Dans ce cas A n’est pas diagonalisable et il n’y a pas de solution, donc la méthode précedente reste valable…
Mais alors, je ne vois pas trop l’interêt de venir ici demander si poser réclamation si tu ne comptais pas le faire…
EleKtron a écrit:
Dans ce cas A n’est pas diagonalisable et il n’y a pas de solution, donc la méthode précedente reste valable…
Mais alors, je ne vois pas trop l’interêt de venir ici demander si poser réclamation si tu ne comptais pas le faire…
Parce que entre le jour où j’ai posté le sujet et aujourd’hui, j’ai réfléchi, j’ai demandé conseil à mes profs et à mon entourage, c’est tout.
Et dans le cas où A n’est pas diagonalisable on ne peut pas conclure. Exemple :
A=[[1,2][1,0]]. A n’est pas diagonalisable (si elle l’était, elle serait colinéaire à la matrice identité, ce qui n’est pas le cas). Pourtant, pour X=[[1,1][0,1]], on remarque que X^2=A.
Pourtant, ni A, ni X, ne sont diagonalisables.
c’est suffisant pas nécessaire
EleKtron a écrit:
c’est suffisant pas nécessaire
Eujh… Qu’est-ce qui est suffisant ? Déjà tu commences par supposer que la matrice est diagonalisable, alors qu’elle ne l’est pas, ensuite tu dis que si elle ne l’est pas ça ne marche pas, alors que je viens de te faire un contre-exemple qui prouve le contraire…
Ta méthode ne marche pas 
c’est pourtant celle que l’on fait en cours 
EleKtron a écrit:
Tu montres d’abord que si une matrice X est solution, X et A commutent, puis qu’elles sont diagonalisables toutes 2 dans une même base, puis tu diagonalise et tu résouts.
Il n’y a pas forcément besoin de ce théorème pour résoudre cet exercice, qui n’est donc pas hors-programme. Par contre, son exigence concernant le théorème sur la nilpotence l’est.
Si j’étais toi, je tenterai quand même une réclamation…
2 matrices diagonalisables qui commutent sont en effet codiagonalisables (Mais déja ça fait un exo à part entière, plus dur que celui présenté ici !) mais tu ne peux l’appliquer ici, tes matrices ne sont pas diagonalisables !
Cet exercice n’a rien de hors programme. Le seul résultat utilisé est une application immédiate du théorème de Cayley-Hamilton. Pour tout exo il y a quand même un minimum de chemin à parcourir par soi-même entre les hypothèses de l’énoncé et l’application des théorèmes du cours… sinon les exercices ne seraient pas bien variés 
COMMENT CA ???
CA NE PROUVE RIEN ?
lol faut réfléchir un peu… je crois que tu veux à tout prix que ton exercice soit hors-programme…
Il faut trouver les X tels que X^2 = A or A^3 = 0
Donc SI X EXISTE, ça implique que X^6 = 0
Donc X est nilpotente, donc d’après cayley, X^3 = 0
donc X^4 = 0 donc A^2 = 0 ce qui est manifestement faux
DONC X N’EXISTE PAS …
Il va quand même pas te donner un exo tout maché oO
Et je répète CE N’EST PAS HORS PROGRAMME, à la limite en PC vu qu’on a pas cayley et encore… et la diagonalisation ne sert à rien, car les matrices nilpotentes ne sont pas diagonalisables…
Conclusion, c’est juste l’emploi du vocabulaire « indice de nilpotence » qui est HP, le théorème(si on peut l’appeler théorème…) est quand même une conséquence immédiatement immédiate du théorème de cayley hamilton.
HyneX, toi aussi tu t’appelles Omar c’est cela?
HyneX a écrit:
Donc X est nilpotente, donc d’après cayley, X^3 = 0
Il dit quoi Cayley-Hamilton? Il y a un petit passage que tu as zappé et qui pourrait déranger Gray.
HyneX a écrit:
Il va quand même pas te donner un exo tout maché oO
En effet.
HyneX a écrit:
car les matrices nilpotentes ne sont pas diagonalisables…
Gray, doucement, tu n’es pas content de ne pas avoir fait ton exo comme tu le voulais, mais ne vas pas crier partout qu’il était HP car c’est faux. Les notions qu’on utilise pour le résoudre ne volent tout de même pas très haut. Je suppose qu’en PSI, vous savez que \lambda est valeur propre ssi elle est racine du polynôme caractéristique. Je ne fais que rendre la démo de HyneX plus lisible:
Supposons l’existence d’un tel X. On a X^6=0 et 0 est la seule valeur propre de X donc le polynôme caractéristique de X s’écrit$\chi_X(Y)=-Y^3$. D’après le théorème de Cayley-Hamilton, on a alors X^3=0 et donc X^4=0. Ce qui est absurde.
Maintenant, il faudrait peut-être arrêter de chamailler à propos de ça.
omamar3131 a écrit:
[quote=« HyneX »]
car les matrices nilpotentes ne sont pas diagonalisables…
[/quote]
Bin … c’est vrai ça, non ? A part la matrice nulle, je ne vois comment une matrice diagonalisable pourrait être nilpotente.
Il est clair que les matrices non DZ ne sont pas DZ.
Depuis quand on ne cite pas les cas particuliers en mathématiques?
omamar3131 a écrit:
Il est clair que les matrices non DZ ne sont pas DZ.
Depuis quand on ne cite pas les cas particuliers en mathématiques?
Euh … ? DZ c’est diagonalisable ? ( DiagonaliZable ?! ).
Je ne te suis plus là … 
omamar3131 a écrit:
Gray, doucement, tu n’es pas content de ne pas avoir fait ton exo comme tu le voulais, mais ne vas pas crier partout qu’il était HP car c’est faux. Les notions qu’on utilise pour le résoudre ne volent tout de même pas très haut.
Maintenant, il faudrait peut-être arrêter de chamailler à propos de ça.
Ok, ok, du calme, je cherche juste à avoir une autre méthode au programme pour résoudre l’exercice, je l’ai eu, et bien expliquée, ce qui prouve que l’exo était au programme. C’est bien ce que je disais plus haut, c’est de ma faute si l’examinateur m’a parlé du degré de nilpotence car c’est moi qui ait parlé de nilpotence au début… Calmez vous, je veux absolument pas prouver que c’est un exo hors programme, vu que j’ai abandonné la possibilité de faire une réclamation au jury je cherchais juste à comprendre 
Merci de m’avoir expliqué la méthode, j’avais juste pas capté comment l’utilisation de Cayley pouvait aboutir à une absurdité. Maintenant j’ai compris, merci à tous, et j’espère que ça servira aux autres
Pour omamar oui je m’appelle Omar aussi 
Soit dit en passant, je suis en PC et j’ai eu cet exo en colle au cours de l’année.
Pas besoin de Cayley Hamilton,(indice: il suffit de démontrer par l’absurde que (f,…fk-1) libre, et on peut aussi le montrer matriciellement)
Darunia a écrit:
Soit dit en passant, je suis en PC et j’ai eu cet exo en colle au cours de l’année.
Pas besoin de Cayley Hamilton,(indice: il suffit de démontrer par l’absurde que (f,…fk-1) libre, et on peut aussi le montrer matriciellement)
Ok, là ce qui m’a un peu dérouté c’est que l’examinateur m’a dit que le théorème était au programme et ne m’a rien demandé de démontrer. Mais bon, c’était en fin d’oral, il voulait probablement aller vite !
C’est sûr que si l’exo avait été « démontrer que le degré de nilpotence ne peut pas être supérieur à la taille », ç’aurait été en plein dans le programme, mais là il m’a dit d’utiliser le résultat que j’étais censé connaître. Enfin c’est ma faute, j’aurais pas du parler de nilpotence, j’aurais du passer par Cayley tout de suite. Ce qui est fait est fait !
FourthQuark a écrit:
[quote=« omamar3131 »]
[quote=« HyneX »]
car les matrices nilpotentes ne sont pas diagonalisables…
[/quote]
Bin … c’est vrai ça, non ? A part la matrice nulle, je ne vois comment une matrice diagonalisable pourrait être nilpotente.
[/quote]
Si tu prend des matrices dans des algèbres non intègre, on peut trouver une matrice diagonalisable non nulle et nilpotente (surement, je dis ça d’instinct)
(désolé pour ce post, mais mon esprit de contradiction et ma non volonté de faire mes transparents de TIPE pour dans 4 heures jouent)
Je dirais même plus : quand le corps de base est de caractéristique non nulle (ie tous les éléments tombent à 0 quand on les élève à une puissance supérieure à un certain entier, le plus petit d’entre eux étant appelé caractéristique), toutes les matrices diagonalisables sont nilpotentes d’indice (au pire) la caractéristique du corps, dès lors qu’elles n’ont pas 1 pour valeur propre.
Après, on pourrait même se demander si toutes les matrices (en général) ne sont pas nilpotentes dans ces conditions : non, prendre l’identité. Mais si 1 n’est pas valeur propre, la question n’est pas inintéressante.
FourthQuark a écrit:
[quote=« omamar3131 »]
[quote=« HyneX »]
car les matrices nilpotentes ne sont pas diagonalisables…
[/quote]
Bin … c’est vrai ça, non ? A part la matrice nulle, je ne vois comment une matrice diagonalisable pourrait être nilpotente.
[/quote]
En effet, si la matrice est nilpotente, elle est semblable à Diag(0,…,0), qui est la matrice de l’endomorphisme nul.
Sinon, je crois que les matrices nilpotentes sont trigonalisables, à vérifier.
Bon d’accord … mais c’est quand même tordu 
.
edit :
Le Disciple a écrit:
[quote=« FourthQuark »]
[quote=« omamar3131 »]
[quote=« HyneX »]
car les matrices nilpotentes ne sont pas diagonalisables…
[/quote]
Bin … c’est vrai ça, non ? A part la matrice nulle, je ne vois comment une matrice diagonalisable pourrait être nilpotente.
[/quote]
En effet, si la matrice est nilpotente, elle est semblable à Diag(0,…,0), qui est la matrice de l’endomorphisme nul.
Sinon, je crois que les matrices nilpotentes sont trigonalisables, à vérifier.
[/quote]
Contre exemple un peu plus haut. Si on se place dans Z/pZ on doit pouvoir trouver des matrices diagonalisables et nilpotentes.
Mais c’est tordu