Personne ne veut de la grenouille? C’est peut être plus MP*?
fakbill a écrit:
Personne ne veut de la grenouille? C’est peut être plus MP*?
Les probas sont HP en MP.
J’ai réfléchi un peu sur la grenouille, je ne vois pas comment s’en sortir sans calculer la loi d’une somme de va par convolution… Je pense pas qu’on puisse le faire en TS…
Mais je peux me tromper!
Valvino a écrit:
J’ai réfléchi un peu sur la grenouille, je ne vois pas comment s’en sortir sans calculer la loi d’une somme de va par convolution… Je pense pas qu’on puisse le faire en TS…
Mais je peux me tromper!
J’y ai aussi réfléchi. Effectivement ça ressemble vachement à de la convolution. J’ai essayé de m’en sortir autrement. Le résultat n’est pas celui annoncé donc il y a sans doute une erreur, mais je ne sais pas où elle est car je n’y connais rien en probas. Néanmoins, je donne quand même l’idée .
*On montre par récurrence sur n que \forall n \geq 2 , \forall x \in [0,1] « p_{n}(x)=\frac {x^{2n-1}} {(2n-1)!} » où p_{n}(x) est la probabilité d’arriver au point d’abcisse x en n sauts.
*p_2(x) = \int_0^x t(x-t)dt = (\frac 1 2 -\frac 1 3)x^3 = \frac {x^3} {3!}
C’est vrai au rang 2
*supposons que ce soit vrai au rang n
alors p_{n+1}(x) = \int_0^x p_n(t)(x-t)dt = \frac 1 {(2n-1)!} \int_0^x t^{2n-1}(x-t)= \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!}
*donc \forall n \geq 2 , \forall x \in [0,1] "p_n(x)=\frac {x^{2n-1}} {(2n-1)!}
en notant s_m le nombre de saut moyen nécessaire et p_n la probabilité de dépasser l’abcisse 1 après exactement n sauts et q la probabilité de l’ensemble d’évenements « franchir la ligne des 1 m en un nombre entiers de sauts », on a :
pour n \geq 2 : p_{n+1}= \int_0^1 p_n(t)tdt = \frac 1 {(2n-1)!(2n+1)} et p_2=\frac 1 3
On note $u_m= \sum_{n=2}^{+\infty} n p_{n} = \frac 2 3 +$$\sum_{n=2}^{+\infty} (n+1) \frac 1 {(2n-1)!(2n+1)} = \frac 2 3 + 2 \sum_{n=2}^{+\infty} \frac {n(n+1)} {(2n+1)!}$
En notant S(x)= \frac {x^2} 3 + 2 \sum_{n=2}^{+\infty} \frac {x^{n+1}} {(2n+1)!}
on a S''(1)=u_m
$S(x)=\frac {x^2} 3 + 2\sqrt{x} \sum_{n=2}^{+\infty} \frac {\sqrt{x}^{(2n+1)}} {(2n+1)!}$$= 2\sqrt{x}sh(\sqrt{x}) - 2x$
u_m=S''(1)= \frac {ch(1)} 2
Or q= \sum_{n=2}^{+\infty} p_{n}. Par une même méthode que plus haut, on trouve q=ch(1)-sh(1)=e^{-1}
Or s_m=\frac {u_m} q = \frac {ch(1)} {2e^{-1}} = \frac {e^2+1} 4
Valvino a écrit:
J’ai réfléchi un peu sur la grenouille, je ne vois pas comment s’en sortir sans calculer la loi d’une somme de va par convolution… Je pense pas qu’on puisse le faire en TS…
Mais je peux me tromper!
Pour x\in [0,1] on note N(x) le nombre de sauts moyens pour atteindre x. De deux choses l’une : soit on atteint x en un seul saut (probabilité 1-x) soit on atteint y<x et on attend encore N(x-y) sauts. Ainsi on a
N(x)=(1-x)\times 1+\int_0^x(1+N(x-t))dt=1+\int_0^xN(t)dt
On en déduit que N’(x)=N(x) avec N(0)=1 et on conclut.
Vivement que les probas arrivent en MPSI …
Laotseu a écrit:
Pour on note N(x) le nombre de sauts moyens pour atteindre x. De deux choses l’une : soit on atteint x en un seul saut (probabilité 1-x) soit on atteint et on attend encore N(x-y) sauts
Bonjour,
*Ici d’après Vlastilin, il ne s’agit pas seulement d’atteindre 1 mais il est aussi possible de le dépasser (un saut de 50 cm et un autre de 80 cm sont accepté). Tu es sûr que ça marche encore ?
- la probabilité d’atteindre x en un saut n’est-elle pas plutôt de dx ?
moamoa a écrit:
Il me semble avoir déjà fait cet exo : On passe par la fonction auxiliaire qu’a posé zboum & on montre par le TVI que celle-ci s’annule au moins une fois en montrant par l’absurde qu’elle est continue & change de signe (Je ne sais pas si le coup de la récurrence est le moyen le plus immédiat, mais on doit pouvoir y arriver)
Je ne pense pas que la récurrence soit le meilleur moyen, mais oui, il faut bien montrer qu’elle change de signe, et c’est pas si trivial que ça
ØļivierŏđÐ a écrit:
[quote=« Laotseu »]
Pour on note N(x) le nombre de sauts moyens pour atteindre x. De deux choses l’une : soit on atteint x en un seul saut (probabilité 1-x) soit on atteint et on attend encore N(x-y) sauts
Bonjour,
*Ici d’après Vlastilin, il ne s’agit pas seulement d’atteindre 1 mais il est aussi possible de le dépasser (un saut de 50 cm et un autre de 80 cm sont accepté). Tu es sûr que ça marche encore ?
- la probabilité d’atteindre x en un saut n’est-elle pas plutôt de dx ?
[/quote]
Tu as raison, j’ai mal défini N(x), il s’agit bien du nombre de sauts pour dépasser x. 1-x est alors la probabilité de dépasser x en un seul saut. Sinon on atteint y (probabilité dy) et le reste tient.
golfeur a écrit:
L’un des exos qui m’avait le plus marqué en sup, j’avais trouvé ca magique
Soit f : **[0,1] **–>
continue telle que f(0) = f(1)
Montrer que pour tout n entier naturel non nul, il existe un réel an ∈tel que
Ma solution ne me paraît pas belle et surtout un peu longue…
[spoiler]On suppose que g(an) = f(an + \frac{1}{n}) - f(an) a un signe fixe, par exemple strictement positif. Par somme, f(1) - f(0) > 0, ce qui est contradictoire. Donc il existe au moins une valeur x sur Dg pour laquelle g(x) <=0. On procède par disjonction des cas :
- si g(x) = 0 : trivial
- si g(x) < 0, on montre qu’il existe aussi au moins une valeur pour laquelle g(x) >=0. Si g(x) = 0, trivial, si g(x) > 0, on utilise le TVI pour conclure.
De même pour g(x) < 0.[/spoiler]
Adolorante a écrit:
[spoiler]On suppose que g(an) = f(an + \frac{1}{n}) - f(an) a un signe fixe, par exemple strictement positif. Par somme, f(1) - f(0) > 0, ce qui est contradictoire. Donc il existe au moins une valeur x sur Dg pour laquelle g(x) <=0. On procède par disjonction des cas :
- si g(x) = 0 : trivial
- si g(x) < 0, on montre qu’il existe aussi au moins une valeur pour laquelle g(x) >=0. Si g(x) = 0, trivial, si g(x) > 0, on utilise le TVI pour conclure.
De même pour g(x) < 0.[/spoiler]
[spoiler]C’est ça que j’avais fait, oui, mais sans absurde : On somme tes g(an) sans rien supposer, la somme est nulle.
Pour qu’une somme soit nuls, soit ils sont tous nuls ==> d’ou le résultat
soit il y en a au moins un négatif, un positif ==> TVI
Ce qui revient au même en un poil plus court[/spoiler]
En effet. Merci pour la technique, je la retiens, c’est un classique 
Un exercice qui m’avait traumatisé en colle en sup 
Evidemment, avec l’expérience de spé, ça devient tellement plus facile…
Soit (Un) une suite de réels, telle que lim Un = 0 et U_{n+1} + U_{n} ~ \frac {1} {n}
1/On suppose (Un) décroissante. Montrer que U_{n} ~ \frac {1} {2n}
2/Contre exemple si (Un) n’est pas décroissante
pff, quand je pense que j’y avais passé l’heure, et que maintenant je le fais en une minute et 1 ligne…
golfeur a écrit:
Soit (Un) une suite de réels, telle que lim Un = 0 et U_{n+1} + U_{n} ~ \frac {1} {n}
1/On suppose (Un) décroissante. Montrer que U_{n} ~ \frac {1} {2n}
2/Contre exemple si (Un) n’est pas décroissante
Un autre exo que j’ai déja fait ^^
On a f décroissante donc u(n+1) < u(n) < u(n-1) puis u(n+1) + u(n) < 2u(n) < u(n-1) + u(n) & comme u(n+1) + u(n) ~ 1/n, on a le résultat.
Pour un cex tu peux prendre 1/n si n pair et 0 sinon.
Un autre exo d’analyse qui, selon mon prof, demande un poil plus de réflexion :
Soit f une fonction C1 sur R telle que :
f’(x) + f(x) → 0 [x → + l’infini]
Montrer alors que f(x) → 0 [x → + l’infini]
Conseil:Pensez aux équas diffs.
Des faciles cette fois:
Montrer que \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} est irrationnel.
Trouver les polynomes de \mathbb{C}[X] dont l’image est \mathbb{C}.
ØļivierŏđÐ a écrit:
[quote=« Valvino »]
J’ai réfléchi un peu sur la grenouille, je ne vois pas comment s’en sortir sans calculer la loi d’une somme de va par convolution… Je pense pas qu’on puisse le faire en TS…Mais je peux me tromper!
J’y ai aussi réfléchi. Effectivement ça ressemble vachement à de la convolution. J’ai essayé de m’en sortir autrement. Le résultat n’est pas celui annoncé donc il y a sans doute une erreur, mais je ne sais pas où elle est car je n’y connais rien en probas. Néanmoins, je donne quand même l’idée .
*On montre par récurrence sur n que \forall n \geq 2 , \forall x \in [0,1] « p_{n}(x)=\frac {x^{2n-1}} {(2n-1)!} » où p_{n}(x) est la probabilité d’arriver au point d’abcisse x en n sauts.
*p_2(x) = \int_0^x t(x-t)dt = (\frac 1 2 -\frac 1 3)x^3 = \frac {x^3} {3!}
C’est vrai au rang 2
*supposons que ce soit vrai au rang n
alors p_{n+1}(x) = \int_0^x p_n(t)(x-t)dt = \frac 1 {(2n-1)!} \int_0^x t^{2n-1}(x-t)= \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!}
*donc \forall n \geq 2 , \forall x \in [0,1] "p_n(x)=\frac {x^{2n-1}} {(2n-1)!}
en notant s_m le nombre de saut moyen nécessaire et p_n la probabilité de dépasser l’abcisse 1 après exactement n sauts et q la probabilité de l’ensemble d’évenements « franchir la ligne des 1 m en un nombre entiers de sauts », on a :
pour n \geq 2 : p_{n+1}= \int_0^1 p_n(t)tdt = \frac 1 {(2n-1)!(2n+1)} et p_2=\frac 1 3
On note $u_m= \sum_{n=2}^{+\infty} n p_{n} = \frac 2 3 +$$\sum_{n=2}^{+\infty} (n+1) \frac 1 {(2n-1)!(2n+1)} = \frac 2 3 + 2 \sum_{n=2}^{+\infty} \frac {n(n+1)} {(2n+1)!}$
En notant S(x)= \frac {x^2} 3 + 2 \sum_{n=2}^{+\infty} \frac {x^{n+1}} {(2n+1)!}
on a S''(1)=u_m
$S(x)=\frac {x^2} 3 + 2\sqrt{x} \sum_{n=2}^{+\infty} \frac {\sqrt{x}^{(2n+1)}} {(2n+1)!}$$= 2\sqrt{x}sh(\sqrt{x}) - 2x$
u_m=S''(1)= \frac {ch(1)} 2
Or q= \sum_{n=2}^{+\infty} p_{n}. Par une même méthode que plus haut, on trouve q=ch(1)-sh(1)=e^{-1}
Or s_m=\frac {u_m} q = \frac {ch(1)} {2e^{-1}} = \frac {e^2+1} 4
[/quote]
ton expression de p_n est fausse.
Par exemple p_2=\frac{1}{2} et non \frac{1}{3}.
En effet, $p_2=\int \int_{x,y \ tq \ x<1 \ y<1 \ x+y<1} dx dy$$= \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{1-x} dy dx$$= \int_{x=0}^1 (1-x)dx = \frac{1}{2}$
Vlastilin a écrit:
ton expression de p_n est fausse.
Par exemple p_2=\frac{1}{2} et non \frac{1}{3}.
En effet, $p_2=\int \int_{x,y \ tq \ x<1 \ y<1 \ x+y<1} dx dy$$= \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{1-x} dy dx$$= \int_{x=0}^1 (1-x)dx = \frac{1}{2}$
Ah oui merci j’ai cerné le problème. C’est l’expression de la loi de probabilité que j’ai mal comprise
En réalité on aurait p_n(x)=\frac {x^{n-1}} {(n-1)!} pour n\geq 2 (par récurrence avec p_{n+1}(x) = \int_0^x p_n(t)dt et p_2(x)=x)
donc pour n \geq 2 p_{n+1}=\int_0^1 p_n(t)tdt= \frac n {(n+1)!} et p_2=\frac 1 2
Donc $s_m = \sum_{n=2}^{+\infty} n p_n = 1 + \sum_{n=2}^{+\infty} \frac {n(n+1)} {(n+1)!}$$= 1 + \sum_{n=2}^{+\infty} \frac 1 {(n-1)!} = e$
s_m = e
Mais il me reste une question :
Ne faut-il pas diviser cela par la probabilité de l’ensemble d’évènements {arriver derrière la ligne après exactement n saut, n entier} ? Parce que sinon j’ai l’impresion qu’on prend aussi en compte des cas qui ne nous intéressent pas (on tombe devant la ligne après un certain nombre de sauts, on fait plus de sauts que nécessaire, etc…) . . Alors que l’univers devrait être l’ensemble des évènements qui nous intéressent (quand on a bel et bien une succession de saut qui respect les conditions).
EDIT : Je trouve une probabilité de 1 pour cet ensemble d’évènements ce qui est assez étrange, vu qu’il existe une indénombrabilité de sauts qui ne correspondent pas.
EDIT 2 : Ah je crois que j’ai pigé. En fait p_n correspond à la probabilité d’attérir après la ligne en exactement n saut, mais sans restriction sur les sauts éventuels après(on peut continuer à sauter ou pas). Dans ce cas on retrouve bien l’univers entier et on a bien s_m=e
Je ne comprends pas ce que représente p_n(x). Tu dis que c’est la probabilité d’arriver au point d’abcisse x en n sauts (n sauts exactement ? parce que si c’est n sauts exactement alors p_n=p_n(1) ). mais tu dis aussi que p_2(x)=x, hors, la probabilité d’arriver en 1 au bout de 2 sauts n’est clairement pas égale à 1.
Au fait, dans le genre exo de proba que j’aime (yen a un paquet…mais celui là est simple), très connu mais il y a sans doute des gens qui ne connaissent pas :
Jeu télévisé : 3 portes, derrière deux d’entre elles se trouvent des moutons et derrière la troisième
une voiture (on place la voiture derrière la porte A, B, C avec à chaque fois la probabilité 1/3). Le
joueur sélectionne une porte sans qu’elle ne s’ouvre. Parmi les deux restantes, le présentateur en ouvre une avec un mouton
derrière.
Le joueur a alors le choix : soit il fait ouvrir la porte qu’il avait choisie initialement, soit il fait ouvrir l’autre. En moyenne, que doit-il faire ?changer de choix ou non ?
Comme c’est un topic de MPSI, poser des exos de proba c’est mal, donc un exo de MPSI que j’aime beaucoup car ça permet d’approximer rapidement la racine carrée d’un nombre (et que ma soeur m’a demandé la semaine dernière comment on faisait pour calculer la raciner carrée sans utiliser la touche « racine carrée » de la calculette)
Soit a > 0 et (u_n ) la suite définie par u_0 > 0 et
\forall n \in \mathbb{N},u_{n + 1} = \frac{1}{2}\left( {u_n + \frac{a}{{u_n }}} \right)
a) Etudier la convergence de la suite (u_n ).b)on pose
v_n = \frac{{u_n - \sqrt a }}{{u_n + \sqrt a }}
Calculer v_{n + 1} en fonction de v_n, puis v_n en fonction de v_0 et n.en déduire une majoration de l’erreur dans l’estimation de la racine