Je suis d’accord mais c’est pas depuis nos bouquins de maths qu’on va faire changer les choses. Autant en profiter, d’autant plus que ça forme une vraie culture générale mathématique.
On peut rajouter à la liste:
(64): Soit E un \mathbb{R}-espace vectoriel, et A une partie non vide de E.
Montrer que \mathcal{C}(A) = \{\sum \limits_{k=1}^n \lambda_k.x_k \ | \ n \in \mathbb{N}^*, (x_1,...,x_k) \in A^n, (\lambda_1,...,\lambda_k) \in \mathbb{R}_+^n et \sum \limits_{k=1}^n \lambda_k = 1\} est le plus petit convexe de E contenant A.
(tombé à maths-info ENS)
Il est aussi tombé l’année dernière aux mines
Ah oui, avec une indication si je me souviens bien.
Oui c’était guidé quand même, mais ça donnait un bon avantage de l’avoir déjà vu.
Mais il n’est pas trop dur, non ?
Il suffit de montrer qu’il est convexe, qu’il contient A, et que c’est le plus petit.
Sur quel point vous trouvez la difficulté ?
Premièrement, il est convexe, oui !
Il suffit de poser \phi(t) = xt+(1-t)y et d’écrire x,y comme dans la définition et ça marche.
Bien sûr, il contient A, il suffit de prendre n=1…
Et finalement, c’est bien le plus petit, car toute combinaison convexe de points de A doit être dans tout convexe (on peut le voir par récurrence si on veut).
La récurrence n’est pas triviale, il y a une subtilité qui est la même que dans la démo de l’inégalité de Jensen. Je m’étais cassé les dents sur cette question du maths info (sur tout le maths info en fait) du coup je me suis renseigné 
Ok désolé, je l’ai pas faite, elle me semblait pas impossible.
Si tu l’as déjà vu ou si tu te souviens du cours sur les barycentres de terminale ça va, sinon je pense que tu peux perdre beaucoup de temps à ne pas y arriver, même avec un dessin.
Au passage, tant qu’on parle du sujet maths-info, on peut aussi rajouter (parce que c’est sympa et que ce n’est pas forcément évident à improviser le jour J)
(65): Soit E un \mathbb R-espace vectoriel de dimension d et soient x_1, \dots, x_n dans E deux à deux distincts.
Montrer que si n \ge d+2, alors il existe \lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb R non tous nuls tels que \displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i = 0 et \displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i = 0.
En déduire alors que dans ce cas, \{x_1, \dots x_n\} peut être partitionné en deux ensembles d’enveloppes convexes disjointes.
(66): Soit E un \mathbb R-espace vectoriel de dimension d et soient C_1, \dots, C_n des convexes de E.
Montrer (par récurrence) que si n \ge d+2 et que pour toute partie I \subset \{1, \dots, n\} de cardinal d+1, on a \displaystyle \bigcap_{i \in I} C_i \ne \emptyset, alors \displaystyle \bigcap_{i =1}^n C_i \ne \emptyset
Tiens, le théorème de Helly, je me souviens que mon prof de spé me l’avait donné en colle
En voilà un que j’ai trouvé dans plusieurs annales d’oraux mais que j’ai pas encore réussi à résoudre :
(67) Soit (P_{n}) une suite de \mathbb{R}_{d}[X] qui converge simplement.
Montrer que (P_{n}) converge uniformément sur tout compact vers P \in \mathbb{R}_d[X]
Puis je vous met celui là, pas résolu non plus bien que j’ai demandé l’aide de la moitié de ma classe :
(68) Soit (a_{i})_{1 \leq i \leq n} un n-uplet de réels.
Montrer que \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{a_{i} a_{j}}{i+j+1} \leq \pi \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}
c’est quoi ce \mathbb{R}_{d}[X] ?
ça m’a l’air faux ce truc, par contre si t’es sur R une limite uniforme de fonctions polynomiale est polynomiale.
C’est l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à d.
Si on m’avait demandé j’aurais dit « c’est faux » mais j’ai vu 3 fois cette question (ENS Lyon MP, Centrale MP et Mines PSI).
À mon avis le fait que le degré reste borné empèche que tout parte en sucette (dimension finie toussa), c’est pour ça que c’est possible
Merci AlexZeta, je vais regarder ça de plus près
ah oui merci je suis con, si t’avais mis n à la place de d j’aurais compris.Oui c’est vrai dans ce cas [edit: en fait non ]
regarder par exemple la suite du poly (\dfrac{1}{n}x^2)_n?
ahaha bien vu HMOU (convergence simple vers 0 mais pas uniforme sur R )
bon la deuxième assertion est vraie au moins.
preuve: Rd muni de la norme infinie est fermé (car de dimension finie ) dans l’espace vectoriel des fonctions bornées muni de la norme infinie.
J’ai sans doute omis un « sur tout compact »
tjs la première , s’il s’agit des convergence sur des segment je pense que oui. Utiliser les polynômes d’interpolation de Lagrange .
pour la 2ed si une suite de fc poly converge uniformément sur R elle est stationnaire.
Pour le 67, je pense qu’on peut procéder par récurrence sur d.
[spoiler]Soit d \in \mathbb{N}.
-On suppose le résultat vrai pour d.
-On considère une suite de (P_n) \in \mathbb{R}_{d+1}[X]^{\mathbb{N}} et pour n \in \mathbb{N}, on pose Q_n = P_n'.
-On montre que les suites des coefficients des P_n dans la base canonique convergent simplement. (on peut le faire avec la base duale canonique et un argument de dimension finie) <----- erreur
-On en déduit que la suite des Q_n converge simplement, donc uniformément vers un polynôme Q \in \mathbb{R}_d[X]. Par théorème, P_n converge simplement vers une primitive de Q qui est un polynôme, noté P
-On écrit P dans une base de Lagrange, ça ramène le problème à un nombre fini de points, et la convergence simple suffit!
(Le cas d = -\infty ne pose pas trop de problèmes…)[/spoiler]