Bonjour à tous,
Hier, j’ai passé mon oral de CCP, j’ai eu un exo sur la nilpotence des matrices (l’énoncé était « Est-ce qu’il existe X, matrice appartenant à M3(R), telle que X²=A avec A=[[0,1,0],[0,0,1],[0,0,0]] ? »), il fallait montrer que X^6=0 donc X n’existe pas en utilisant le théorème « une matrice ne peut pas avoir un degré de nilpotence supérieur à sa taille », qui est largement hors programme.
Seulement voilà, je ne connaissais pas la notion de degré de nilpotence. Du coup, j’ai foiré mon exo et quand j’ai dit à l’examinateur que je pensais que c’était hors programme (ça avait juste fait l’objet d’une remarque dans mon cours de sup), il m’a dit que c’était bien au programme de première année et donc au programme des concours.
J’ai vérifié dans les programmes et j’ai demandé à ma prof de maths, et la notion de nilpotence n’est pas au programme, et le degré de nilpotence encore moins.
Que dois-je faire ? Dans la notice, il est marqué qu’il faut faire une réclamation par écrit juste après l’épreuve. Comme je n’avais pas les programmes sur moi, je suis d’abord rentré chez moi pour les consulter, je n’ai donc pas pu faire la réclamation de suite. Savez-vous quelles conséquences une réclamation aura ? Un repassage de l’épreuve ?
Merci beaucoup.
A+
Hum, c’est bizarre que tu ne l’ai pas vu, même nous en PC avec un prof qui a l’habitude de survoler les cours plutôt que de les enseigner en profondeur, on a parlé plusieurs fois de nilpotence dans des exos de matrices..
Essaie de demander a un autre prof de math pour vérifier que ce n’est effectivement pas au programme, et, si tu as raison, fait la procédure (mais rapidement, parce que ça va prendre un certain temps je pense..) Good luck
Ouais, je connaissais la notion de nilpotence (encore heureux), c’est juste que le théorème qui dit que « une matrice ne peut pas avoir un degré de nilpotence supérieur à sa taille » n’est pas au programme, je ne l’ai jamais vu ni en sup ni en spé, je pouvais pas l’inventer quoi… 
Effectivement ce théoreme ne me dit rien non plus … ( filiere PC je précise ) Pourtant on a fait beaucoup d’exo sur les matrices nilpotentes, mais jamais entendu ce truc !
Je crois qu’en DM et TD on a montré que si une matrice est nilpotente alors son degré de nilpotence est inférieur ou égal à sa taille.
Mais c’était en TD…
Raphaëlle a écrit:
Je crois qu’en DM et TD on a montré que si une matrice est nilpotente alors son degré de nilpotence est inférieur ou égal à sa taille.
Mais c’était en TD…
Intuitivement ça se comprend, c’est pas un théorème trop abstrait, et je m’en doutais bien qu’il y avait un théorème de ce genre à utiliser, mais bon.
Enfin après réfléxion je ne pense pas faire de réclamation, ce serait une perte de temps, et puis c’est pas comme si j’étais resté planté devant l’exo, j’ai quand même essayé de voir si ça marchait en diagonalisant ou en calculant A², le but des oraux c’est pas de terminer l’exercice mais de montrer qu’on sait faire.
Et puis y’a toujours une part de chance dans les oraux, j’en ai pas eu, tant pis, on regarde de l’avant et on révise ceux d’après.
Voilà, par contre si c’est déjà arrivé à quelqu’un je pense qu’un témoignage serait intéressant.
on peut montrer ce résultat rapidement avec les théorèmes au programme :
c’est une conséquence immédiate du th de Cayley Hamilton =)
Il n’empêche que c’était pas le but de l’exercice, et qu’on ne peut pas démontrer un théorème qu’on ne connait pas 
Par contre savez-vous s’il y a d’autre méthodes que celle de la nilpotence pour résoudre l’exercice ? Peut-être qu’il attendait une autre solution, c’est moi qui ait commencé à parler de nilpotence…
Moi je m’en rappelle d’une sans passer par Cayley-Hamilton :
Soit A une matrice nilpotente de Mn(R), ie il existe k entier naturel non nul tel que A^k=0 et A^(k-1)#0
On peut donc trouver un élément X non nul de R^n tel que A^(k-1)X#0
Il vient facilement que la famille des A^iX, pour i dans {0,…,k-1} est une famille libre (je te laisse vérifier Gray) d’éléments de R^n donc a fortiori cette famille contient moins de vecteurs que la dimension de l’espace R^n, ie k<=n.
Je crois que c’est ça qu’il te faut nan ?
Pour revenir sur l’exo meme si c est un peu H.S.
Il ne suffit pas de dire que M^6=0 , mais aussi que M^4<>0.
ie M est nilpotente d’ordre strictement supérieure à sa dimension. Et la conclusion suit.
colis a écrit:
Pour revenir sur l’exo meme si c est un peu H.S.
Il ne suffit pas de dire que M^6=0 , mais aussi que M^4<>0.
ie M est nilpotente d’ordre strictement supérieure à sa dimension. Et la conclusion suit.
En effet, c’est ce que j’avais fait (l’examinateur m’a un peu mis sur la voie). Mais on utilise toujours ce maudit théorème… Y’a aucune autre façon pour montrer que c’est impossible ? (à part paramétrer la matrice et résoudre le système, ce qui se fait bien avec Maple mais pas avec un cerveau 
).
Sinon pour Flyrik, ta démo m’a l’air juste, le théorème est facile à comprendre et apparemment il sert pas mal, bizarre qu’il soit pas au programme…
Si Cayley Hamilton est au programme en PSI je vois pas bien sur quoi porte ta réclamation, on a pas besoin de parler du degrès de nilpotence pour résoudre l’exercice.
X serait juste une matrice dont le polynome minimal est de degrès supérieur à n, ce qui est impossible.
Gray a écrit:
Sinon pour Flyrik, ta démo m’a l’air juste, le théorème est facile à comprendre et apparemment il sert pas mal, bizarre qu’il soit pas au programme…
Ptetre qu’en PSI y a d’autres priorités 
.En PC c’est pire, il n’ont pas les techniques de décomposition en éléments simples au programme.
Boblemoche a écrit:
Si Cayley Hamilton est au programme en PSI je vois pas bien sur quoi porte ta réclamation, on a pas besoin de parler du degrès de nilpotence pour résoudre l’exercice.
X serait juste une matrice dont le polynome minimal est de degrès supérieur à n, ce qui est impossible.
Le polynôme minimal non plus n’est pas au programme de PSI !
Et évidemment que Cayley Hamilton est au programme (je n’ai jamais dit le contraire, relis mon message), mais donne moi une résolution de l’exercice qui n’utiliserai ni la notion de nilpotence, ni le polynôme minimal, juste ce qu’il y a au programme des concours.
L’examinateur m’a dit d’utiliser le théorème que j’ai cité dans le premier post, il m’a dit que j’étais censé le savoir, OR il n’est pas au programme, de plus il m’a parlé de nilpotence, ce n’est pas au programme, et il ne semble pas y avoir d’autres manières de résoudre l’exercice sans utiliser la nilpotence, DONC l’exercice est hors programme. Point barre !
Maintenant peut-être qu’il y a d’autres méthodes de résolution, mais je vois pas.
Dans ton dernier post tu as dit
Gray a écrit:
L’examinateur m’a dit d’utiliser le théorème que j’ai cité dans le premier post, il m’a dit que j’étais censé le savoir, OR il n’est pas au programme, de plus il m’a parlé de nilpotence, ce n’est pas au programme, et il ne semble pas y avoir d’autres manières de résoudre l’exercice sans utiliser la nilpotence, DONC l’exercice est hors programme. Point barre !
Un peu avant t’avais dit
Gray a écrit:
Par contre savez-vous s’il y a d’autre méthodes que celle de la nilpotence pour résoudre l’exercice ? Peut-être qu’il attendait une autre solution, c’est moi qui ait commencé à parler de nilpotence…
Auto-contradiction ?
Je penses que déja le fait que tu as parlé de nilpotence est bon signe, donc pas besoin de stresser 
.
Sinon je ne vois une autre solution a part mapliser comme t’as dit
f(a,b,c,d,e,f,g,h,i)=(0,1,0,0,0,1,0,0,0) (f_{par rapport a une variable}, non linéaire avec des carrées et des fonctions symétriques dedans… seul maple sait faire)
Ben en fait il m’a proposé de calculer A^3, je l’avais fait sur mon brouillon mais je ne lui en avait pas parlé car je pensais que ça menait à rien, donc j’ai vu que A^3=0 et je lui ai dit « la matrice est nilpotente », vieux réflexe de dire tout ce que je pense en oral 
Après il a embrayé sur le théorème avec le degré de nilpotence, même si j’avais pas parlé de nilpotence il l’aurait évoqué car c’est lui qui m’a conseillé de calculer A^3, puis je lui ai dit que je ne pensais pas qu’il était au programme, et que la nilpotence je la connaissais que à travers une remarque dans le cours de première année, là il m’a dit qu’il fallait connaître le cours de première année aussi (oui ça n’avait aucun rapport avec ce que j’avais dit, mais bon ), il m’a énoncé le théorème, je l’ai appliqué, et basta.
C’est dommage car c’était un exercice trèèèès simple. Enfin on verra bien ce que ça donne !
Si X est nilpotente, son polynôme caracteristique est X^n, qui est annulateur d’après Cayley 
HyneX a écrit:
Si X est nilpotente, son polynôme caracteristique est X^n, qui est annulateur d’après Cayley
Et ça prouve rien du tout ça…
Tu montres d’abord que si une matrice X est solution, X et A commutent, puis qu’elles sont diagonalisables toutes 2 dans une même base, puis tu diagonalise et tu résouts.
Il n’y a pas forcément besoin de ce théorème pour résoudre cet exercice, qui n’est donc pas hors-programme. Par contre, son exigence concernant le théorème sur la nilpotence l’est.
Si j’étais toi, je tenterai quand même une réclamation…
Ce serait une perte de temps pour moi (et pour le service des concours).