Je vais regarder cet exo de plus près.
Mocassins, ton initialisation à d = - \infty me semble foireuse.
J’ai cherché « inégalité de Hardy » sur Google, ça ressemble pas à mon exo (68)…
Btw je vois mal où passer en polaire. J’avais déjà écrit \frac{1}{i+j+1} = \int_{0}^{1} t^{i+j} dt.
En secouant les calculs et en faisant un Cauchy-Schwarz bien placé j’avais réussi à majorer la somme initiale par (\int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} t^{2i} dt ) \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}, mais c’est encore trop large car en face de \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} j’ai un truc impossible à majorer par pi puisque ça tends vers l’infini quand n tends vers l’infini.
Où passer en polaire étant donné qu’on a pas fait apparaitre d’intégrale double?
@Downham: Je pensais à une initialisation à d = 0, le cas d = -\infty étant trivial. (initialisation à deux valeurs si tu veux)
Mais dans mon truc le passage « montrer que les suites des coefficients des P_n dans la base canonique convergent simplement. » ne se fait pas juste avec l’explication que j’ai donnée. En fait c’est probablement la partie difficile de l’exo.
Downham : si tu veux un truc guidé pour ton exo (68) t’as le sujet CCP PSI de l’année dernière qui le fait : ccp.scei-concours.fr/cpge/sujet/ … -Math2.pdf
(question II.2.3)
@Mocassins : J’ai aussi l’impression que tu n’as pas montré la convergence uniforme sur tout segment mais carrément sur \mathbb{R}, ce qui n’est pas possible (cf le contre exemple de HMOU)
En vrai je crois que si on montre que la limite est dans \mathsbb{R}_d[X], l’essentiel des difficultés est balayé (on trouvera une majoration uniforme de |P(x) - P_n(x)| assez facilement avec une inégalité triangulaire et une majoration de |x|, qui viendra du « sur tout segment » )
Pour le (68) je voudrais pas être trop guidé non plus, c’était « que » un oral Mines Ponts à la base
Oui ce que j’ai fait est n’importe quoi en fait!
Bonsoir, je pense que celui-ci est classique :
(69) : Soit E un espace euclidien, u\in{O(E)} tel que : rg{(u-id_E)}=p. Montrer que u est produit d’au plus p symétries orthogonales par rapport à des hyperplans.
Correction du (67)
[spoiler]Soit (P_{n}) une suite de \mathbb{R}_{d}[X] qui converge simplement.
Soit (a_{i}) un (d+1)-uplet de réels distincts deux à deux et (b_{i}) = (\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{n}(a_{i})) qui existe bien par convergence simple de (P_{n}).
Alors si (P_{n}) converge vers P \in \mathbb{R}_{d}[X], P est nécessairement le polynôme d’interpolation de Lagrange qui envoie la famille (a_i) sur la famille (b_i).
On pose (L_{k})= (\frac{\prod_{i=1, i\neq k}^{d+1} (X - a_{i})}{\prod_{i=1, i \neq k}^{d+1} (a_{k}-a_{i})}) la base de Lagrange de P \in \mathbb{R}_{d}[X] associée à la famille (a_{i}).
On a alors P = \sum_{i=0}^{d} b_{i} L_{i} et on note P_{n} = \sum_{i=0}^{d} \alpha_{i}^{(n)} L_{i}.
Alors par convergence simple, on obtient \forall 1\leqslant i\leqslant n , \alpha_{i}^{(n)} \rightarrow b_{i}
La convergence des coordonnées dans une base implique la convergence de la suite. \mathbb{R}_{d}[X] est de dimension finie donc est fermé et donc (P_{n}) converge dans \mathbb{R}_{d}[X]
On obtient la convergence uniforme sur tout compact par équivalence des normes et car la norme infinie ne définit une norme sur l’ensemble des polynômes que si on se place sur un compact.[/spoiler]
Downham : [spoiler]je pense qu’il y a des points à éclaircir.
\mathbb{R}_{d}[X] est de dimension finie donc est fermé
En tant que sous-espace vectoriel de quel espace vectoriel normé ?
car la norme infinie ne définit une norme sur l’ensemble des polynômes que si on se place sur un compact.
Non, la borne supérieure sur ]0,1] définit bien une norme. Il n’est donc pas nécessaire d’être sur un compact. Et ce n’est pas suffisant car les sous-ensembles de \mathbb{R} constitués d’au plus d éléments sont des compacts.[/spoiler]
Bonsoir tout le monde,
(70) " Lemme d’Hadamard"
Soit A une matrice de Mn(C) a diagonale dominante càd quelque soit i de {1;…;n} , on a
abs(a_i,i)>Sigma(a_i,j) tel que i!=j ,
Montrer que A est inversible .
incontournable !
omaaar a écrit:
Bonsoir tout le monde,
(70) " Lemme d’Hadamard"
Soit A une matrice de Mn(C) a diagonale dominante càd quelque soit i de {1;…;n} , on a
abs(a_i,i)>Sigma(a_i,j) tel que i!=j ,
Montrer que A est inversible .
incontournable !
Oui, mais déjà proposé page 1.
Re-UP du topic, je trouve ça très intéressant !
Bonjour, voici un re-up de ce topic intéressant.
Voici deux théorèmes classiques je pense :
(71) Soit (S_n)_{n\in\mathbb{N}} la suite des sommes partielles de la série \sum\limits_{n\ge0} b_n. Si \lim\limits_{n\to+\infty} \frac{S_0+...+S_n}{n+1}=l avec l qui existe et est finie. Alors pour \vert x\vert<1, la série \sum\limits_{n\ge0} b_n x^n converge et \lim \limits_{x\to 1}\sum\limits_{n\ge0} b_n x^n=l.
(72) Soit (v_n)_{n\in \mathbb{N}^* une suite décroissante à termes positifs telle que la série \sum \limits_{n\ge 1} v_n converge. Alors \lim \limits_{n\to+\infty} nv_n=0.
Pour celui-ci, sintéresser à S_2n -S_n où S_n représente la n ème somme partielle
KGD a écrit:
Au passage, tant qu’on parle du sujet maths-info, on peut aussi rajouter (parce que c’est sympa et que ce n’est pas forcément évident à improviser le jour J)
(66): Soit E un \mathbb R-espace vectoriel de dimension d et soient C_1, \dots, C_n des convexes de E.
Montrer (par récurrence) que si n \ge d+1 et que pour toute partie I \subset \{1, \dots, n\} de cardinal d+1, on a \displaystyle \bigcap_{i \in I} C_i \ne \emptyset, alors \displaystyle \bigcap_{i =1}^n C_i \ne \emptyset
Je me lance :
[spoiler]On procède par récurrence sur n.
Pour n=d+1 c’est immédiat par hypothèse.
Pour l’hérédité, on dispose de n+1 convexes C_1,..,C_n,C_{n+1} de \mathbb{R}^d tel que l’on a pour toute partie I de cardinal d+1, \bigcap \limits_{i\in I} C_i\ne \emptyset.
Soit j\in\{1,...,n+1\}, on sait par hypothèse de récurrence que pour tout k\ne j on a : \underset{k\ne j}{\bigcap \limits_{k=1}^{n+1}} C_k\ne \emptyset. Pour chaque j, il existe un vecteur x_j qui est dans l’intersection et n’appartient pas à C_j. On a l’existence alors de n+1 vecteurs et comme n+1>d, on obtient alors une famille liée. Donc il existe n+1 réels a_1,...,a_n,a_{n+1} non tous nul tel que : a_1 x_1+...+a_{n+1}x_{n+1}=0.
On choisit des coefficients positifs et négatifs. Notons par exemple, b_1,...,b_i les coefficients positifs et c_{i+1},...,c_{n+1} les coefficients négatifs.
On obtient alors le vecteur \textbf{v}=b_1 x_1+...+b_i x_i=-c_{i+1}x_{i+1}-...-c_{n+1}x_{n+1} qui a la propriété de bien appartenir au n+1 convexes, donc l’intersection n’est pas vide.
La propriété est donc vraie pour tout n\ge d+1.[/spoiler]
On peut travailler sur la caractérisation des sous groupes de (\mathbb{R},+) en MPSI.
Pourquoi l’avoir mis en classique MP ?
Cette question n’est absolument pas une critique et vient bien d’une certaine curiosité à utiliser le chapitre sur la topologie des espaces vectoriels normé.
Je trouve ce sujet très intéressant. Quelqu’un aurait d’autres exos classiques à connaître ( ou une liste si cela existe ) ?
C’est long les Cassini et un peu trop dur pour moi j’en ai bien peur
j’ai jamais travaillé sur les Cassini, Il n’ est vraiment pas nécessaire de faire bcps d’exos, tu peux choisir quelque uns à ton gout par chapitres c’est suffisant.
Si le TD de ton prof ne te plait pas, tu pourrais construire ton propre TD, le site bibmath permet de le faire entre autres.
A un polynôme de C avec A(0)=0 et A’(0) non nul
Montrer qu’il existe B un polynôme de C tel que
B(A(X)) = X+X^nT(X)