Eh bien, c’est joli tout ça; pas du tout ce que j’avais fait en plus.
Tiens-moi au courant si tu trouves un isomorphisme conservatif ou même un isomorphisme tout court 
Silvere Gangloff a écrit:
[quote=« Mocassins »]
On note E le \mathbb{R}-espace vectoriel des applications \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uniformément continues et intégrables sur \mathbb{R}, et F le \mathbb{R}-espace vectoriel des suites de réels absolument sommables.Soient \varphi = \left ( \begin{array}{ccc} E \longrightarrow \mathbb{R} \\ f \mapsto \int_{\mathbb{R}} f\\ \end{array} \right ) et \psi = \left ( \begin{array}{ccc} F \longrightarrow \mathbb{R} \\ a \mapsto \sum \limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\\ \end{array} \right )
On dit qu’un morphisme (linéaire) \mu: E \rightarrow F est conservatif s’il vérifie \forall f \in E, \psi(\mu(f)) = \varphi(f).
[…]
3) Montrer qu’il existe un isomorphisme E \rightarrow F conservatif.
[…]Pour le 3) on prend \frac{6}{\pi ^2 k^2} \int_{n/k}^{(n+1)/k} f(x)dx
[/quote]
Euh… ce n’est pas vraiment surjectif tout ça.
Alors que moi, j’aurais plutôt fait un truc comme : on prend une bijection \beta entre deux bases B_E et B_F de E et F (qui sont tous deux de dimension \mathrm{card}(\mathbb{R}) sur \mathbb{R}) puis, pour b \in B_E on pose \mu(b) = \frac{\varphi(b)}{\psi(\beta(b))} \beta(b), de sorte que \psi(\mu(b)) = \varphi(b), et on étend \mu par linéarité.
Mais bon, une telle « construction » n’apprend rien du tout…
V@J a écrit:
[quote=« Silvere Gangloff »]
[quote=« Mocassins »]
On note E le \mathbb{R}-espace vectoriel des applications \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uniformément continues et intégrables sur \mathbb{R}, et F le \mathbb{R}-espace vectoriel des suites de réels absolument sommables.Soient \varphi = \left ( \begin{array}{ccc} E \longrightarrow \mathbb{R} \\ f \mapsto \int_{\mathbb{R}} f\\ \end{array} \right ) et \psi = \left ( \begin{array}{ccc} F \longrightarrow \mathbb{R} \\ a \mapsto \sum \limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\\ \end{array} \right )
On dit qu’un morphisme (linéaire) \mu: E \rightarrow F est conservatif s’il vérifie \forall f \in E, \psi(\mu(f)) = \varphi(f).
[…]
3) Montrer qu’il existe un isomorphisme E \rightarrow F conservatif.
[…]Pour le 3) on prend \frac{6}{\pi ^2 k^2} \int_{n/k}^{(n+1)/k} f(x)dx
[/quote]
Euh… ce n’est pas vraiment surjectif tout ça.
[/quote]
Yep, j’ai vu ça, j’essaie de voir si je peux trouver qqchose de proche qui marcherait
Alors que moi, j’aurais plutôt fait un truc comme : on prend une bijection \beta entre deux bases B_E et B_F de E et F (qui sont tous deux de dimension \mathrm{card}(\mathbb{R}) sur \mathbb{R}) puis, pour b \in B_E on pose \mu(b) = \frac{\varphi(b)}{\psi(\beta(b))} \beta(b), de sorte que \psi(\mu(b)) = \varphi(b), et on étend \mu par linéarité.
Mais bon, une telle « construction » n’apprend rien du tout…
Oui, le HP sert principalement à déduire l’existence de l’isomorphisme des questions précédentes sans avoir à calculer les dimensions (le calcul de la dimension nécessite tout de même quelques lignes et d’ailleurs il fait appel au HP aussi).
Il y a un petit argument supplémentaire à utiliser, ici on pourrait très bien avoir \psi(\beta(b)) = 0 pour certains b…
Ah oui, c’est vrai, on utilisé un théorème de base incomplète pour faire en sorte que B_E soit une base de \mathrm{Ker}(\varphi) \oplus H et B_F soit une base de \mathrm{Ker}(\psi) \oplus I, avec H et I supplémentaires de \mathrm{Ker}(\varphi) et \mathrm{Ker}(\psi) ; et du coup, on n’a pas besoin de « remultiplier par un scalaire bien pensé » l’image du premier vecteur de B_E…
On peut obtenir O(n) par CS, et théorème de Perseval 
Mais si vous voulez mon avis, on pourrait peut-être s’en sortir en approchant f par des fonctions dérivables…
(Je lance ça au pif, peut-être que c’est tout à fait stupide.)
J’ai vite fait regardé, comment dire j’ai griffonné deux lignes ^^’
Ça m’a l’air de marcher pour la question O(\ln(n)), je vais regarder la suite, mais sans doute pas cet après-midi.
Pour O(ln(n)) il suffit de majorer la norme 1 du n-ième noyau de Dirichlet (pour le voir, évaluez la somme partielle en un t quelconque puis…). Pour le o(ln(n)), il serait intéressant de voir votre constante multiplicative remplacée par un epsilon aussi petit qu’on veut à partir d’un certain rang… (en particulier, si l’on pouvait se ramener au cas du grand O pour une fonction de norme aussi petite que l’on veut (construite à partir de f (comment la construire ?) ), ce serait bien non ?)
Cryme a écrit:
théorème de Perseval
Conseil pour les taupins : ne pas trop regarder Kaamelott
Et pourquoi pas PerCeval aussi tant qu’on y est ?
Non j’ai pas regardé la tienne encore 
muhu a écrit:
Voici une question que j’espère qu’elle est conforme à ce fil:
Soit \Delta=\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) où n\in{\mathbb N}, n \geq 2 et \lambda_1,\cdots,\lambda_n des nombres cmplexes deux à deux distincts.
Démontrer que \Delta est semblable à une matrice carrée A=(a_{ij}) \in {\mathcal M}_n({\mathbb C}) tel que a_{ij} \neq 0, pour tout (i,j)\in {[\![1,n]\!]^2.
Une proposition de solution : [spoiler]pour le cas où les \lambda_i sont tous non nuls :
Pour t assez petit, (I_n+t J_n) \Delta (I_n+tJ_n)^{-1} convient, avec J_n = (1) (on peut faire un développement limité à l’ordre 1).
Sinon, supposons que \lambda_1 = 0, on prend Q=I_n+E_{2,1} et H=QJ_n (sauf erreur dans le calcul..), dans ce cas (Q+t H) \Delta (Q+tH)^{-1} = Q\Delta Q^{-1} + t(J_n D-DJ_n) Q^{-1} +o(t) et pour t suffisament petit, tous les coefficients sont non nuls.
Bon, il y a probablement une manière de le présenter un peu plus jolie..[/spoiler]
Nombres de Bernouilli, séries entières … (C’est un exo de vraiment bonne qualité je trouve, bravo)
Attends, mais c’est excellent ça !!!
corderaide a écrit:
Pourquoi ce besoin maladif de trier, classer, ranger, quantifier. Vivement que vous sortiez de la prépa pour certains, ça vous fera du plus grand bien.
Je suis sorti de prépa il y a plus d’1 quart de siècle déjà, et pourtant j’ai encore ce besoin maladif de trier, classer, ranger, quantifier…
Je remonte ce topic qui s’était étrangement enterré dans les profondeurs du forum: A partir de maintenant, je propose de consacrer ce topic aux exercices de type X ou Oral Commun ULCR, les exercices dé l’Oral Légendaire Spécifique Ulm se déroulant dans le topic qui lui est consacré