non ?
—>Brank: Ce n’est pas trivial je te l’accorde, donc voici une indic: Montrer que le groupe est commutatif. Une autre indic: A votre avis quels sont les groupes solutions ?
brank a écrit:
[quote=« The TJFK »]
(10) (**) Soit p un nombre premier. Déterminer tous les groupes de cardinal p^2.
Ce truc c’est vraiment simple pour quelqu’un qui a suivi un cours d’algèbre un peu poussé (actions de groupes,etc ) et carrément dur pour les autres (je crois que le théorème de Lagrange n’est pas au programme )
[/quote]
Je confirme : un de mes anciens élèves a eu cet exo à l’oral de l’X il y a deux ans, n’a à peu près rien su faire, et a eu 8 ou 9
Son rang final à l’X est inférieur à cette note…
—>JeanN: Comment expliquez-vous que son rang final à l’X ait été aussi faible (comprendre: aussi bon) alors qu’il avait eu 8 ou 9 ?
Est-ce que
•La notation est très difficile à l’X, ce qui signifie que 8 ou 9 n’est pas si mauvais qu’une telle note en khôlle de prépa ?
•Il avait très bien réussi tout le reste ?
•Avoir 8 ou 9 à un des 2 oraux de maths n’est pas si éliminatoire que ça finalement ?
Je crois que Lagrange est au programme.
@TJFK: Ok je verrai ça. Pour les groupes je voyais du \mathbb{U}_{p^2} ou du {\mathbb{U}_p}^2.
Lagrange est hors-programme depuis plusieurs années mais on peut affirmer qu’il est dans l’ « adhérence du programme » (i.e. fait partie de la culture de base)
—>Mocassins: Oui ta conjecture est correcte (à isomorphisme près). Maintenant comme dirait JeanN, « démonstration ! »
oO je pensais que c’était sur ce genre d’exos que les MP* de Ginette et LLG (j’étais dans aucun de ces 2 lycées) prenaient du point.
JFK, non avoir 9 même aux 2 oraux de maths n’est pas du tout éliminatoire (au moins en MP) regarde les barres. Et oui il a du torcher les autres épreuves.
—>brank: Ok mais de là à être quasi-major de l’X (son rang est <9 car deux commissions et impair donc a priori <=7) il y a un monde de différence
Heureusement pour lui, il n’a pas eu que des exos HP complètement déco***ts… Sa place finale correspond à son niveau général.
Mocassins a écrit:
En voici un qui ne vient pas des ENS, qui contient du hors programme, à savoir que tout espace vectoriel admet une base, et que si f et g sont deux familles d’un espace vectoriel, f libre et g génératrice, alors le cardinal de f est plus petit que celui de g
(9) (**) On note E le \mathbb{R}-espace vectoriel des applications \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uniformément continues et intégrables sur \mathbb{R}, et F le \mathbb{R}-espace vectoriel des suites de réels absolument sommables.
Soient \varphi = \left ( \begin{array}{ccc} E \longrightarrow \mathbb{R} \\ f \mapsto \int_{\mathbb{R}} f\\ \end{array} \right ) et \psi = \left ( \begin{array}{ccc} F \longrightarrow \mathbb{R} \\ a \mapsto \sum \limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\\ \end{array} \right )
On dit qu’un morphisme (linéaire) \mu: E \rightarrow F est conservatif s’il vérifie \forall f \in E, \psi(\mu(f)) = \varphi(f).
- Proposer un morphisme E \rightarrow F surjectif et conservatif.
- Proposer un morphisme E \rightarrow F injectif et non conservatif. (dans la mesure du possible éviter une réponse du genre « parmi ces deux au moins un n’est pas conservatif »
)
- Montrer qu’il existe un isomorphisme E \rightarrow F conservatif.
Sauf erreur, pour le 1) on prend pour \mu (f) la suite des \int_{[n,n+1[} f avec n \in \mathbb{Z} (que l’on réordonne correctement pour faire une suite indexée par \mathbb{N}) : conservatif pour des raisons évidentes, et surjectif car pour tout réel \lambda, on a \lambda = \int_{n}^{n+1} g (x) dx avec g(x) = \frac{\lambda}{\int_{0}^{1} e^{-1/t^2} e^{-1/(1-t)^2} dt} e^{-1/(x-n)^2} e^{-1/(x-n-1)^2}
Pour le 2) on prend la suite (que l’on réordonne etc..) des 1/k^2 \int_{n/k}^{(n+1)/k} f(x)dx, qui est non conservatif et injectif
Pour le 3) on prend \frac{6}{\pi ^2 k^2} \int_{n/k}^{(n+1)/k} f(x)dx
Donc si je me suis pas trompé, pas besoin de HP pour celui-ci. Au fait, d’où vient-il ?
Exo 10 (en partie)
[spoiler]Soit (G,\star,e) un groupe de cardinal p^2.
Alors l’ensemble G_1 des éléments d’ordre 1 ou p dans G est un sous-groupe.
|G_1| \ | \ |G| = p^2 donc |G_1| = 1 ou |G_2| = p ou |G_1| = p^2.
Si |G_1| \leq p alors il existe un élément x d’ordre p^2 dans G et G = <x> est isomorphe à (\mathbb{U}_{p^2},\times).
Sinon, |G_1| = p^2: G_1 = G.
Soit x \in G - \{e\} et soit y \in G - <x> (qui n’est pas vide car <x> = p <p^2).
<x> \cap <y> = \{e\}, sinon comme ces sous-groupes sont de même cardinal ils seraient égaux ce qui contredit la définition de y.
Donc |<x> \cup <y>| > p, donc < <x> \cup <y> > = G (petit abus de notation).
C’est sûrement là que la commutativité sert.
Bon je l’admets pour l’instant.
Soit z \in G, \exists n,q \in [|0;p-1|], z = x^n \star y^q.
Ces entiers sont uniques, en effet si x^n \star y^q = x^{n'} \star y^{q'} alors x^{n-n'} \in <x> = y^{q'-q} \in <y> donc x^{n-n'} = y^{q'-q} = e et comme x,y sont d’ordre p on a n = n' et p = p'.
On pose donc, pour z = x^n \star y^q, \varphi (z) = (e^{\frac{2in\pi}{p}},e^{\frac{2iq\pi}{p}}).
C’est assez clairement un morphisme et il est assez clairement injectif, donc surjectif (argument du cardinal), donc bijectif, de G dans {\mathbb{U}_p}^2.
Pour ce qui est de la commutativité, j’avoue que je vois pas trop.
Peut-être en regardant un sous-groupe bien choisi.[/spoiler]
@Silvere Gangloff:
Pour le 1) oui c’est l’idée. Pour ne pas avoir à réordonner les suites, on peut prendre \mu(f) =(\int_{[-(n+1).-n]} |f| + \int_{[n.n+1]} |f|)_{n \in \mathbb{N}}.
Pour la surjectivité, la fonction que tu proposes dépend de n. J’ai essayé avec plusieurs méthodes et je pense que chercher des foncions lisses, même polynomiales, est plus lourd niveau calcul.
-
Je ne comprends pas, qui est k, et qui est n?
-
Là pareil. Je suis à peu près sûr que rien qu’un isomorphisme entre E et F est impossible à trouver sans HP.
edit: C’est un exo que j’ai « créé », mais je t’assure qu’il n’y a pas d’entourloupe.
Voici une question que j’espère qu’elle est conforme à ce fil:
Soit \Delta=\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) où n\in{\mathbb N}, n \geq 2 et \lambda_1,\cdots,\lambda_n des nombres cmplexes deux à deux distincts.
Démontrer que \Delta est semblable à une matrice carrée A=(a_{ij}) \in {\mathcal M}_n({\mathbb C}) tel que a_{ij} \neq 0, pour tout (i,j)\in {[\![1,n]\!]^2.
Mocassins a écrit:
@Silvere Gangloff:
Pour le 1) oui c’est l’idée. Pour ne pas avoir à réordonner les suites, on peut prendre \mu(f) =(\int_{[-(n+1).-n]} |f| + \int_{[n.n+1]} |f|)_{n \in \mathbb{N}}.
Pour la surjectivité, la fonction que tu proposes dépend de n. J’ai essayé avec plusieurs méthodes et je pense que chercher des foncions lisses, même polynomiales, est plus lourd niveau calcul.
Je ne comprends pas, qui est k, et qui est n?
Là pareil. Je suis à peu près sûr que rien qu’un isomorphisme entre E et F est impossible à trouver sans HP.
Pour le 1, la fonction ne dépend pas de n : en fait si on prend \lambda = a_n et que l’on somme ces fonctions selon n \in \mathbb{Z}, on obtient une fonction antécédent de (a_n). Pour ta proposition, le problème est que ce n’est pas un opérateur linéaire.
Pour le 2), k se déplace sur {\mathbb{N}}^{*} et n \in \mathbb{Z}, ici l’idée est de découper la droite réelle en intervalles réguliers de plus en plus fins : de cette manière, si \mu coincide en deux fonctions, alors la fonction « intégrale » coincide, et par le théorème fondamentale de l’analyse, les fonctions coincident.
Pour le 3), j’admet que je suis allé un peu vite : il y a un problème de surjectivité.
Avec l’en-tête de HP que tu as donné c’est faisable rapidement, par contre je pense que c’est faisable d’expliciter un isomorphisme gentil.
Oui je me suis trompé il faut enlever les valeurs absolues pour mon \mu.
Et effectivement, si g est l’application dont les restrictions aux [n;n+1] sont de cette forme cela fonctionne, c’est même plus simple que ce que j’avais trouvé.
Je ne comprends toujours pas ton 2 et 3, peux-tu écrire un truc du genre pour tout n dans N, morphisme(f)(n) = … stp?
Mocassins a écrit:
Oui je me suis trompé il faut enlever les valeurs absolues pour mon \mu.
Et effectivement, si g est l’application dont les restrictions aux [n;n+1] sont de cette forme cela fonctionne, c’est même plus simple que ce que j’avais trouvé.Je ne comprends toujours pas ton 2 et 3, peux-tu écrire un truc du genre pour tout n dans N, morphisme(f)(n) = … stp?
edit: Ah tu voulais dire qu’on prend une bijection b: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^* \times \mathbb{Z} et on pose morphisme(f)(n) = expression(b(n))[/tex] c’est ça?
Mocassins a écrit:
[quote=« Mocassins »]
Oui je me suis trompé il faut enlever les valeurs absolues pour mon \mu.
Et effectivement, si g est l’application dont les restrictions aux [n;n+1] sont de cette forme cela fonctionne, c’est même plus simple que ce que j’avais trouvé.Je ne comprends toujours pas ton 2 et 3, peux-tu écrire un truc du genre pour tout n dans N, morphisme(f)(n) = … stp?
edit: Ah tu voulais dire qu’on prend une bijection b: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^* \times \mathbb{Z} et on pose morphisme(f)(n) = expression(b(n))[/tex] c’est ça?
[/quote]
Ouaip.