hadri1.2b a écrit:
[quote=« Jay Olsen »]
[quote=« Jay Olsen »]
Du coup je relance avec un exo mi sens physique mi maths qui sera au moins plus réaliste.
On veut tracer un cercle dans Google Earth représentant l’ensemble des points distants d’une distance D de Paris. D peut être petit comme grand (jusqu’à 20 000km). On approxime Paris par les coordonnées 49N 2E. On suppose connue la méthode permettant de créer un fichier kml pour Google Earth à partir de la liste des coordonnées du cercle.
1 – Méthode petit bras :
a) Pour des cercles de petites tailles (<1000km), quelle approximation simple pouvez-vous utiliser pour résoudre l’exercice de manière triviale ?
2 - Méthode complète :
La méthode petit bras pose des problèmes, notamment si une latitude calculée dépasse 90°.
a) Calculer la distance entre deux points à la surface du globe en fonction de leurs coordonnées.
b) Donner un premier point du cercle, qui existerait quel que soit le rayon D du cercle.
c) Utiliser ce point pour créer le cercle entier.
La partie plan de résolution c’est du sens physique.
La partie résolution des équations c’est des maths.
Personne n’a kiffé mon exo ?
[/quote]
Si mais je sais pas quoi répondre. Mais il est swag quand même.
[/quote]
Méthode petit bras vs méthode gros bras pour un cercle de 4500km autour du point de coordonnées 0 0 :
Ca vous met en bouche ou pas ? 
Indices :
- Pour la méthode petit bras, assimiler la terre localement à un plan, et regarder la définition historique du mile nautique, penser à ce qu’il se passe aux poles pour la longitude
- Pour la méthode gros bras, voir qu’il faut calculer un angle pour avoir la distance, se demander comment calculer un angle dans l’espace
- Penser à comment définir un cercle sur terre à partir du centre et d’un point du cercle. L’image ci haut est un bon indice, même si mal orientée.
Je mets la solution en spoiler :
[spoiler]Le mile nautique a été créé pour correspondre à une minute d’arc en latitude.
En longitude, la distance correspondant à un degré d’angle diminue au fur et à mesure que la latitude augmente.
Un degré de longitude a la même distance qu’un degré de latitude à l’équateur, mais un degré de longi vaut 0 une fois aux poles. Perso je me fais même pas chier et je décrète que la conversion se fait avec le cos de la latitude, et ça marche. J’ai pas cherché à le prouver car c’est vrai.
Donc, vous pouvez maintenant faire votre formule pour passer du x,y aux coordonnées, avec le facteur une minute = un mile nautique = 1852 mètres pour la lat, et une minute de longi = un mile nautique * cos lat
Voilà pour la méthode petit bras.
Pour la méthode gros bras :
- Pour la distance entre deux points, il faut trouver l’angle alpha. Une fois l’angle alpha connu, d=αR (c’est la définition du radian!!)
i.gyazo.com/94e415725a58e8734a7 … 854326.png
Pour avoir l’angle alpha, on va faire le produit scalaire.
Attention, les formules relou commencent :
Dans le repère terreste x,y,z, on va définir r le vecteur du centre de la terre vers le point à la surface de coordonnées lat lon
r=cos(lat)cos(lon)x+cos(lat)sin(lon)y+sin(lat)z
Pour calculer un angle dans l’espace on va faire un produit scalaire r1r2=cos(alpha)
A ce stade, je raccourcis les notations : cos(=c, sin(=s, lat=T, lon=N et comme il y a deux points, ça sera T1 N1 et T2 N2 (ou en minuscule)
cos(d/Rt) = cdr = cα = ct1cn1ctncn2+ct1sn1ct2sn2+st1st2
Voilà pour la formule donnant la distance entre deux points
Maintenant, trouvons un premier point du cercle, c’est la partie la plus intéressante.
Où que l’on soit sur terre, il y aura forcément un point du cercle qui aura une longitude égale. Du coup n1=n2, et dans la formule il ya un c²n1+s²n1=1 qui simplifie la formule en :
cdr=ct1ct2+st1st2
On a donc un point dont on connait la latitude, on cherche un point de même latitude.
On peut résoudre l’équation de deux manières différentes suivant son courage et ses idéaux scientifiques.
Cf ce post pour la résolution de cette équation, avec les deux méthodes décrites :
viewtopic.php?p=815808#p815808
On a maintenant un point central et un point du cercle, pour avoir les autres points du cercle on va faire tourner dans l’espace le point du cercle autour de l’axe du point central.
Pour ça on sort son cours de MPSI et les matrices de rotation.
On commence par créer la matrice de rotation 5° autour de l’axe z (5°, ou un autre petit angle, car on va créer les points du cercle 1 à 1 par petites rotations successives)
On créée aussi la matrice permettant de passer des axes du repère canonique aux axes du repère dont l’axe z passe par le centre du point R1 (j’appelle cette base b1, donc la matrice s’appelle Pbcb1)
Et normalement, si tout se passe bien, notre point rotationné de 5° s’écrit :
Pbcb1*Rotz(5°)Pb1bcr2, avec r2 le point qu’on a trouvé initialement sur le cercle
Il ne reste plus qu’à faire plein de petites rotations et tout compiler dans un fichier kml 
[/spoiler]
).
Et ça marche vraiment pas mal (cf le cercle rouge)
)
