Un exo très élémentaire de difficulté moyenne:
Soit E un ensemble fini non vide muni d’une loi interne associative . . Montrer qu’il existe un élément indempotent pour cette loi. (i.e un x\inE tel que x.x=x).
compol a écrit:
Soit E un ensemble fini non vide muni d’une loi interne associative . . Montrer qu’il existe un élément indempotent pour cette loi. (i.e un x\inE tel que x.x=x).
E est fini donc si on note f l’application de E dans E définie par f(x)=x.x=x^2, il existe a,b \in \mathbb{N} avec a<b tq f^{a}(x)=f^{b}(x). On a : f^{b-a}(f^{a}(x))=f^{a}(x) i.e f^{n}(y)=y avec n=b-a et y=f^{a}(x). Or f(y)=y^2 et par récurrence f^{k}(y)=y^{{2}^{k}} pour tout k. On conclut en montrant que $z=y^{{2}^{k-1}}$est un indempotent qui marche. L’associativité sert en fait à pouvoir bidouiller les écritures puissances.
Mon exo sur les suites n’a pas été remarqué ou il n’est sympas pour personne. Je le repose :
Soit (U_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de réels qui vérifie : U_{a+b} \leqslant U_{a} + U_{b} pour tous a,b dans \mathbb{N}. Montrer que la suite (V_n)=(U_{n}/n) converge vers son inf.
D’ailleurs « sympas » c’est dans quel sens pour vous sur ce sujet ? Donne du fil à retordre, drôle (perso j’ai jamais rigolé devant un exo mais bon certaines personnes…), classique dans le sens à savoir par coeur ?
Perso, un exo sympa c’est un exo…amusant, interessant, astucieux, pas trop calculatoire et qui donne du fil à retordre (dans le sens où il ne se resout pas du premier coup d’oeil) !
Oui, je pense que ton exo interessant, j’essairai de le résoudre quand j’aurai du temps!
Voilà!
MATHADOR a écrit:
Mon exo sur les suites n’a pas été remarqué ou il n’est sympa pour personne. Je le repose :
Soit (U_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de réels qui vérifie : U_{a+b} \leqslant U_{a} + U_{b} pour tous a,b dans \mathbb{N}. Montrer que la suite (V_n)=(U_{n}/n) converge vers son inf.
Je l’aime bien. Quand bien même il faut se méfier, parce que la suite (V_n) ne converge pas forcément, mais pourrait également tendre vers -\infty (qui serait, toutefois, son inf). De manière générale, j’aime bien la plupart des exos « faisables » posés ici (dont le tien) mais je ne réagis pas trop parce qu’il vaut mieux laisser des sups se faire la main dessus, à mon avis.
Tu as l’air de connaître tous les exos posables, ce n’est plus drôle 
. C’est à force d’en faire ou alors tu les as archivé dans des fiches etc ? Moi depuis les vacances de la toussaint je tiens un cahier d’exos à connaître. Je mets les exos que je trouve : soit très durs, soit qui se réutilisent ailleurs dans d’autres exos, soit qui sont classiques (ça on doit me le dire car souvent ben je le sais pas avant de le revoir une deuxième fois). Et le week end si j’ai finis mes DM et mes TD, j’en refais certains, et dans les transports, je lis les énoncés et les corrigés quand je ne dors pas. Au final c’est un peu comme les formule de trigo sauf que les c’est des exos ^^. Pour la physique, je tiens un petit cahier pareil avec constantes et des ordres de grandeur à savoir par coeur et les exos à connaître mais il est bien moins fourni que celui de maths pour l’instant. Des conseils ?
Réfléchir ?
A mon avis, ingurgiter des exos connus par coeur c’est pas très rentable, il vaut mieux s’exercer à réfléchir à nouveau sur chaque exo, de manière propre à chaque exo.
V@J a écrit:
[quote=« MATHADOR »]
Mon exo sur les suites n’a pas été remarqué ou il n’est sympa pour personne. Je le repose :Soit (U_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de réels qui vérifie : U_{a+b} \leqslant U_{a} + U_{b} pour tous a,b dans \mathbb{N}. Montrer que la suite (V_n)=(U_{n}/n) converge vers son inf.
Je l’aime bien. Quand bien même il faut se méfier, parce que la suite (V_n) ne converge pas forcément, mais pourrait également tendre vers -\infty (qui serait, toutefois, son inf). De manière générale, j’aime bien la plupart des exos « faisables » posés ici (dont le tien) mais je ne réagis pas trop parce qu’il vaut mieux laisser des sups se faire la main dessus, à mon avis.
[/quote]
Surtout que tu l’as déjà fais par le passé, c’est un Cassini.
Je l’ai eu en colle je crois bien.
Que je trouve relativement difficile en sup, enfin bon, chacun son avis.
Je propose autre chose qui semble être classique :
Montrer qu’un espace vectoriel sur un corps infini ne peut être une union finie de ses sous-espaces vectoriels stricts.
Asymetric a écrit:
Montrer qu’un espace vectoriel ne peut être une union finie de ses sous-espaces vectoriels stricts.
Le plan (Z/2Z)^2 est la réunion de trois droites.
Philippe PATTE a écrit:
[quote=« Asymetric »]
Montrer qu’un espace vectoriel ne peut être une union finie de ses sous-espaces vectoriels stricts.
Le plan (Z/2Z)^2 est la réunion de trois droites.
[/quote]
Je pense qu’il manquait l’hypothèse de corps de base infini, mais dans ce cas l’exo me semble facile (enfin surtout archi-classique)
Un exercice original abordable par un élève de seconde pour les amoureux de la géométrie comme moi :
On dispose d’une règle dépourvue de graduation à l’exception de deux traits distants de 1. Les constructions élémentaires possibles avec cet instrument sont :
- le tracé de la droite passant par deux points donnés,
- le tracé de l’extrémité d’un segment de longueur 1, la droite et l’origine du segment étant données.
Démontrer que cet instrument permet de tracer un triangle équilatéral de côté égal au nombre d’or \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.
Et un autre plus dans l’esprit de la sup pour ne pas me faire haïr: ( très facile si on a déjà vu ce type d’argument, sinon assez dur pour un novice )
Démontrer qu’un corps fini a nécessairement un cardinal de la forme p^n avec p premier et n dans$\mathbb{N}^*$.
Philippe PATTE a écrit:
[quote=« Asymetric »]
Montrer qu’un espace vectoriel ne peut être une union finie de ses sous-espaces vectoriels stricts.
Le plan (Z/2Z)^2 est la réunion de trois droites.
[/quote]
J’ai en effet oublié une hypothèse que je rajoute tout de suite.
Asymetric a écrit:
J’ai en effet oublié une hypothèse que je rajoute tout de suite.
J’apprécie énormément. J’aurais aimé que Vincentroumezy fasse comme toi pour sa définition d’un idéal.
Ca arrive à tout le monde d’oublier une hypothèse dans un énoncé. A moi le premier.
compol a écrit:
[quote=« Philippe PATTE »]
[quote=« Asymetric »]
Montrer qu’un espace vectoriel ne peut être une union finie de ses sous-espaces vectoriels stricts.
Le plan (Z/2Z)^2 est la réunion de trois droites.
[/quote]
Je pense qu’il manquait l’hypothèse de corps de base infini, mais dans ce cas l’exo me semble facile (enfin surtout archi-classique)
[/quote]
Classique mais difficile sans indications pour un élève normal, même en seconde année.
Et un autre plus dans l’esprit de la sup pour ne pas me faire haïr: ( très facile si on a déjà vu ce type d’argument, sinon assez dur pour un novice )
Démontrer qu’un corps fini a nécessairement un cardinal de la forme p^n avec p premier et n dans$\mathbb{N}^*$.
Totalement infaisable avec le programme de première année.
Ca me rassure 
Philippe PATTE a écrit:
[quote=« Asymetric »]
J’ai en effet oublié une hypothèse que je rajoute tout de suite.
J’apprécie énormément. J’aurais aimé que Vincentroumezy fasse comme toi pour sa définition d’un idéal.
Ca arrive à tout le monde d’oublier une hypothèse dans un énoncé. A moi le premier.
[/quote]
C’est même normal.
(D’ailleurs ça n’a jamais été son fort à vincentroumezy de poster des énoncés correctes).
Philippe PATTE a écrit:[quote=« Asymetric »]
Montrer qu’un espace vectoriel ne peut être une union finie de ses sous-espaces vectoriels stricts.
Classique mais difficile sans indications pour un élève normal, même en seconde année.
[/quote]
En êtes-vous sûr ?
Une application astucieuse du principe des tiroirs permet de répondre à la question pourtant.
Et un autre plus dans l’esprit de la sup pour ne pas me faire haïr: ( très facile si on a déjà vu ce type d’argument, sinon assez dur pour un novice )
Démontrer qu’un corps fini a nécessairement un cardinal de la forme p^n avec p premier et n dans$\mathbb{N}^*$.Totalement infaisable avec le programme de première année.
Peut-être pas infaisable, je dirais que ce n’est pas très dans l’esprit de sup et surtout très difficile.
J’ai déjà fait (en fait regardé la solution car je l’avais pas trouvé) l’exo sur l’union de sev, et je le trouve bien plus difficile que celui que j’ai posté sur les suites, surtout au niveau de la rédaction. Mais bon, classique ne veut pas dire facile après-tout !
Philippe PATTE a écrit:
[quote=« Philippe PATTE »]
Classique mais difficile sans indications pour un élève normal, même en seconde année.
[/quote]
En effet, je me suis mal exprimé. Je n’aurais pas dû utiliser d’abord la conjonction de coordination « mais » qui rend ma phrase peu compréhensible. De plus, l’adjectif « facile » est utiliser à tort. J’avais en tête au début l’exercice sur la réunion de 2 sous-ev (ou 2 sous-groupes) formant un espace vectoriel (respectivement un groupe) et où il faut montrer que l’un est inclus dans l’autre. Or cet exercice n’est clairement pas le même, et est nettement moins classique. Désolé pour toutes ces erreurs.