Ah non je parlais de l’exo 42. Après je sais pas y’a peut-être plus simple que la méthode que je connais. Je regarderai comment font les gens.
Je ne crois pas que ton raisonnement montre que l’espace n’est pas complet cela dit.
edit: je me suis trompé tout à l’heure ou du moins j’ai cru que ton sous-espace était évidemment fermé (en passant mentalement à la norme infinie sans m’en rendre compte), maintenant je n’en suis pas sûr. (je croyais que cet espace était complet justement, peut-être même que mon prof en a parlé en cours, je sais plus)
Ben si, cette suite est de Cauchy mais ne converge pas dans l’espace !
[edit : trop tard, tu avais déjà édité]
Justement, elle converge dans l’espace vers l’élément nul. Peut-être parle-t-on de choses différentes?
Ben non sauf si tu as déjà quotienté par les fonctions nulles p.p. Ou bien je débloque ?
Ah oui, mes excuses, je me suis trompé dans l’énoncé, je vais éditer
Cryme, ton contre exemple a pas l’air très simple.
Celui que je connais, c’est l’ensemble des fonctions polynomiales en tant que sev des fonctions continues sur [0,1], muni du produit scalaire (f|g) défini avec une intégrale
Avec un coup de Stone Weierstrass, on montre que l’orthogonal c’est {0}
- Transformée d’Abel ?
Ou bien ED discrète ! 
Oui oui, je vais regarder ça de plus près ^^
Lol avant de commencer à douter de notre santé mentale je propose de clarifier un peu les choses:
Ce que j’ai compris de l’explication de Cryme, c’est qu’il existe une suite de fonctions triangulaires qui converge dans (E = C^0([0;1],\mathbb{C}), \| \|), où \| \| est la norme associée à ( \ | \ ): (f,g) \mapsto \int_{[0;1]} f\overline{g}, vers l’élément nul, et qui converge simplement vers une application [0;1] \rightarrow \mathbb{C} non continue.
Dans le même style, il y a la suite des fonctions puissance (t \mapsto t^n)_{n \in \mathbb{N}}.
Mais comme cette suite converge supposément dans (E,\| \|), je ne vois pas où on veut en venir.
Oui, justement, c’est faux ce que j’ai dit.
Et la suite dont je parlais c’est le fameux triangle au milieu, de pic 1, de base \frac{2}{n}, bien classique 
S_{n+1} = S_n + \frac{1}{(n+1)^\alpha} \leftrightarrow y' = \frac{1}{x^\alpha}
Mais du coup, ça rejoint l’idée de l’intégrale ^^
Équation différentielle 
Peut-être, je l’utilise comme une méthode heuristique pour ma part 
(44) Montrer que dans un groupe fini de cardinal n, on a x^n = 1 pour tout x.
(45) Montrer que le produit de tous les éléments non nuls d’un corps fini (donc commutatif (à admettre)) est égale à -1.
Oui, pour 42), j’aurais fait un peut comme Cryme: ED et accroissements finis.
Remarquons que par comparaison avec la série harmonique notoirement divergente on sait que la série de Riemann diverge lorsque \alpha \leq 1, ou à moindre frais que \alpha =1 ne convient clairement pas. On prend donc un \alpha différent de 1.
L’idée est de remplacer un terme par une différence, car il est très facile de caractériser la convergence d’une série télescopique ! Tout en restant dans la veine de dérivation/intégration, on peut donc penser à utiliser légalité des AF \exists c_{n}\in \left [ n,n+1 \right ]/ f(n+1)-f(n)=f'(c_{n}). Et naturellement, on écrit donc:
il existe c_{n}\in \left [ n,n+1 \right ] tel que \frac{1}{(n+1)^{\alpha -1}}-\frac{1}{n^{\alpha -1}}= \frac{1-\alpha }{c_{n}^{\alpha}}
Comme c_{n}\sim n, on a l’équivalence: \sum \frac{1}{n^{\alpha }} converge si et seulement si \sum \frac{1}{(n+1)^{\alpha -1}}-\frac{1}{n^{\alpha -1}} converge, id est ssi \frac{1}{n^{\alpha -1}} tend vers 0 !
Downham vous avez pas encore vu ça en algèbre linéaire avec le lemme des noyaux et cayley hamilton ?
Bref en fait pour les equadiff tu prends un operateur lineaire sur des fonctions( derivation) et pour les suites tu prends l endo qui a une suite (un) associe u:n–>u(n+1)
Du coup tu resous aussi de la meme maniere les equa diff a coeffs constants et les suites a recurrence lineaire
a. Il n’y en a pas --"
b. Toutes les fonctions !
c. Les fonctions constantes
d. Les fonctions constantes encore !
e. Les fonctions nulle part continues ? wtf
f. Les fonctions bornées.
g. Les fonctions continues ! (cf contraposée…)
h. Les fonctions bornées encore.
i. Les fonctions croissantes ?
ça me rappelle un peu l’histoire (malheureusement apocryphe) qui avait commencé toute une thèse sur les fonctions a-hölderiennes pour a>1…
Ah oui, bien sûr ^^
Et effectivement il manque UC, on voit que la fonction carré ne convient pas
(47) Soit E un euclidien, (x_1,…,x_n) une famille de vecteurs de E.
Monter que |[x_1,…,x_n]|=<||x_1||…||x_n||. ([…] désigne le produit mixte)
Cas d’égalité ?
(48) Soit E un K-ev de dim finie, f un endomorphisme de E à polynôme caractéristique scindé sur K.
Monter qu’il existe un unique d et un unique n, endomorphismes de E tq:
(i) f = d + n
(ii) d diagonalisable et n nilpotent
(iii) d et n commutent
(Celui-ci est relativement moins facile si jamais vu, mais reste ultraclassique)
(49) Monter que l’intégrale entre x et x+1 (x>0) de ln o Gamma vaut xlnx - x + 1/2 ln2pi.
