MATHADOR a écrit:
J’ai déjà fait (en fait regardé la solution car je l’avais pas trouvé) l’exo sur l’union de sev, et je le trouve bien plus difficile que celui que j’ai posté sur les suites, surtout au niveau de la rédaction.
Hmm, je posterais ma solution plus tard qui a l’air trouvable si personne ne poste.
Ca remonte unpeu les dossiers que tu nous sors Asymetric 
Je vais corriger de ce pas cette (petite) erreur/
compol a écrit:
En effet, je me suis mal exprimé. Je n’aurais pas dû utiliser d’abord la conjonction de coordination « mais » qui rend ma phrase peu compréhensible. De plus, l’adjectif « facile » est utiliser à tort. J’avais en tête au début l’exercice sur la réunion de 2 sous-ev (ou 2 sous-groupes) formant un espace vectoriel (respectivement un groupe) et où il faut montrer que l’un est inclus dans l’autre. Or cet exercice n’est clairement pas le même, et est nettement moins classique. Désolé pour toutes ces erreurs.
Clair que pour 2 sev, c’est trivial. Pour l’exo posté, conceptuellement il n’est pas dur mais au niveau rédaction c’est horrible (ou je m’y prends comme un manche). Je vais chercher celui sur les corps.
Je trouve souvent les exercices d’algèbre générale (en particulier sur l’union de sev) plus difficiles que ceux d’analyse (en particulier sur les suites de M A T H A D O R, dites « sous-additives »), peut-être parce qu’en analyse il est plus facile de prendre des exemples et de particulariser (je sais, je suis un affreux analyste). En prépa qui plus est, l’évolution va vers plus d’analyse et moins d’algèbre sur les dernières années. Et effectivement, les rares fois (je devrais mettre un singulier) où j’ai posé l’exercice sur l’union de sev en colle, ça a été un massacre, en deuxième année, et avec un élève que j’estimais très bon pour la classe où je collais…
MATHADOR a écrit:
Clair que pour 2 sev, c’est trivial
Trivial n’est pas vraiment approprié non plus…
Sinon :
soit (a,b,c) \in \mathbb{C} tel que |a|=|b|=|c|=1 et a+b+c=1
Montrer que l’un, au moins, de ces 3 complexes est égal à 1.
C’est pas qu’il soit particulièrement magique, mais il m’est resté (je crois et espère qu’il ne manque pas d’hypothèse) car c’est le tout premier exo que j’ai eu à faire en entrant en sup’ 
Ah et puis pour moi, pour être fort en maths, le plus important, ce n’est pas d’avoir une super intuition qui fait résoudre vite des exos durs, mais avant tout, savoir différencier le vrai du faux, donc j’aime bien les petits exos du genre :
Le raisonnement suivant est erroné :
Montrons, par récurrence sur n∈N∗, la propriété :
P(n) = {n points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés}
Pour n=1 et n=2, la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rang n≥2.
Considérons alors n+1 points deux à deux distincts A1,A2,…,An,An+1.
(HR) Les points A1,A2,…,An sont alignés sur une droite D.
(HR) Les points A2,…,An,An+1 sont alignés sur une droite D′.
Or D et D′ contiennent les deux points distincts A2 et An, donc D=D′.
Par suite A1,A2,…,An,An+1 sont alignés sur la droite D=D′.
Récurrence établie.
Où est l’erreur ?
Et si on faisait des probas en sup’, je proposerais la propriété dont je suis fan :
Prenons une grenouille. Celle ci peut faire des sauts d’une longueur aléatoire (uniformément distribuée) comprise entre 0 et 1m. On la met sur une ligne de départ, et on compte le nombre de saut qu’elle fera pour arriver au moins 1m plus loin. (donc au minimum 1, mais 2 si elle fait un saut de 50cm suivi d’un saut de 80cm, etc…).
Si on répète l’expérience, en moyenne, combien faut-il de saut pour franchir 1m ?
Réponse : e
Le jour où mon prof de terminal m’a montré ça, j’ai décidé d’aller en prépa , tellement jétais ébahi de l’apparition de ce petit e
ou encore, les petits exos simples pour manipuler du epsilon du genre :
soi f et g 2 fonctions continues sur R. Montrer que max(f,g) et aussi une fonction continue sur R
(évidemment sans utiliser la propriété max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2})
Super ce topic! J’espère qu’il vivra aussi longtemps que son grand frère…
Vlastilin a écrit:
Soit (a,b,c) \in \mathbb{C} tel que |a|=|b|=|c|=1 et a+b+c=1
Montrer que l’un, au moins, de ces 3 complexes est égal à 1.
Soit (a,b,c) \in \mathbb{C} tel que |a|=|b|=|c|=1 alors (a,b,c) \in \mathbb{U} ainsi \exists (t_1, t_2, t_3) \in \mathbb{R} tq a=e^{it_1}, b=e^{it_2}, c=e^{it_3}
Sq a + b + c = 1
Bon, vu ce à quoi on doit arriver ça donne envie de calculer :
(1-e^{it_1})(1-e^{it_2})(1-e^{it_3})= $e^{i(t_1+t_2+t_3)}-(e^{i(t_1+t_2)} + e^{i(t_2+t_3)}+e^{i(t_1+t_3)})$$+(e^{it_1}+e^{it_2}+e^{it_3})-1$
(1-e^{it_1})(1-e^{it_2})(1-e^{it_3})= e^{i(t_1+t_2+t_3)}-(e^{i(t_1+t_2)}+e^{i(t_2+t_3)}+e^{i(t_1+t_3)})
d’où…
$\frac{(1-e^{it_1})(1-e^{it_2})(1-e^{it_3})}{e^{i(t_1+t_2+t_3)}}=$$1-(e^{-it_3}+e^{-it_1}+e^{-it_2})
soit \frac{(1-a)(1-b)(1-c)}{e^(t_1+t_2+t_3)} = 1-\overline{(a+b+c)}=0$
On conclue !
Edit : sinon pour l’erreur dans la récurrence :
Dans l’hérédité il suffit de remplacer n+1 par 3 pour voir que A2=An et donc les points ne sont pas distincts. Il aurait fallu faire l’initialisation pour n=3 ce qui est bien-sûr impossible !
Le raisonnement suivant est erroné :
Montrons, par récurrence sur n∈N∗, la propriété :
P(n) = {n points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés}
Pour n=1 et n=2, la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rang n≥2.
Considérons alors n+1 points deux à deux distincts A1,A2,…,An,An+1.
(HR) Les points A1,A2,…,An sont alignés sur une droite D.
(HR) Les points A2,…,An,An+1 sont alignés sur une droite D′.
Or D et D′ contiennent les deux points distincts A2 et An, donc D=D′.
Par suite A1,A2,…,An,An+1 sont alignés sur la droite D=D′.
Récurrence établie.
Où est l’erreur ?
La propriété est établie seulement au rang n > 2 : si n = 2, A et B alignés, B et C alignés, alors C n’appartient pas forcément à (AB).
Le raisonnement suivant est erroné :
Montrons, par récurrence sur n∈N∗, la propriété :
P(n) = {n points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés}
Pour n=1 et n=2, la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rang n≥2.
Considérons alors n+1 points deux à deux distincts A1,A2,…,An,An+1.
(HR) Les points A1,A2,…,An sont alignés sur une droite D.
(HR) Les points A2,…,An,An+1 sont alignés sur une droite D′.
Or D et D′ contiennent les deux points distincts A2 et An, donc D=D′.
Par suite A1,A2,…,An,An+1 sont alignés sur la droite D=D′.
Récurrence établie.
Où est l’erreur ?
L’énoncé est trop bien écrit, le « distincts » pique les yeux en première lecture. Il vaut mieux enlever le mot
Pour la grenouille là…on t’a expliqué ça comment en terminale?
fakbill a écrit:
Pour la grenouille là…on t’a expliqué ça comment en terminale?
A vue d’oeil, je dirais en utilisant des probabilités continues, mais je ne suis pas sûr du tout.
Je sais pas si le peu qu’on en voit suffit.
fakbill a écrit:
Pour la grenouille là…on t’a expliqué ça comment en terminale?
On ne me l’a pas expliqué, on m’a montré que ça marchait avec un programme sur TI-84, ce qui a suffit à m’émouvoir
La preuve, je l’ai eu en 1A quand j’ai commencé les probas.
A coups de convolutions pour calculer la fonction de répartition d’une somme de n variable aléatoire (par rec) puis on integre chaque résultat de 1 à inf puis on somme le tout…ou il y a plus élégant?
Dope a écrit:
Super ce topic! J’espère qu’il vivra aussi longtemps que son grand frère…
[quote=« Vlastilin »]
Soit (a,b,c) \in \mathbb{C} tel que |a|=|b|=|c|=1 et a+b+c=1
Montrer que l’un, au moins, de ces 3 complexes est égal à 1.
Soit (a,b,c) \in \mathbb{C} tel que |a|=|b|=|c|=1 alors (a,b,c) \in \mathbb{U} ainsi \exists (t_1, t_2, t_3) \in \mathbb{R} tq a=e^{it_1}, b=e^{it_2}, c=e^{it_3}
Sq a + b + c = 1
Bon, vu ce à quoi on doit arriver ça donne envie de calculer :
(1-e^{it_1})(1-e^{it_2})(1-e^{it_3})= $e^{i(t_1+t_2+t_3)}-(e^{i(t_1+t_2)} + e^{i(t_2+t_3)}+e^{i(t_1+t_3)})$$+(e^{it_1}+e^{it_2}+e^{it_3})-1$
(1-e^{it_1})(1-e^{it_2})(1-e^{it_3})= e^{i(t_1+t_2+t_3)}-(e^{i(t_1+t_2)}+e^{i(t_2+t_3)}+e^{i(t_1+t_3)})
d’où…
$\frac{(1-e^{it_1})(1-e^{it_2})(1-e^{it_3})}{e^{i(t_1+t_2+t_3)}}=$$1-(e^{-it_3}+e^{-it_1}+e^{-it_2})
soit \frac{(1-a)(1-b)(1-c)}{e^(t_1+t_2+t_3)} = 1-\overline{(a+b+c)}=0$
On conclue !
[/quote]
Moi je préfère ne même pas faire intervenir la forme exponentielle et utiliser simplement que le conjugué vaut l’inverse pour un complexe de module 1 (mais la démo est la même)
développer d’une part $(1-a)(1-b)(1-c)=1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)-abc$$=1-1+ab+bc+ac-abc=ab+bc+ac-abc$. d’autre part, par passage au conjugué : \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=1 donc \frac{ab+ac+bc}{abc}=1 donc ab+ac+bc=abc. Donc
On peut aussi voir le problème sous la forme géométrique :
si on trace le vecteur a+b+c, la relation a+b+c=1 signifie qu’on a un quadrilatère dont un des côtés est donné par le vecteur (1,0). Ce quadrilatère a 4 côtés de longueur 1 (puisque ses côtés sont a, b, c, et 1). Or un quadrilatère dont les 4 côtés sont de même longueur n’est autre qu’un losange. Et un losange a des côtés parallèles 2 à 2. Donc un des côtés a, b, et c, est égal à 1. Notons que cette démonstration trop rapide ne discute pas la possibilité d’avoir un quadrilatère croisé.
L’un des exos qui m’avait le plus marqué en sup, j’avais trouvé ca magique
Soit f : **[0,1] **–>
continue telle que f(0) = f(1)
Montrer que pour tout n entier naturel non nul, il existe un réel an ∈tel que
Soit f : **[0,1] **–>
Montrer que pour tout n entier naturel non nul, il existe un réel an ∈
Salut, voici comment je procéderais :
On pose g(x)=f(x)-f(x+1/n) avec x appartient à [0;1-1/n] qui est continue. Puis je fais une récurrence : pour n=2; on a g(x)=f(x)-f(x+0.5). Pour x=0, on a g(0)=f(0)-f(0.5) et g(0.5)=f(0.5)-f(0) comme f(0)=f(1). Donc g s’annule donc il existe x tq f(x)=f(x+0.5) donc P(2) est vraie. Puis après je fais l’hérédité qui n’est pas très compliquée je crois.
Est-ce la bonne voie, est-ce correct ?
EDIT : je ne sais pas pourquoi j’ai commencé ma récurrence à 2. C’était plus simple à 1…
zboum a écrit:
Puis après je fais l’hérédité qui n’est pas très compliquée je crois.
Est-ce la bonne voie, est-ce correct ?
Essaie donc !
Et souvent, il n’y a pas une unique preuve possible !
Asymetric a écrit:
[quote=« V@J »]
bla bla à propos d’un exercice
Surtout que tu l’as déjà fais par le passé, c’est un Cassini.
[/quote]
Juste au cas où : c’est peut-être un Cassini, voir un « classique », auquel cas il serait normal que je l’aie déjà vu passer, mais je tiens à souligner qu’il est possible d’être admis à n’importe quelle école sans jamais avoir utilisé un autre support que les cours, annales ouvertes, ainsi que les exercices, DM et TD vus en classe. En l’occurrence, je n’ai jamais ouvert un livre des éditions Cassini en prépa.
golfeur a écrit:
L’un des exos qui m’avait le plus marqué en sup, j’avais trouvé ca magique
Soit f : **[0,1] **–>
Montrer que pour tout n entier naturel non nul, il existe un réel an ∈
Il me semble avoir déjà fait cet exo : On passe par la fonction auxiliaire qu’a posé zboum & on montre par le TVI que celle-ci s’annule au moins une fois en montrant par l’absurde qu’elle est continue & change de signe (Je ne sais pas si le coup de la récurrence est le moyen le plus immédiat, mais on doit pouvoir y arriver)
