Salut,
Je pense qu’il est temps de faire revivre ce topic mais je proposerais quelques règles pour qu’il ne retombe pas dans les oubliettes du forum.
- Citer le problème dont on donne la solution.
- Spoiler les solutions (ou les pistes traitées)
- Expliciter les notations utilisées, si nécessaire
Voilà en espérant une participation assez active, je commence par un joli exo :
Exo 1
Soit a et b deux complexes. A quelle condition la suite (z_n) définie par z_{n+1}=az_{n}+b est-elle périodique à partir d’un certain rang?
xpec a écrit:
- Spoiler les solutions (ou les pistes traitées)
Je suppose que tu veux dire « ne pas spoiler » ?
Exo 1
Soit a et b deux complexes. A quelle condition la suite (z_n) définie par z_{n+1}=az_{n}+b est-elle périodique à partir d’un certain rang?
Si on sait résoudre ce genre de suites (et on le sait) ce n’est pas très difficile de conclure ensuite.
L’exercice serait peut-être plus intéressant si on s’intéressait au cas matriciel.
Nuhlanaurtograff a écrit:
Je suppose que tu veux dire « ne pas spoiler » ?
Je pense plutôt qu’il voulait dire : utiliser les balises /spoiler.
En effet 
C’est pas très animé ici. Je lance un exo. Soit E un espace vectoriel de dimension finie, f un endomorphismede E, P le polynôme minimal de cet endomorphisme. Montrer que si \lambda est une racinede P, alors c’est une valeur proprede f.
« Polynôme minimal » et « Valeur propre » sont des concepts qui ne sont pas a priori connus des taupins de sup.
Ouais, mais vu qu’on l’a fait en classe, je me disais que…
La section "exo sympas MP/MP* ne comporte elle pas quelques brins de hors-programmes elle aussi 
Je trouve ça néfaste de mettre des mots hors programme si non définis, que ce soit ici ou dans le topic que tu cites.
Ok.
Le polynôme minimal d’un endomorphisme est le générateur de l’idéal (c’est HP ?) des polynômes annulateurs de cet endomorphisme.
\lambda valeur propre d’un endomorphisme si et ssi \exists u \in E non nul tel que f(u)=\lambda u.
Un idéal I est un sous-ensemble d’un anneau commutatif A qui vérifie:
I est groupe additif, et pour tout a de A et x de I, ax est dans I.
Ce coup-ci, c’est bon 
Générateur d’un idéal, aussi… Bref, ça fait beaucoup de définitions pour pas grand chose (surtout pour quelque chose qui sera explicitement dans le cours de MP). Il y a mieux pour exercer l’esprit.
Bon ok, on laisse tomber.
Un truc qui n’utilise pas vraiment le programme mais bon :
Montrer que \forall n \in \mathbb{N}, E(\sqrt{n} + \sqrt{n+1}) = E(\sqrt{4n+2}).
vincentroumezy a écrit:
Un idéal I est un sous-ensemble d’un anneau A qui vérifie:
I est groupe additif, et pour tout a de A et x de I, ax est dans I.
Ce coup-ci, c’est bon 
Non. Ta définition est incorrecte.
D’autre part, l’exo est à peu près sans intérêt, le polynôme minimal divisant le polynôme caractéristique. Ah c’est hors programme de sup ? Comme tout le reste !
Philippe PATTE a écrit:
[quote=« vincentroumezy »]
Un idéal I est un sous-ensemble d’un anneau A qui vérifie:
I est groupe additif, et pour tout a de A et x de I, ax est dans I.
Ce coup-ci, c’est bon
Non. Ta définition est incorrecte.
D’autre part, l’exo est à peu près sans intérêt, le polynôme minimal divisant le polynôme caractéristique. Ah c’est hors programme de sup ? Comme tout le reste !
[/quote]
A commutatif ? 
Sinon en voilà un sur les suites :
Soit (U_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de réels qui vérifie : U_{a+b} \leqslant U_{a} + U_{b} pour tous a,b dans \mathbb{N}. Montrer que la suite (V_n)=(U_{n}/n) converge vers son inf.
Asymetric a écrit:
Un truc qui n’utilise pas vraiment le programme mais bon :
Montrer que \forall n \in \mathbb{N}, E(\sqrt{n} + \sqrt{n+1}) = E(\sqrt{4n+2}).
Suppsons que E(\sqrt{n} + \sqrt{n+1}) \neq E(\sqrt{4n+2}) alors \exists k \ de \ \mathbb{N}, \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \leq k \leq \sqrt{4n+2} Donc 2n+1+ \sqrt{n} \sqrt{n+1} \leq k^{2} \leq 4n+2 soit 4n+1<2n+1+ \sqrt{n} \sqrt{n+1} \leq k^{2} \leq 4n+2 d’où 4n+1< k^{2} \leq 4n+2 et comme k^{2} est un entier, alors nécessairement k^{2} = 4n+2 ce qui n’est pas possible étant donné qu’un carré n’est jamais congru à 2 modulo 4
Je vous propose les exos suivants :
-
Soit x_{1},x_{2};x_{3}...,x_{100} 100 entiers naturels tels que x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{100}=x_{1}x_{2}x_{3}...x_{100}
Montrer qu’au moins 93 de ces entiers sont égaux à 1.
-
Soit f une application définie de \mathbb{Z} vers \mathbb{R} ainsi : f(x)=ix-E(ix) où i est un irrationnel. Montrer que f est injective.
xpec a écrit:
- Soit x_{1},x_{2};x_{3}...,x_{100} 100 entiers naturels tels que x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{100}=x_{1}x_{2}x_{3}...x_{100}
Montrer qu’au moins 93 de ces entiers sont égaux à 1.
Non tous nuls, j’imagine.
Ce qui entraîne tous non nuls. Le produit est inférieur à cent fois le plus grand terme que j’appelle c, et supérieur à 2^ {(p-1)}*c. Où p est le nombre d’entiers différents de 1.
De sorte que 2^{(p-1)}<101 et p<7.
Pour la 2):
Soient x et x’ deux éléments de \mathbb{Z} tels que f(x)=f(x’).
Donc, i(x-x’)=E(ix)-E(ix’). Donc x-x'=\frac{E(ix)-E(ix')}{i}.
Or x et x’ sont entiers, donc x-x’ est entier, et E(ix)-E(ix’) est entier, donc, soit E(ix)-E(ix’) est nul, soit i est rationnel ce qui est absurde, donc x-x’=0, donc x=x’.
Donc f est injective.