Oui mais ça c’est de l’« astuce ».
Tu ne sais pas que va donner telle ou telle série 
Même si je te l’accorde, on l’a normalement tous déjà fait une fois dans notre vie.
Oui mais on peut avoir cette idée proposée par JeanN en regardant son cours de physique de début de spé 
Oui oui, je te le concède.
(37) Montrer qu’une forme linéaire est continue si et seulement si son noyau est fermé (dans R).
Je suggère une sorte de « banque de données » qui permettrait d’accéder facilement aux exos proposés ici (un pdf par exemple). Parce qu’au bout d’une dizaine de pages, certains exercices vont nécessairement se perdre (souvent sans correction), ne profitant pas à l’internaute qui se joindrait tardivement à la discussion.
Cela permettrait aussi de faire un joli recueil.
Qu’en pensez vous ?
Je propose qu’on ait une source tex et un pdf compilé.
À chaque fois qu’on rajouterait un exo, on joindrait un zip avec le nouveau tex et le nouveau pdf.
C’est une bonne idée mais c’est compliqué
Les théorèmes du point fixe :
(38) Soit f contractante, et I une partie de E un evn complet telle que I est stable par f.
Montrer que f admet un unique point fixe
(39) Soit f strictement 1-lipschitzienne (telle que |f(x)-f(y)| < |x-y| ) et K un compact stable par f. Montrer que f admet un unique pount fixe.
Et un dernier, moins classique (encore que je l’ai vu posé en 3-4 questions dans un sujet d’écrit) mais dont la résolution est intéressante :
(40) soit f 1-lipschitzienne, et K un compact convexe non-vide stable par f. Montrer que f admet un point fixe.
Pour la 4), peut-on introduire une suite de fonctions auxilières, légèrement perturbées: f_{n}=(1-\frac{1}{n})f ou f^{'}_{n}=f-\frac{g}{n} par exemple, pour se ramener à un cas de fonction strictement contractante ?
Je dis ça sans réfléchir, je regarde de plus près plus tard
Sans doute une bonne idée Cryme, qu’en pense tout le monde ?
Lyap a écrit:
Pour la 4), peut-on introduire une suite de fonctions auxilières, légèrement perturbées: f_{n}=(1-\frac{1}{n})f ou f^{'}_{n}=f-\frac{g}{n} par exemple, pour se ramener à un cas de fonction strictement contractante ?
Je dis ça sans réfléchir, je regarde de plus près plus tardSans doute une bonne idée Cryme, qu’en pense tout le monde ?
C’est ça l’idée principale (c’est pas exactement cette fonction qu’il faut poser je crois, mais t’as fait le plus dur)
Lyap a écrit:
Je suggère une sorte de « banque de données » qui permettrait d’accéder facilement aux exos proposés ici (un pdf par exemple). Parce qu’au bout d’une dizaine de pages, certains exercices vont nécessairement se perdre (souvent sans correction), ne profitant pas à l’internaute qui se joindrait tardivement à la discussion.
Cela permettrait aussi de faire un joli recueil.
Qu’en pensez vous ?
Cryme a écrit:
Je propose qu’on ait une source tex et un pdf compilé.
À chaque fois qu’on rajouterait un exo, on joindrait un zip avec le nouveau tex et le nouveau pdf.
On peut imaginer faire ça avec des regex et PHP, les pages seraient vérifiées toutes les 12h et le latex compilé sous linux automatiquement tous les 10 exos sur un serveur dedié distant ( ca tombe bien j’en ai un) avec toujours le même lien.
Par contre pour ce faire il faut s’en tenir à une numérotation classique sans « bis » par exemple.
Je ferai un petit bout de code tout à l’heure si j’ai le courage.
Ça je te laisse gérer ^^
Mais j’aime bien l’idée d’une banque d’exercices « prepas.org » 
Enfin un topic d’exos qui intéressera le taupin « moyen » !
(41) Montrer que deux sous-espaces vectoriels d’un même espace vectoriel de dimension finie, ayant même dimension, admettent un supplémentaire commun.
C’est vrai ça ?
Ah au temps pour moi ^^ j’ai corrigé l’exo
Ah ouais il était relou celui là, faire un dessin ça servait à rien, même en dimension 3
Ça me rappelle celui ci qui peut être utile :
(42) Montrer que dans un espace préhilbertien, tout sous espace vectoriel complet admet un supplémentaire orthogonal.
C’est pas mal de connaitre un exemple de sev qui n’admet pas de supplémentaire orthogonal aussi.
L’espace des fonctions complexes continues de [0,1], l’intégrale qui va bien, et le sev l’ensemble des fonctions nulles à l’origine.
@Downham: Le résultat auquel tu fais probablement allusion suppose de plus que le sous-espace vectoriel est fermé. Sinon, dans l^2(\mathbb{C}), \mathbb{C}^{(\mathbb{N})} est un contre-exemple.
On peut aussi supposer l’espace seulement préhilbertien et le sous-espace complet; par exemple, sauf erreur, le post de Cryme montre que (C^0([0;1],\mathbb{C}),(\ | \ )_{Cryme}) n’est pas complet.
(C’est difficile à démontrer sans être guidé d’ailleurs non?)
Non, c’est du au fait que le produit scalaire que j’ai défini, donne une norme qui regarde la moyenne du carré, et ne tient donc pas compte de points isolés. Tu peux prendre la suite des triangles, qui converge vers la fonction nulle en norme, mais simplement vers une fonction discontinue.
Je ne comprends pas le rapport avec ce que j’ai dit ^^
Au temps pour moi, je croyais que tu disais que c’était dur de montrer que l’espace que j’ai défini était incomplet ^^